新课标视角下的数学引言课教学

丁菁 刘明

摘 要：根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》的基本理念和要求，教师要特别重视“课程内容”中各个主题或单元的引言课教学。“不等式”主题的引言课围绕三个根本的问题展开，在“为什么”中提升学生的抽象能力与建模能力，在“是什么”中培养学生的问题意识与探究能力，在“怎么办”中发展学生的整体观念与元认知能力，并特别注意让学生浸润在数学文化中，获得丰富的数学活动经验。

关键词：课标理念 引言课 不等式

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（即“新课标”）在“学科核心素养与课程目标”中指出：“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现……在学习数学和应用数学的过程中，学生能够发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养。”在“课程结构”中指出：“数学文化融入课程内容……数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。”又在“教学建议”中指出：“学生数学学科核心素养水平的达成不是一蹴而就的，具有阶段性、连续性、整合性等特点。教师应理解不同数学学科核心素养水平的具体要求，不仅关注每一节课的教学目标，更关注主题、单元的教学目标……

在教学活动中，应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，用恰当的数学语言描述问题，用数学思想、方法解决问题……教师要

以学科核心素养为导向，抓住函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动等内容主线，明晰数学学科核心素养在内容体系形成中表现出的连续性和阶段性，引导学生从整体上把握课程，实现学生数学学科核心素养的形成与发展。”

根据这些理念和要求，教师要特别重视“课程内容”中各个主题或单元（或相应教材中各个章节）的引言课（开启、引领相应主题或单元教学的第一课时）教学：整体把握数学内容，让学生了解数学的结构体系及其分支之间的关系，理解数学的本质；充分渗透数学文化，让学生了解数学的发展历程及其与人类生活和社会发展的关系，感悟数学的价值。从而更好地激发学生的数学学习兴趣，开拓学生的数学学科视野，培养学生的数学学科核心素养，提升学生的科学精神、应用意识以及人文素养。

一、引言课的设计思路

除了实现上述课标理念和要求之外，引言课还具有先行组织的作用，旨在勾勒相关内容的研究蓝图，促进学生的后续学习。因此，引言课的设计应该重视总体立意，弱化具体内容，也就是说引导学生明确研究的方向，感悟研究的方法，而对具体内容点到即止。可见，引言课更丰富地彰显了特定内容的文化价值。

具体来说，我们可以围绕“为什么（why）”“是什么（what）”“怎么辦（how）”这三个根本的问题设计引言课的教学：展现相应主题或单元内容的起源和作用，渗透相应主题或单元的核心概念与结论及其结构与关系，揭示相应主题或单元的重要思想方法（基本研究套路），让学生大致整体地认识为什么学（研究价值）、学什么（研究内容）、如何学（研究方法），从而激发学生的学习动力，使得学生能够从已有的知识、经验出发，主动地获取新的知识，形成新的经验，发展认知水平。

总体而言，引言课可分为三类：知识层面的引言课、方法层面的引言课和文化层面的引言课。我们可以根据具体内容，按知识发展、研究思想、知识应用、重要人物等线索进行教学设计。

二、引言课的教学案例：“不等式”

（一）教学过程

1.从生活到数学，感悟研究意义和价值。

（教师出示情境1和情境2。）

情境1 图1所示为从南师附中到金陵中学的路线图。从两种公共交通出行方式的比较选择中，感受生活中存在着相等关系和不等关系。

情境2 从气温的比较中，感受生活中存在着相等关系和不等关系。

师 从上述情境中，我们感受到生活中存在着相等关系和不等关系，你还能举出例子吗？

生 小卖部卖的两种饮料，它们的容量都是350 mL，但是价格不一样。

……

师 生活中我们经常要进行大小、多少的比较，因此相等关系和不等关系是大量存在的。

（教师出示情境3。）

情境3 图2所示是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标。图3所示是我国古代数学家赵爽的弦图。

师 可以看出，国际数学家大会会标上的图案来源于我国古代数学家赵爽的弦图。有同学知道赵爽设计弦图的意图是什么吗？

生 证明勾股定理。

师 是的，非常好！你知道他是怎样证明勾股定理的吗？

生 我们可以用两种方法计算大正方形的面积：一种是根据边长直接计算，另一种是转化成其中四个全等的直角三角形的面积和一个小正方形的面积之和。从而可以得到等式c2=4×12ab+（a-b）2，化简得c2=a2+b2。

师 很好！那么如果只考虑大正方形的面积和四个直角三角形的面积，我们可以得到怎样的关系呢？

生 a2+b2≥2ab。

师 何时取等号？

生 当且仅当a=b时取等号。

师 我们不仅可以从图形上发现这个不等关系，而且可以从代数的角度证明这个不等关系成立：将（a-b）

2≥0展开、移项即可。（稍停）实际上，相等关系和不等关系是大量存在的，反映在数学上，它们是最基本的数量关系。

（教师出示问题1。学生回答。）

问题1 用数学的语言怎样表达这些数量关系？

师 （投影）用不等符号（<、>、≤、≥、≠）连接的式子叫作不等式。这一章，我们要深入研究不等式。

[设计意图：首先，引导学生用数学的眼光观察世界，从具体情境中感受生活中存在着大量的相等关系和不等关系，以及反映在数学上就是最基本的数量关系，从而让学生认识到学习新知识的意义和价值；其次，引导学生用数学的语言进行表达，激活并强化学生之前就有的“用等式表示相等关系，用不等式表示不等关系”的经验，从而为后续的教学做铺垫。此外，情境3也为后续基本不等式的研究埋下伏笔。]

2.从等式到不等式，感悟研究内容和方法。

（教师出示情境4。）

情境4 班长打算组织同学们春游，已知门票为每位45元，50人以上（含50人）的团体票8折优惠。

师 从这个情境中，你能想到什么问题？

生 我想到的是“怎样买票划算”的问题。如果人数超过50人，当然买团体票。如果人数不足50人，怎样买票呢？

师 哦，那么这里有三种情况：（1）买团体票的钱数少；（2）买个人票的钱数少；（3）两者相等。请你用代数式表示这三种数量关系，并研究何时选择哪种方案。

生 表达这三种情况分别有以下式子：（1）45x-1800>0；（2）45x-1800<0；

（3）45x-1800=0。

师 这里，（1）和（2）是一元一次不等式，（3）是一元一次方程，都是同学们在初中就研究过的。下面请同学们展示求解的过程。

（学生给出两种思路：（1）利用等式和不等式的性质求解；（2）借助一次函数y=45x-1800理解不等式和方程的解。）

师 可见，等式和不等式是密切联系的，它们有很大的相似性。

（教师出示问题2。学生回答。）

问题2 从这个问题的解决过程中，你认为如何研究不等式？

（教师引导学生回忆等式的研究内容，即基本性质、常见形式、求解过程等，迁移认识到对于不等式也可以从这些角度开展研究；然后回忆等式的研究方法，即等式的基本性质是推导和求解的依据，迁移认识到不等式的基本性质也是推导和求解的依据。）

[设计意图：通过情境问题，引导学生在解决问题的过程中感悟：（1）相等关系和不等关系是密切联系的，等式和不等式在很多方面都非常相似，因此可以类比等式的研究内容和方法来研究不等式；（2）一次函数、一元一次方程和一元一次不等式也是密切相关的，因此可以借助函数来解决方程和不等式问题。由此让学生认识到可迁移已知的内容和方法来学习新知识。此外，情境4可激活学生关于一元一次不等式的记忆。]

3.初步尝试，体会研究思路和过程。

（教师出示问题3。学生思考、交流、记录、汇报。）

问题3 你能类比等式的性质，谈谈不等式有哪些性质吗？

（教师投影展示表1，让学生具体阐述是怎样类比的，并对可乘性进行适当的说理。然后，教师出示问题4。）

问题4 经统计，公园以每人50元的价格出售门票，每周约有游客2万人。经调查，门票价格（每人）每降低1元，游客数量（每周）就会增加1000人。若门票价格降低了x（x∈N*）元，要使公园每周的门票收入大于120万元，x应定在怎样的范围内？

师 请同学们尝试用不等式描述这个问题，并利用不等式的性质解决。

生 这个问题可以用不等式（50-x）·2+x10>120表示。利用不等式的性质，化简得到x2-30x+200<0。

（其他学生表示同意。）

师 你能求解x的范围吗？

生 先把x2-30x+200<0化为（x-10）·（x-20）<0，然后利用可乘性得到两种情况：x-10>0，x-20<0

或x-10<0，x-20>0。所以，10

生 也可以结合二次函数f（x）=x2-30x+200的图像（即开口向上的抛物线），和x轴的两个交点的横坐标（即10和20），是方程x2-30x+200=0的解，从而发现不等式x2-30x+200<0中x的范围是10

[设计意图：鼓励学生类比等式的性质研究不等式的性质，并通过情境问题引导学生利用不等式的性质解决不等式问题。这里并不要求学生开展完整的、系统的研究，只是初步引导学生体会研究的具体思路和过程。此外，问题4也为后续一元二次不等式的研究做了铺垫。]

4.渗透文化，小结反思。

教师投影展示如下内容，让学生欣赏、体会：

（1）不等关系的运用无处不在。古代中国人便利用杠杆原理制作器械，如图4。

（2）不等式的研究起源于欧洲。1934年，英国数学家哈代（G.H.Hardy）等编著的《不等式》一书（当下的中译本封面如图5）出版。这预示着不等式作为一个新兴的数学学科分支诞生了，从此不等式开始逐步具备系统的理论。

（3）著名不等式。①基本不等式：若a>0，b>0，則a+b2≥ab，当且仅当a=b时取“=”。②柯西不等式：∑ni=1a2i∑ni=1b2i≥∑ni=1aibi2，当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn或ai、bi（i=1，2，3，…，n）中有0时取“=”。③琴生不等式：若f（x）是区间（a，b）上的下凸函数，则对任意的x1，x2，…，xn∈（a，b），有fx1+x2+…+xnn≤1n[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]，当且仅当x1=x2=…=xn时取“=”。④赫尔德不等式：设p>1，1p+1q=1，令a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn是非负实数，则∑ni=1aibi≤∑ni=1api1p∑ni=1bqi1q，当且仅当{ak}、{bk}中至少有一个零数列或存在正实数c1、c2使得c1apk=c2bqk（k∈N*）时取“=”。

然后，教师出示如下问题，引导学生小结：

（1）不等式的研究内容是什么？

（2）不等式的研究方法是什么？

最后，教师说道：“今天，我们初步感受了不等式的研究内容和方法，但是我们的研究还远远不够。让我们开启《不等式》这一章的学习，更加系统和深入地进行研究吧。”

[设计意图：展示不等式应用和研究的历史素材以及经典的不等式结论，让学生感悟数学的人文性，欣赏数学的形式美，开阔学生的视野，让学有余力的学生可以展开更加深入的思考。然后，小结本课的内容，进一步明确《不等式》一章的研究内容和方法，为后续教学的开展奠定基础。]

（二）教学评析

在新课标规定的“课程内容”中，“不等式”的相关内容分布在必修课程主题一“预备知识”的两个单元“相等关系与不等关系”“从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式”中，具体包括“不等式的性质”“基本不等式”“一元二次不等式”等内容。

鉴于此，这节“不等式”主题的引言课从具体情境出发，使学生感受生活中和数学中都存在着大量的不等关系；然后通过数学抽象，让学生借助不等符号来表示这些不等关系；接着通过情境问题，引导学生感悟等式和不等式在很多方面都有很强的相似性，因而可以类比等式的研究内容和方法研究不等式，进而初步理解函数、方程、不等式的联系，体会用函数观点解决方程、不等式问题的思想方法，把握数学的整体性；最后引导学生通过初步的研究体会不等式性质的基础作用，并从历史和现状的角度更广泛、深入地展示一些相关的数学文化。这些都为后续系统开展“不等式”的教学奠定了基础。

具体来说，本节课的教学设计围绕“为什么”“是什么”“怎么办”这三个根本的问题展开，很好地落实了前述课标理念和要求。

1.在“为什么”中提升抽象能力与建模能力。

引言课的教学，首先要让学生知道为什么要学习新知识，从而激发学生的学习动力。一方面，生活中有大量的实际问题需要通过数学抽象，建立相应的数学模型来解决；另一方面，数学知识体系本身不断发展，需要引入新的数学模型来刻画。本节课从以上两个方面出发，解决了“为什么要学不等式”这一问题，较好地培养了学生的数学抽象能力与建模能力。

（1）从生活实例引入，激发学生的感性抽象。

通过情境1和情境2以及追问举例，让学生感受生活中存在着大量的不等关系，体会学习不等式的必要性——需要利用不等关系刻画生活中的实际问题，实现“基于现实的”第一阶段的抽象，即感性抽象——把现实生活中的一些与数量和图形有关的东西引入数学内部。此外，情境4和问题4也具有类似的功能。

（2）从几何图形出发，引发学生的符号抽象。

通过情境3的教学，从几何图形出发，实现了“基于逻辑的”第二次抽象，即符号抽象，同时也发展了学生的逻辑思维和模型意识。这里，从初中阶段证明勾股定理时曾经用到的弦图出发，契合了学生的认知水平；在得到勾股定理这一“等式”的基础上，通过比较大正方形与四个直角三角形面积的大小关系，得到基本不等式这一重要的不等关系，实现了“从理性具体上升到理性一般”。

2.在“是什么”中培养问题意识与探究能力。

引言课的教学，还要让学生初步了解新的主题将要学习什么，从而利于学生从整体上把握即将学习的数学内容，建构完整的、系统的数学知识结构，而不是零散的、碎片化的知识。

本节课不仅让“不等式的应用”（抽象、建模）贯穿始终，而且，通过基于情境3的教学，渗透了“基本不等式”结论和“证明不等式”的内容；通过基于情境4的教学，渗透了“一元一次不等式”模型和“解不等式”的内容；通过基于问题3和问题4的教学，渗透了“一元二次不等式”模型和“不等式的性质”的内容。这样的设计，不仅巧妙地揭示了“不等式”这一主题下将要学习的主要内容，更重要的是，在具体内容的教学过程中发展了学生的问题意识和探究能力。

比如，教师给出情境4之后，让学生自主提出问题，并开展探究活动，最终学生得到了三个数学模型和两种求解思路。这一过程体现了数学探究的一般步骤：“发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。”

3.在“怎么办”中发展整体观念与元认知能力。

引言课的教学，还要让学生理解如何研究新的学习内容，把握研究所學知识的基本套路，从而使学生从数学思想方法的高度理解数学，提高自主学习的能力。

数学的新内容通常不可能是“全新”的，而与已有的知识或方法有着内在的、本质的联系。因此引言课的教学，要通过有价值的问题驱动学生的思维，让学生思考所学的新知识与原有的知识之间的关联。“当学生能看到数学各个分支之间的联系时，他们就开始形成‘数学是一个整体的观点。而当他们在原有的理解的基础上学习新的概念时，他们又会逐渐意识到各个数学问题之间的联系。”

本节课中，学生探究解决情境4的问题之后，教师引导学生感受等式和不等式是密切联系的，它们有很大的相似性，然后通过问题2、问题3、问题4，让学生通过类比认识到：可以由等式的基本性质、常见形式、求解过程得到不等式的基本性质、常见形式、求解过程，以及不等式的基本性质是不等式推导和求解的依据。这样的设计，不仅能够让学生体会不等式与等式之间的关联，促使学生从整体上把握数学内容，而且能够培养学生的类比推理能力，发展学生的元认知。

此外，本节课除了围绕三个根本问题让学生理解研究不等式的价值、内容和方法之外，还通过精心选择和组织的素材和活动，让学生浸润在数学文化中，获得丰富的数学活动经验。比如，情境3中的会标和弦图以及最后一个环节中不等式应用和研究的历史素材、经典的不等式结论，还有贯穿全课的现实情境问题，都能让学生逐步学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。

参考文献：

[1] 汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.

[2] 史宁中.数学思想概论（第5辑）——自然界中的数学模型[M].长春：东北师范大学出版社，2015.

[3] 史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[4] 全美数学教师理事会.美国学校数学教育的原则和标准[M].蔡金法等译.北京：人民教育出版社，2004.