能用拉格朗日中值定理解决不等式恒成立问题吗

云南师范大学数学学院 孔德宏 龚 珏 (邮编：650092)

不等式的恒成立问题一直是高考数学的热点，大致可以分为两种类型：一是含参不等式恒成立，求参数的取值范围；二是证明不等式成立.

用拉格朗日中值定理来解决不等式的恒成立问题具有高等数学背景，通常情况下解题过程简洁，解题方法新颖.但这样做对吗？如果对，其依据是什么？如果不对，那问题又出在哪里？下面来研究这一问题.

1 含参不等式恒成立，求参数的取值范围

例1 已知函数f(x)=ex+x-1，若对任意x∈(0,+∞)都有f(x)>kx恒成立，求k的取值范围.

解法1 (分类讨论)

令g(x)=f(x)-kx，则g(x)=ex+(1-k)x-1>0对x∈(0,+∞)恒成立.

易知g(0)=0，g′(x)=ex+1-k，且g′(x)是增函数，所以g′(x)>g′(0)=2-k.

(1)当k≤2时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)内是增函数.从而g(x)>g(0)=0，即k≤2满足题意.

(2)当k>2时，令g′(x)=0，即ex=k-1，易得x=ln(k-1)>0.

因为g′(x)是增函数，所以当x∈(0,ln(k-1))时，g′(x)<0，g(x)是减函数.

所以当x∈(0,ln(k-1))时，g(x)

综上，得k≤2.

显然f′(t)在(0,+∞)内单调递增.所以k≤f′(0)=2，故k≤2.

说明 两种解法，答案相同.其中解法2使用了拉格朗日中值定理，避免了分类讨论，从而简化了解题过程.由此似乎可得出：求含参不等式恒成立问题中参数取值范围的问题，用拉格朗日中值定理是一个较好的解题方法.

事实真的是这样吗？我们试着用同样的方法解决例2.

例2 已知函数f(x)=ex-x2-1，若对任意x∈(0,+∞)都有f(x)>kx恒成立，求k的取值范围.

因为当x∈(0,+∞)时，ex-x-1>0,所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增.所以k

故k的取值范围为(-∞,e-2).

令g(t)=et-2t，则g′(t)=et-2.

令g′(t)=0，得t=ln2，易知g(t)在(0,ln2)内单调递减，在(ln2,+∞)内单调递增.所以g(t)min=g(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2.

故k<2-2ln2，即k的取值范围为(-∞,2-2ln2).

说明 两种解法，答案不同.经认真检查，可以确认解法1是正确的，从而，这里的解法2肯定就出错了，可究竟错在哪里？特别地，例1中的解法2(拉格朗日中值定理法)为什么算出的答案又是正确的呢？

2 错因分析

而例1和例2的解法2却都把问题转化为k

3 用拉格朗日中值定理证明不等式

例3 已知函数f(x)=ex+x-1，x∈(0,+∞)，求证：f(x)>2x.

证明 (拉格朗日中值定理)

又因为f′(t)=et+1在t∈(0,+∞)内单调递增，所以f′(t)=et+1>2.

4 关于D*⊆D的典型例子

例4 已知定义在(0,+∞)内的函数f(x)=xe-x.

5 结论

结论1 已知含参数k的不等式对x∈D恒成立，求参数k的取值范围的问题(如例1、例2)，若能用拉格朗日中值定理，把问题转化为k