科学诊断问题 提升运算素养——以一道解析几何题为例

北京实验学校 程春暖 (邮编：20180520)

摘 要 数学运算不仅仅是计算出结果，更是人们推理能力、思维过程的重要基础.因此，在日常的教学过程中，需要教师科学诊断学生运算过程中的问题，从而对症下药有的放矢，更好地提升学生的数学素养.通过对一次测试后学生解析几何题的错误原因进行分析，给出了在教学中如何提升学生运算素养的几点建议.

关键词 运算素养；数学思维；原因分析

21世纪是信息技术快速发展的时代，随着电子产品的普及，越来越多的人选择用计算器、手机等工具进行运算.有些人甚至认为，有这些工具的存在，没必要再进行运算能力的培养，这其实是对数学运算理解的一大误区.

运算自古就受到人们的重视.(清)谭嗣同在《报贝元徵书》中如是说；“如考算学即面令运算，船学面令驾船.”而今，普通高中数学课程标准(2017年版)也将数学运算纳为一项重要的核心素养.新课标对数学运算的解释如下：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.数学运算是解决数学问题的基本手段.数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础.通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力，有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

周海中先生曾说：机器人在工作强度、运算速度和记忆功能方面可以超越人类，但在意识、推理等方面不可能超越人类.由此可见，数学运算不仅仅是计算出结果，更是人们推理能力、思维过程的重要体现.因此，在日常的教学过程中，我们要科学诊断学生运算过程中的问题，从而对症下药有的放矢，更好地提升学生的数学素养.笔者在一次测试之后，对试卷中的解析几何题进行了错误分析.通过分析学生的错误原因，提出几点在教学中如何提升学生运算素养的拙见.

1 题目设置及解题思路

(1)求椭圆C的方程；

(2)如果直线y=kx+1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E、F，且E、F都在以B为圆心的圆上，求k的值．

公安派之后，以锺惺、谭元春为首的竟陵派“倡尖新幽冷之派，以《诗归》一编，易天下之耳目”。[2]816足见竟陵派以新的文学主张，一定程度上扼制了公安派流于轻率的弊端。但馆臣认为，“公安救历下，至於佻；竟陵救公安，陷於孱”；[2]849同样以幽冷纤巧为宗的竟陵派，“元春之才较惺为劣”，[2]826诡谲荒诞比之有余。明代文学发展到竟陵派，已是病入膏肓，回天乏力了，正如谭元春《岳归堂集》提要中所言：“……有明一代之诗，遂至是而极弊。论者比之诗妖，非过刻也。[2]826”

可知△>0， 设E(x2,y2)，F(x3,y3)，EF的中点是M(xM,yM)，

2 学生错误原因分析

2.1 生搬硬套，没有选择运算方法

2.2 盲目运算，没有探究运算思路

在本题第(2)问中，参考答案给出的解题思路是通过BE=BF推出B点与EF中点的连线与EF垂直，从而利用斜率相乘为-1构造了一个关于k的等式，得出正确答案.但这并不是唯一的解法.考试结果也显示，有一部分同学选择的是直接利用BE=BF，但因为没有对运算思路进行整体把控，当利用两点之间距离进行线段长度的运算时，自己被看似复杂的代数形式吓着了，没有进行下去，导致半途而废或者随便猜测一个值，碰碰运气.

2.3 思维定势，错误理解运算对象

图1

2.4 习惯不好，无法求得正确结果

在阅卷过程中，还发现一些非常可惜的错误.而这些错误都是因为学生们的答题习惯不好导致的：有些同学喜欢把试卷当草稿纸，答题过程随便涂改，到后来自己也不知哪个是自己已经划掉的，有些同学自以为思维灵活，答题不按步骤，运算跳步，导致会的题目丢分，考后后悔莫及.

3 对教学的启示

通过对学生出现问题的诊断，笔者认为在日常的教学工作中，我们可以从以下几个方面着手，将运算素养提升于点滴教学中，提升于潜移默化中.

3.1 拓展解题思维，优化解题过程

在平时的习题教学中，我们需要给学生提供充分的时间与空间，让他们的思维驰骋，想法落地.只有通过具体的实践与操作，才能体会到什么情况下用什么样的解题策略.在解题教学中，可以通过一题多法，培养思维的灵活性；多题共法，培养思维的深刻性；一题多变，培养思维的连续性；多题变一，体会思维的本质性.这样，学生的思路才能被打开，思维才能被激活，在不断地进行方法的选择过程中，他们便逐渐体会到了优化的重要性，也会逐渐去摸索优化的过程，从而提升运算素养.

3.2 构建解题程序，提升整体思维

在习题讲解的过程中，我们不仅要教给学生思考问题的方式方法，同时也要帮助学生从整体上认识本题的解题思路，构建解题程序.这个程序就好比大海上的灯塔，让同学们在解题的海洋中航行时有了前行的方向.

图2

如本题第(2)问，为了帮助学生构建解题程序，我们可以引导学生从结论出发进行思考：因为要求k的值，而求值问题本质上一定是个方程问题，所以我们只需要构造一个关于k的方程即可，从而需要一个等量关系.那么接下来就从题目条件中的几何对象出发去寻找等量关系.分析条件“点E、F在以B为圆心的圆上”便会有两种思路，一是BE=BF，一是BM垂直于EF(M为EF的中点).由此从条件出发便得到了我们需要的等量关系.这个思维过程可以图2的方式呈现给学生，帮助他们梳理解题的思路.

3.3 重视数学思维，淡化题型教学

学好数学,离不开解题,甚至需要通过总结解题规律来提升数学思维层次进而提高数学能力.但如果把“数学教学”蜕变为“题型教学”,盲目追求题型覆盖考题的应试效果,往往使学生对熟悉的题型可以产生本能的反应，但对不熟悉的题型很难做到具体问题具体分析, 最终把鲜活的、富于挑战性的数学解题智能沦落为以牢固记忆、熟练模仿为主要特征的解题技能.在本题中，部分学生正是因为将条件“点E、F在以B为圆心的圆上”想当然地理解成自己习惯做的“以EF为直径的圆过点B”从而导致错误.这种错误的出现给了我们教师深刻的警示，这是在提醒我们在教学过程中，不仅要关注题目能否解出来，更要关注数学的本质.数学特级教师张鹤在其所著《数学教学的逻辑》一书中如是说：作为数学教师应该明确：解题教学不是仅仅为了给学生如何解答一份高考试卷，而应该有更为高远的目标.数学题目仅仅是思维训练的载体，我们的学生不是数学家，不是以解出这些题目为唯一目的的，而是要通过解答这些题目，学会如何思考数学问题，如何解决数学问题.因此我们只有心怀数学本质，努力将数学思维传递给学生，方能帮助他们走近数学，走进数学.

3.4 养成解题规范，提高计算精度

对于学生来说，很多时候对于数学题目的解答都缺少思路，事后再看题目时却又发现其实自己是可以做出来的，这个主要是因为学生在解题时一味地追求速度，对于题干的分析不够规范和准确，由此导致学生的解题思路和解题方法出现问题.还有一部分学生会认为只要完成解题过程，得出最终的正确答案便可以拿到分数，但实际上其容易出现弱化解题步骤的情况，或者在解题过程中容易出现与题目不相干的内容，或者最终的答案没有达到最简化，由此出现失分的情况，不利于解题过程的顺利完成.解题不规范也在一定程度上反映出学生日常学习存在的问题，不利于学生综合学习能力的提升.而且，解题不规范的习惯一旦形成，改起来并不容易.人们常说“习惯成自然”.坏习惯一旦形成，受累终生；好习惯一旦养成，受益终生.作为教育工作者，我们有责任培养学生良好的解题习惯.好的解题习惯会让他们在不知不觉中形成规范的思维过程，从而减少笔误，减少不该有的错误，提高计算精度，提升运算素养.

诚然，运算素养的提升不是一蹴而就的，数学素养的培养也不是一朝一夕便可以完成的，需要教师不忘初心，与学生一起砥砺前行.