两函数公切线问题

云南省玉溪第一中学 武增明 (邮编：653100)

函数图象的切线问题，一直是高考重点考查的内容，两个函数图象的公切线问题，内涵丰富，是高考命题的一个新热点.这两类问题求解数学思想是一致的，主要是化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想.求解方法也是一致的，主要是：设出切点，利用切点处的导数即为切线的斜率，利用切点在切线上和曲线上联立方程组求解.但是，两个函数图象的公切线问题要比一个函数图象的切线问题复杂得多，灵活得多，难度大得多.下面笔者通过具体实例，归纳、总结两函数图象的公切线问题的类型及求解思想方法.

设曲线C1：y=f(x)在点A(x1，f(x1))处的切线为l1：y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)，整理得y=f′(x1)·x-f′(x1)·x1+f(x1).设曲线C2：y=g(x)在点B(x2，g(x2))处的切线为l2：y-g(x2)=g′(x2)(x-x2)，整理可得y=g′(x2)·x-g′(x2)·x2+g(x2).由于l1与l2是相同的直线，故有

从而可以求出公切线方程.

从上述分析我们还可以看出，曲线C1：y=f(x)与曲线C2：y=g(x)公切线的条数等于该方程组解的个数.

1 求公切线方程

由两函数的图象知，x1与x2同号，即x1x2>0，

所以k=9，切点为(1，3)，

所以两函数的方切线方程为

y-3=9(x-1)，即9x-y-6=0.

例2 曲线x2=ky与曲线y=lnx的公切线方程为__________.

此题若用上述例1的解法，行不通！

2 求公切线方程中参数的值

例3 (2016年高考数学全国卷Ⅱ·理16)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=______.

故直线y=kx+b为y=2x+1-ln2，所以b=1-ln2.

3 求函数中参数的值

例4 已知曲线y=x2-lnx在点(1，1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1也相切，则a=______.

解 因为曲线y=x2-lnx在点(1，1)处的切线的斜率为1，所以曲线y=x2-lnx在点(1，1)处的切线方程为y=x.

因为y=x与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，所以方程ax2+(a+2)x+1=x有一个实数根，即ax2+(a+1)x+1=0有唯一解，故△=0，即(a+1)2-4a=0，解得a=1.

4 求函数中参数的取值范围

例6 若曲线C1：y=x2与曲线C2：y=aex(a>0)存在公共切线，则a的取值范围是______.

例7 已知曲线y=ex+a与y=(x-1)2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是( )

A.(-∞，2ln2+3) B.(-∞，2ln2-3)

C.(2ln2-3，+∞) D.(2ln2+3，+∞)

解y=ex+a的导数是y′=ex+a，

y=(x-1)2的导数是y′=2(x-1).

设两条曲线的公切线与曲线y=ex+a相切的切点为(m，n)，则n=em+a，与曲线y=(x-1)2相切的切点为(s，t)，则t=(s-1)2.

由f′(s)<0，得s>3，由f′(s)>0，得1

所以f(s)在s=3处取到最大值f(3)=2ln2-3.

所以a<2ln2-3，即a的取值范围是(-∞，2ln2-3).故选B.

评注 解答此类问题的思路是，从切线重合(即同一条切线)得到两切点的关系，转化所求变量与其中一个切点变量的函数关系，运用化归与转化思想、函数与方程思想，构造函数，并注意函数自变量的范围，通过求导确定函数单调性，运用数形结合思想，得到函数值域也即所求参数的取值范围.

5 求切点横坐标的取值范围

6 判断公切线的条数

解f′(x)=2x+2(1-a)，设公切线与f(x)相切于点A(m，m2+2(1-a)m-4a)，则切线方程为y-2+2(1-a)m-4a〗=m+2(1-a)〗(x-m)，整理得y=m+2(1-a)〗x-m2-4a.

图1

7 探究是否存在公切线

例10 已知函数f(x)=ex，g(x)=lnx是否存在直线l，使得l同时是函数f(x)，g(x)的切线？说明理由.

令h(m)=em(1-m)+m+1，

因为h(1)=2>0，h(2)=-e2+3<0，所以方程em(1-m)+m+1=0有解，则方程组有解，故存在直线同时是函数f(x)和g(x)的切线.

(1)求f(x)的极大值；

解 (1)略.

假设函数F(x)，g(x)的图象在其公共点(x0，y0)处存在公切线，

又函数的定义域为(0，+∞)，

所以函数F(x)与g(x)的图象在其公共点处不存在公切线.

φ(x)在(0，2)内递减，(2，+∞)内递增，

且当x→0时，φ(x)→+∞；当x→+∞时，φ(x)→+∞.

所以φ(x)在(0，+∞)内有两个零点，

综上，当k≤0时，函数F(x)与g(x)的图象在其公共点处不存在公切线；当k>0时，符合题意的k的值有2个.