运用“错误资源”，发展学生数学思维

王恒干

摘 要：错误是学生数学学习中客观存在的现象，其资源化意义值得关注。教学中，教师要把脉学生错误根源、触摸学生感性错误、探寻学生思维缺口、引导学生辩证思维，让学生“识错”“思错”“纠错”。将学习错误作为一种教学资源，能让学生在错误辨析中提升数学思维品质。

关键词：数学教学；错误资源；数学思维

德国哲学家黑格尔说，“错误本身乃是达到真理的一个必然的环节”。的确，正确有可能只是一种模仿，而错误却绝对是一种“创造性”的经历，尽管这个经历让学生“误入歧途”。小学数学教学的理性定位应当是“对未知旅程的探险”。既然是一种探险，必定伴随着错误。正是在这个意义上，教育学者成尚荣先生说，“教室，出错的地方”。著名特级教师华应龙先生说，“课堂因差错而精彩”。对于错误，教师不能消极以待，而应积极引导学生“识错”“思错”“纠错”，将“错误”作为一种课程资源，运用学生错误，发展学生数学思维。

一、把脉错误根源，添加“反思因子”

错误是学生数学学习中客观存在的现象。对于错误，教师既不能视为洪水猛兽、惧怕错误，也不能听之任之、漠视错误，更不能对错误草草了事。教学中，教师要引导学生分析错误、反思错误，避免学生“一错再错”。只有师生正视错误、运用错误，错误才能成为一种有效的教学资源。在数学教学中，学生是反思错误的主体。某种意义上，学生的学习就是对错误地不断反思，这是一个自我否定的过程。正如美国著名教育家杜威先生所指出的，“真正思考的人从自己的错误中汲取的知识，比从自己成就中汲取的知识更多，错误与探索只有相联姻、相交合，才能孕育出真理。”

例如教学《乘法》，学生遇到了这样的一道拓展题：锯一段木头，每锯一段需要3分钟，锯5段一共需要多少分钟。学生不加思索地回答15分钟。对此，笔者追问学生，“真是15分钟吗？”引发学生深度反思。有学生认为，既然是拓展题，没这么简单；有学生认为，可以展开模拟操作。于是，有学生拿出自己的铅笔作为木头，两只手指作为锯子，模拟“锯木头”；有学生拿出草稿纸，画出线段图，主动用“段”“次”解决；还有学生撕出一张小纸条，快速将小纸条撕成5段，发现撕了4次，等等。通过操作、探究，学生发现锯木头锯5段只锯了4次，因此一共需要12分钟。为了让学生从错误中汲取经验，笔者引导学生添加反思因子：在日常生活中，还有哪些现象也是“锯木头”现象？一石激起千层浪，学生展开了热烈的交流。有学生说，“爬一层楼梯需要5秒钟，爬到5楼需要多长时间？”有学生说，“摆钟敲一下需要2秒钟，敲10下需要几秒钟？”有学生说，“公交车每15分钟发一次车，发5辆车需要多长时间？”等等。可见，“间隔问题”的本质已经浸润到学生的心灵深处。在这里，错误仿佛是一根“金拐杖”，为学生的深度探究、思考指明了方向。

学生在数学学习中直面自己的错误，对自己的错误分门别类，主动归档，能够充分发挥错误的资源效能。教学中，教师要善于捕捉学生的错误，暴露出学生的错误，引导学生经营自己的错误，让学生找错、辨错、改错。如此，学生就能将错误消灭于萌芽状态，课堂就会因差错而精彩。

二、触摸感性错误，注入“理性因子”

小学阶段的学生的思维主要是感性思维，感性思维往往能够诱发学生的数学猜想，触发学生的灵感。与此同时，感性思维由于其模糊性也容易发生错误。教学中，教师要引导学生触摸感性错误，为感性错误增加理性因子。让学生的感性猜想与学生逻辑的、分析的、线性的理性思维相互融通，从而引导学生健康用脑、和谐用脑、友善用脑。在数学学习中，教师要允许学生犯错，呵护学生的错误。正如心理学家盖耶所说的，“科学就是学习尝试错误并在受到挫折时，不断奋进的过程。谁不尝试错误，不允许学生犯错，谁就将错过最富有成效的学习时刻。”

例如教学《运算律》，学生对于这样的习题——“53+47-53+47”普遍认为等于0。显然，学生受到了“简便要求”和“运算律”的强刺激，只关注了简便算律的形式，没有关注简便运算的条件、内容，出现了思维短视性错误。基于此，筆者让学生按照运算顺序进行计算，学生自主纠错，找出了错误根源。学生认为，在53和47的两边没有括号，他们误认为有括号了。显然，学生对错误的分析不深刻。为此，笔者引导学生触摸感性错误，为错误注入理性因子，引导学生再一次交流“加法交换律”“加法结合律”的运算条件、运算内容。经过师生的深入交流，学生理解了“加法交换律”交换的时候要连同前面的运算符号，“加法结合律”只有在连加的时候才能运用，在运用“运算律”的时候不能感情用事，而应从多个角度来进行分析，不能看到形似的算式就直接套用。当教师为学生的感性错误注入理性因子后，学生的思维更缜密了，解决问题是不再急躁了，而是能多元分析、通盘考虑了。

学生的错误有“认知性错误”和“非认知性错误”。学生的感性错误更多的属于“认知性错误”，如对科学知识的朴素的、零散的、非标准化的认知，对概念的理解偏差、歪曲，对解决某一类问题的思维定式等。为学生的感性认知注入理性因子，能够拓宽学生的思维广度，增强学生思维的深度和灵活性。

三、探寻思维缺口，催发“生成因子”

学生普遍性的错误容易理解，学生个体性、独特性的错误更需要教师能够探寻错误根源，找准学生的思维缺口，对学生的思维进行因势利导。赞科夫认为，当学生在求知的地方和教材出现分歧，就是思维引导的良好时机。在教学中，当学生出现思维卡壳、思维与新知脱节、思维失稳时，教师必须及时介入，对学生的数学探究进行适度干预、引导，让学生能够主动解决问题。教师寻找学生错误的拐角，能够让课堂生成别样的精彩。

例如教学《长方形的周长》，学生遇到了这样的问题：一块长方形菜地，长5米，宽3米。四周围上篱笆，篱笆长多少米？”绝大部分学生都能运用常规思维加以正确解决。但班上有一位学生小陆，却是这样解决的：5+3×2。学生纷纷认为小陆忘记了写括号，但小陆却陈述了理由。原来，小陆由于和奶奶在一起，曾经帮助奶奶靠墙围过篱笆，因此他认为可以利用墙壁围篱笆，这样节省材料。对于小陆的回答，笔者首先和小陆解释，数学里围篱笆因为没有特殊要求，所以视同一般的围篱笆。这里的意图在于让你求出长方形的周长。在找寻到小陆的思维缺口后，笔者引导学生思考：如果围菜地，只围3面，可以怎样围？学生的思维被激活了，有的认为可以将长边靠墙，有的认为可以将短边靠墙。据此，学生形成两个不同的算式：5+3×2或3+5×2。对于这样的两道算式，学生纷纷认为“5+3×2”也就是小陆的列式方法更省材料。由于笔者抓住了学生错误中的闪光点，将学生错误向外拓展，激活了学生的创造性思维，促进了学生的数学素养的提升、发展。

著名教育家卡尔·威特认为，教育的秘诀之一就是宽容地、理性地看待孩子的一切，包括“错误”。对于学生的错误，教师要找准思维缺口，找准错因、病因，才能“对症下药”“药到病除”。有时候，错误只是学生认知的暂时失衡，只是学生认知冲突的外化。正因为如此，错误常常能够成为学生思维发展的深层动因。教师要不断地打破学生现有的认知结构，不断促进学生的认知调整，让学生的认知结构不断完善和发展。

四、引领动态思维，形成“辩证因子”

学生静态的、机械的数学认知往往是死的、没有生命力的。只有让学生对错误进行正反对比，引导学生动态思维，让学生自主识错、自主糾错，学生才能从外界中汲取新信息，学生的认知结构才能主动更新，学生的认知结构才能处于灵活、开放、联系的状态。教学中，教师要鼓励学生别出心裁、敢于创新，鼓励学生多角度、全方位审视“错误”，让学生突破原有条件、突破锁定的问题框框。引导学生辩驳易错点、思辨易混点，培养学生的发散性、辩证性思维。

例如，一位教师执教《平行四边形的面积计算》，首先让学生猜想：平行四边形的面积应该怎样算？学生因为受“平行四边形框架可以演变成长方形”的影响，纷纷认为“平行四边形的面积等于底乘斜边”。对此，教师拿来了平行四边形框架，让学生拉压。当一位学生将长方形压成扁扁的平行四边形后，学生恍然大悟，平行四边形的面积接近0，所以不可能是底乘斜边。这是学生对自我错误的觉醒。这时，教师用问题引导学生深度思考：在平行四边形拉成长方形、长方形压成平行四边形的过程中，什么发生了变化？什么没有发生变化？在“变”与“不变”中引导学生展开辩证思维。有学生说，底和斜边没有变化，周长没有变化，所以平行四边形的周长与底和斜边相关；有学生说，高和面积发生了变化，所以面积和高相关。接着，教师让学生针对自己的合情推理展开论证，学生用“剪移拼”得出了平行四边形的面积。

面对学生的“集体性错误”，教师不打断、不责罚，而是用一个“小小的框架”让学生动态演示，在“极限展示”（面积接近0的平行四边形）中学生幡然醒悟。通过“变与不变”的辩证启发，让学生提出合情猜想，最后引导学生操作验证。学生突破了原有的固化思维、错误迷思，找到了正确的问题解决路径，错误的资源被充分运用。

南京大学数学教育学者郑毓信先生说，“纠正学生的错误，单纯依靠正面示范和反复练习是不能奏效的，最正确的做法就是要让学生经历一个自我否定的过程，通过自我纠错和自我领悟，完成对错误的超越。”错误是一种宝贵的教学资源，正视学生的学习错误、分析学生的错误原因、利用学生的错误资源，以错误资源化为切入点，就能充分发展学生的数学思维素养。