小学数学“角的度量”教学策略的选择与探索

冯根荣

摘 要：“角的度量”一直以来是小学数学度量教学的难点。量角作为一项技能，需要模仿与训练，更需要对量角工具及操作技能本质的理解。教学“角的度量”一课前，笔者通过对学生进行问卷调查及访谈，了解学生已有的认知水平。笔者采用“在感受统一度量单位后再认识角的度量单位1°角”“经历量角器的发生发展过程”“理解度量单位累加这一量角的本质”等方式，让学生在自主探索中体会统一度量单位的必要性，认识量角器的本质，学会角的度量，引发学生深度思考，教学效果明显。

关键词：技能教学；度量单位；量角器；单位累加

一、现状分析

“角的度量”一直以來是小学数学度量教学中的难点。2011版课标中对于这部分内容的学习提出了明确的要求：“能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角。”那么，学生在学习前已经有了怎样的知识储备？学习后掌握的情况究竟怎样？针对这些问题，笔者对学习后的五年级学生和学习前的四年级学生进行了调查。对已经学过“角的度量”的XX小学五（2）班34名学生调查分析，整理如下。

1. 量角正确率不够理想。用量角器测量下列5个角的大小（图1）。全部正确的有15人，占44.1%，较好掌握角的度量知识和技能的学生不足一半。

2. 角的大小理解不够深刻。在判断∠4和∠5的大小时，有4名学生判断有误，认为∠4比∠5大的占测试人数的11.8%。说明这部分学生没有真正理解角的大小的本质，角的大小与角两边张开的大小有关，与角两边的长短无关。

3. 量角技能不够高。从测量有误学生的反馈中我们发现，产生错误的原因主要有以下几个方面：一是测量不够严谨。中心点和顶点未完全重合；0刻度线与角的一条边未完全重合。二是内外圈刻度读错，内外圈方向读反，如135°读成45°等。三是存在估计数据现象。如测量∠2一边较短时，有些学生不会将需要读数的边延长，找到量角器上相应的刻度线，采用估计的方法而产生误差。四是不会摆量角器。0刻度线的起点与角的顶点重合；度量如∠5两边都不在水平方向的角，正确率较低。为此，笔者试图从新旧人教版“角的度量”教材编写入手，展开分析与研究，希望能从中得到一些启示。

①“角的度量”新旧人教版教材编写意图究竟有何异同？

②“角的度量”教学定位分析，究竟让学生去探索、体验、掌握什么？

③教学后，许多学生还不会摆量角器、内外圈刻度读错、内外圈方向读反的根源是什么？

二、新旧教材编写比较及启示

笔者将人教版新旧版本“角的度量”的教材编写进行比较，分析变化背后隐藏的理念与思考，给破解难点一些启示与对策。本文所指的新旧教材分别指人民教育出版社2013版教材和2001版教材。

（一）编写比较，变在何处

（二）分析变化，启示教学

新旧教材对于“角的度量”教学内容的编排在四个方面发生了明显的变化，为何变，变化背后又隐藏着怎样的数学思考？

1. 变化：教材编写，因何而变

（1）新教材的编排更加合理

梳理新旧教材的编写主线。旧教材：量角的大小—用量角器—认识量角器—认识1°角—学习度量方法—练习巩固。新教材：量角的大小—用一定大小的角作为度量单位进行度量—让度量单位合理些，需要合适的度量单位—认识度量单位1°—认识量角器—学习度量方法—练习巩固。旧教材直白地告知量角就要用量角器，有了量角器才有了度量单位1°。而新教材先是用任意大小的角为单位去比较可以量出角的大小，1°角是比较合适的角的度量单位，再认识量角器。显然，新教材的理念是先有度量单位，再有度量工具，度量单位的产生有一个统一和选择的过程。

（2）新教材注重量角器的构造原理

与旧教材相比，新教材有意识地让学生理解量角器的构造原理。认识1°后，“根据这一原理，人们制作了度量角的工具——量角器”，配有旁白“量角器是将半圆分成180等份制成的”。

（3）新教材注重渗透度量角的本质

相比旧教材，新教材增加了量角器使用步骤方法的填空，课后练习中也增加了针对性练习以促进技能的形成，同时渗透“角的大小就看里面包含多少个1°角，与角两边的长短无关”。

2. 启示：理解变化，促进教学

分析新教材这些变化背后的数学思想及“角的度量”的教学现状，促进课堂教学反思，形成对策。笔者认为，有必要把着力点放在角的度量单位的教学上来，让学生理解量角器的构造原理，解决量角器的使用问题。

三、教学策略改进及案例举隅

基于对新旧教材与学情的分析，笔者认为破解学生量角时存在的问题，探索相应的化解策略，应在以下几个方面加以探索：体会度量单位统一的必要性，经历量角器发生发展的过程，理解度量单位累加性本质。

（一）体会度量单位统一的必要性

度量是指某个物体具有多少个单位的某种属性。度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。

【案例】 笔者根据导入题（图2），“哪个角大些？大多少？”，先呈现3个角（图3），学生找到三角板上的特殊角∠1是直角。根据生活经验，学生已经知道直角是90°。再请学生估一估三角板上的∠2和∠3分别是多大。学生根据90°角，利用拼一拼的方法，得出∠2是45°，∠3是30°。在这里，学生已经会以标准角90°为参照，度量特殊角的大小了。再出示∠4（图4），要求学生估大小。学生会迁移刚才的做法，分别以∠1、∠2、∠3为参照，拼一拼，估出∠4的大小。在拼的同时，学生发现当以相对小的∠3为参照时，会估得更准一些，∠4大约是60°多一点。进而思考“比60°多一点，这一点究竟是多少”，引发感想：需要用一个更小的角来拼。多小的角比较合适呢？学生很容易想到了1°这么小的角。再来介绍这个人们早就规定好了的“1°角”：人们将圆平均分成360份，其中的一份所对的角的大小叫作1度（记作1°）（图5），通常用1°作为度量角的单位。

1. 呈现基于必要性的体会

简单地呈现“角的度量单位是1°角”，学生只是接受，并不知道为什么要用1°角而不是其他大小的角作角的度量单位，为什么要用量角器来量角而三角板却不行。让学生感受到度量单位的产生有一个统一和选择的过程，进而理解度量角的大小要有统一的度量单位。体会度量单位统一的必要性，自觉地将度量角的新单位“度”融入自己的认知结构，将新知和已有的长度单位、面积单位、质量单位等度量单位纳入度量体系。

2. 感受基于思想性的渗透

让学生体会度量单位统一的必要性，这样处理既渗透了统一度量单位的思想， 又有意识地让学生感受到当一个度量标准取得越小时，度量的结果就越精确。经历这样的过程，学生对1°角有了较准确的认识，既为学生深刻认识量角器奠定基础，也为学生后续学习类似内容积累起丰富的活动经验，如为学习更小的度量单位“分”“秒”埋下伏笔。

（二）经历量角器的发生发展过程

量角器是量角的工具，是小学阶段学生所接触到的结构最复杂、使用最易错的测量工具。对于破解用量角器度量角时，内外圈刻度读错、内外圈方向读反以及量角器的各种摆放问题，认识度量角的本质是进行有效教学的关键。而动态直观地展示量角器的发生发展过程，能让学生准确地理解量角器原来是180个1°角的集合这一本质，为学生更好地使用量角器量角铺平道路。

1. 调查了解，把握起点

在学习前，学生对量角工具有怎样的认识呢？笔者做了一个调查，对象是XX小学四（5）班48名学生。笔者发现：43.75%的学生能正确说出量角的工具，即便那些说半角和圆尺工具的学生（31.25%），也能准确感知量角工具；有35.4%的学生能够大致说出量角器上有什么，但仅有6.25%的学生能够用准确的语言描述量角器的构造。当请学生自由选择工具量角时，有14.6%的学生选择三角尺，他们能够找到三角尺上的一些特殊角，并用这些角与所量角比大小，只是不能精确刻画出角的度数，其中选择用直角比的学生占了大多数。以上种种说明学生听说过量角器，但对于量角器的构造认识模糊。

笔者还对已经学过“角的度量”的5名学生进行了访谈，访谈中，5人都能准确说出量角器的构造，当问到“量角器上为什么要有中心点、为什么有180个刻度”这样的问题时，一般只能回答诸如“因为中心点要和顶点对牢的、因为我们量的角是180°以内的”。学生只是认识了量角器，并没有从原理上理解量角器为什么要这样设计，量角器和角之间的联系被割裂开来了。

2. 有效尝试，注重历程

基于以上学情，笔者把量角器的发生过程进行分解，先构造了一个90°的量角器，这是因为90°的量角器与学生熟知的直角有着密切联系。90个1°角的共同顶点集中于直角的顶点，学生能迅速地把它与所量角对应，数出所量角是由多少个1°角拼成的，进而知道所量角的大小，为理解量角的本质积累活动经验。同时，这样设计，学生又能感受到当所量角比90°大时，可以把两个90°量角器拼起来形成180°量角器；当所量角比180°还大时，就可以把两个180°量角器拼起来形成360°的圆形量角器（图6）。这已不仅仅是认识工具，而是在进行伟大的创造！

【案例】 笔者在学生认识了单位1°角后，请学生在直角里找到1个1°角，再借助1°角的累加，发现10个1°角组成了1个10°角，进而发现90个1°角组成了1个90°角，即直角，从而形成了一个90°的量角工具。为了看起来更清晰，90个1°角简化成了9个10°角（图7）。紧接着，学生尝试量角，笔者特别设计了一个钝角要求学生测量。在量的过程中，学生发现一个90°的量角器也能量出钝角来。有的学生想到了把钝角先分成一个直角和一个锐角，通过利用90°的量角器测量出锐角的大小，再来算整个钝角的大小；有的学生想到了把两个90°量角器拼成一个180°的量角器再来量钝角的大小。为了使用方便，学生自己想出了改进量角器的办法：把量角器改成由180个1°角拼起来，在刻度线外标上刻度（图8）。

角的大小就是看角含有几个1°角，认识了这一本质含义，让测量角的度数有了方向和意义。用量角器度量角时，就是度量角与量角器上的角完全重合，其大小就看一条边到另一条边之间含有几个1°角。教学中，认识了1°角的大小后，接着感受10°角的大小，再用10°的基本角去度量其他角，如30°角里有3个10°，90°角里有9个10°。建立了学生熟悉的90°角表象后，以90°角为参照，如：100°就是比90°大10°，93°就是比90°大3°角等。通过学生熟悉的基本角参照对比，有利于解决用量角器度量角时中心点和顶点未完全重合的问题，攻克0刻度线与角的一条边未完全重合，内外圈刻度读错、内外圈方向读反等难点问题，提升度量角的能力。

（三）理解度量单位的累加性本质

新课程标准提出的教学建议中指出，数学知识的获得，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。理解度量单位的累加性本质，有利于解决角的大小与角两边的长短无关以及特殊位置角的度量的难点问题。

1. 理解“度量单位的累加”，基于经历过程清晰印象

【案例】笔者在建立度量单位1°角的概念后，非常注重学生经历度量单位累加的过程，其具体表现在：先从直角里找到1个1°角，然后用估计的办法找到10°角，并且用1°角的累加驗证10°角里有10个1°角。再扩展到20°角，一边演示一边引导学生说出“20个1°角组成了1个20°角，1个20°角由20个1°角组成；2个10°角组成了1个20°角，1个20°角由2个10°角组成”。接着再扩展到30°、40°……一直到90°，让学生充分体验和描述度量单位累加的过程。并且，在学生使用90°量角器量角后的反馈中，笔者还十分重视让学生说出量的过程，如：从右边数起，6个10°和3个1°组成了63°。

这样教学后，学生对于量角的本质是比较清晰的。所量角的大小可以由若干个1°角累加而成，量角器是由180个1°角累加后的结果，借助量角器上的1°角就能量出所量角的大小。理解了角的大小是包含了多少个1°角的累加这一本质，有利于解决角的大小与角两边的长短无关的难点问题，学生也就不会因读外圈还是内圈刻度而感到苦恼。

2. 理解“度量单位的累加”，拓展思辨发展度量感

【案例】

课后练习第3题（图9），第一个角大部分学生量对了，但测量第2个角、第3个角就有一些困难，因为角的两条边都不在水平线上。有学生说要旋轉一下量角器，有学生说要旋转一下书，有学生说边太短要延长。那为什么要旋转？又为什么要延长？（易使量角器的中心点、0刻度线能与角的顶点和一条边完全重合）还有学生说第3个角可以用180°-60°=120°等。

面对度量特殊位置角，课堂上生成了多种不同的度量方法，测量的方法综合起来可归纳为：终点的数减去起点的数，看被度量角包含多少个1°角，一般把0刻度线定为起点，读起数来比较方便。这样既巩固了学生的量角技能，又剖析了量角本质，即被度量角有多少个度量单位，就是有多少个度量单位的累加。理解度量单位的累加性本质，提升思维品质，发展度量感。

四、成效与思考

（一）成效：基于问题解决的策略初显成效

教学第二天，笔者对本班学生（48人）做了后测，测试内容与五（2）班相同（图1），测试情况分析整理如下：

1. 整体正确率明显提高，量角技能得到提升

后测反馈中，全部正确的有32人，占全部测试人数的66.7%，相比五（2）班有明显提高。说明经过系统学习，利用量角器测量角的度数的方法大部分学生已经掌握，学生头脑里较为清楚地产生了“每一个角都是由若干个1°角累加而成”的印象。不会摆量角器、内外圈读反、方向读反等常见错误已明显减少。

2. 正确量角技能的形成需要一个过程

后测结果发现，角的度量偏差较大。主要是0刻度线与角的一边未完全重合；角的顶点与量角器中心点未完全重合；测量的角的边比较短时，学生没有延长要读数的这条边，而用估计的方法等。另外，在判断∠4和∠5的大小时，也有4名学生判断有误，认为∠4比∠5大的占测试人数的8.3%，说明这部分学生没有真正理解角的大小的本质。

要解决这些问题，一方面需引导学生养成严谨细致的测量习惯，在测量时做到认真细致，让误差控制在较小范围内，最终测得比较精确的结果；另一方面需实践操作，适当训练。技能的形成除了思维引领，实践操作是必不可少的，如探究角的大小与什么有关时，可制作纸制动态角或观察钟面上指针的夹角加以验证。

（二）思考：让“角的度量”教学回归数学本色

1. 技能的形成不仅需要操作，更需要对过程的本质理解

面对“角的度量”这个技能教学难点，采用简单的教学模式显然是行不通的。技能的习得确实需要模仿与训练，但更需要基于对操作工具、技能操作过程本质的理解，技能教学不等同于技能的模仿与训练。初步的教学实践证明，在感受统一度量单位后再认识单位1°角、经历量角器的发生发展过程、理解度量单位累加的量角本质后，学生能够更为准确地量出角的大小，而且学生知其然也知其所以然，为学生后续的量角学习，如认识更小的度量单位和使用更精密的量角器等有所帮助。

2. 教学的改革不仅需要尝试，更需要对实践的深度思考

教学的探索是无止境的。“角的度量”教学是否还可以从其他视角入手研究呢？可以从学生常见的摆放量角器的错误入手，形成探究问题（图10），通过比较、发现、验证，从探究感悟中形成度量角的方法。还可以基于学生已经获得的“角的大小与边的长短无关，只与角两边张开的大小有关”为切入点，引出问题，设计探究任务，引发学生深度学习。让角的度量教学回归儿童与数学本色，还有待我们进一步加以改进和实践。