数学课堂因“图”而闪亮

孔令芳

摘 要：在新授课中，运用图式表征，能实现助学、展学、辨析和归纳拓展等各项教学功能，契合了“优化学习活动、发展学习能力”的研究目标，使高年级数学新授课堂因图式而高效。同时，对于注意力、理解力都比较欠缺的儿童，课堂上的图式学习能更好地帮助他们完成数学学习的过程，完成知识的建構，实现方法的引导，形成比较好的学习效果。

关键词：图式学习；新授课教学；教学方法

新课程强调“学生是知识主动的建构者和探索者”，注重“学生终身学习必备的基础知识与技能的获得”。数学知识是“隐含”在学生头脑中的，而目前多数新授课不太重视给予学生足够的时间和有效的工具，“弱化”和“粗化”了学生建模的过程，导致学生知识的整合能力、学习策略无法得到提高。采用“灌输式”的教学模式，已无法满足各个层次的学生需求，导致教学效果低下。

小学生的思维以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡；由具体运算为主，逐步向形式运算过渡，这是一个缓慢的、渐进的发展过程。为了使学生准确地理解数学知识，需要教师充分了解学生的学习基础，“以学论教，顺学而导”。我校倡导的图式优学，包括直观的实物图、树状的认知推展图、流程结构图和逻辑表图等。在数学课堂教学中注重数学教学的图式表征，以图式促进学生优学。

现代心理学认为：“人脑中的知识不可能独立地储存，总要通过与其他知识建立某种关系而储存。而且只有通过一定的网络系统储存的知识，才能被有效地提取利用。”依据这样的理论认识，我开始让数学教学呈现“看得见”的图式表征数学知识，并一直尝试运用到自己的新授课上。两年多的实践研究发现，对于注意力、理解力都比较欠缺的儿童，课堂上的图式学习能更好地帮助他们完成数学学习的过程，完成知识的建构，实现方法的引导，形成比较好的学习效果。在高年级数学新授课中，笔者坚持运用图式表征，使之实现助学、展学、辨析和归纳拓展等各项教学功能，契合了“优化学习活动、发展学习能力”的研究目标，这使得高年级数学新授课堂因图式而高效，儿童数学学习因“图式”而闪亮。

一、图式助学，自主探究

所谓图式助学，是指在数学新授课教学中，注意发挥图式的引导作用，让学生借助图式绘制和观察，帮助他们迅疾进入数学学习的主体角色。这主要是采用课前安排学生完成图式“优学单”（如图1）的形式，让学生经历一个前置性的自主探究的助学过程。

“优学单”的编制设计以不加重学生过重负担为前提，让学生经历一个完整的发现问题——提出问题——分析问题——解决问题的全过程。在设计优学单时，笔者关注以下两点：一是设计以例题或与例题同类型的自编题为自学研究的对象；二是设计2～3个“大问题”，避免“小而碎”的问题。目的是充分让学生体验自我生成的认知探索过程，发掘来自学生数学自学本身的“生本资源”。例如，在优学单中，教师设计了“用你喜欢的方式表示出你的思考过程”。这样的设计意图是，根据学生已有经验，让学生经历自我分析、自我表达的过程，构建学生的元认知。通过学生的表象材料，可以让教师更好地把握学生的思维起点，有利于教师调整以教为主的设计，从而将新课标所提倡的“教师的教学是基于学生的学情”这一理念真正落到实处。

这一环节还包括课堂开始，优学单作为第一手资料的学生讨论、交流。这时的交流并不是随意散乱的，而是围绕几个问题有目的地展开。比如，教师会给学生提供讨论的路径（如图2）。这些问题都是为了促成教学目标的达成而设计的。

二、图式展学，突出重点

高年级数学新授课中，笔者注意运用图式来展示认知序列，突出数学学习中的重点内容。这样的做法涵盖两个层次：1. 图式比较，突出难点；2. 图式提示，清晰要点。

在执教《百分数的实际问题》时，为了让学生真正理解“一个数比另一个数多百分之几”的含义，教师展示学生绘制的三幅图式（如图3）。学生从中很容易地看出了实际和原计划两个量之间的关系、分辨了单位“1”的量。“图式”帮助学生清晰地厘清了认知要点。同时也通过作图中不同的画法比对，进一步理解作时应考虑所画线段的长短和题中的数据大致吻合，培养了学生严谨科学的学习态度。

三、图式辨析，方法优化

这样的教学安排意在借助图式，对正确解答方法进行分析、归纳、总结；对错例进行解读和矫正，从而达到提炼思路，优化方法的目的。

对于刚接触《三步混合运算》的学生而言，理解算理并掌握算法及规范的书写是一大难点。在比较哪种算法更简捷时，教师将三种图式（如图4）放在一起让学生对比。学生通过重点观察、分析不同解法之间算理，沟通、构建出解法之间的联系，再优化出最简洁的写法。让学生借助图式，经历这一优化思维的过程，比教师按标准格式直接给予的方式来得自然而深刻。

图式辨析的另一个层面是，教师通过将典型错误解法，归类呈现，来引导学生进行“辨析”，开展评价、质疑、补充、反驳……分析错在哪里，为什么会错，应该怎样修正。例如，在执教百分数的实际问题时，教师将学生优学单上所出现的几组错例呈现（如图5），并进行矫正，意在让学生在辨析错题的过程中进一步明确找准单位“1”的量，从而达到提炼思路，优化方法的目的。

四、图式归纳，拓展提升

这一教法安排，意在通过图式归纳，把前期的数学活动经验进行小结，而后提升为数学思想。并把这一思想拓展到解决实际生活问题的过程中去。

图6所示的图式中，有的图式是知识要点连接架构图，有的是认知思路进程图，有的是提纲挈领逻辑图等。这些脉络清晰、明快醒目的板书图式，可以将课堂内容形象、精炼地集中呈现，可以将学生思维的过程直观、动态地展示，也可以将知识的形成、发展的过程清晰、凝练地演示。

【案例反思】

新课程强调“学生是知识主动的建构者和探索者”，注重“学生终身学习必备的基础知识与技能的获得”。本着这样的理念，笔者尝试将图式运用到小学高年级数学新授课教学中，实践表明，小学高年级数学新授课，运用图式教学的四点策略，效果十分显著。

1. 运用图式前置性学习，以学定教

建构主义认为，认知就是建构，而且每一个学习者都有自身的先前经验作為基础。因此，教师在上每节课时，学习者并不是被动地接受，而是根据已有经验主动建构的。个人认知结构需经过同化、顺应两个过程得以完成。运用图式安排学生前置性学习，教师可以更容易准确地把握、了解学生已经具备怎样的认知水平和经验基础。这有利于教师从实际出发，调整原有的教学设计，促进教师紧扣学生的“最近发展区”，挖掘新知的“生长点”，让教学更有针对性。

2. 运用图式呈现解法，表征思路看得见

数学课堂上，教师鼓励学生大胆地将个性化的图式充分展现。这就可以兼顾不同层次学生的学习状态及各自不同的已有经验，让学生先对自己的解法进行阐述，其他同学在倾听的基础上，给予评价或提出疑问。这样一来，运用图式表达的解法思路得以清晰呈现交流。这使得课堂上学生原有模糊的、笼统的认知结构也在不断扩充、逐渐清晰化，从而大大促进学生的认知建构。

3. 运用图式对比辨析，引导深刻思考

当新授课堂呈现了来自于学生真实的图式后，可以通过交流放在一起进行对比，然后倾听学生的观点阐述，引导学生重点观察、分析不同解法之间算理，适当沟通后，构建出有关解法之间的联系，再优化出最简洁的方法。让学生经历这一个性化和优选化相结合的分析比较过程，比教师直接给予的方式来得自然而深刻。笔者认为，图式辨析环节正是教师在学生有争论、疑惑时给予方向指引的最好时机，这也是引导学生思维经历爬坡的关键时刻。当学生出现了多种方法后，教师再引导将这些方法图式放在一起比较：“虽然他们的解法不同，仔细观察有没有相同之处？”以推动学生思维的发展，让学生的思维由具体直观到抽象概括，可以有力地提升学习的理解水平。

4. 运用图式归纳拓展，促进构建隐形图式

在新授课的教学过程中，呈现在学生面前的都是“显性图式”，或是教师设计，绘制；或是由教学内容水到渠成构建的“思路图式”；或是学生根据新授知识自己制作的图式。这些“显性图式”起到了串联知识点，化解教学重难点，构建知识体系的作用。而“图式教学”在新授课操作的最后一环节，笔者认为应该是把这些“显性图式”转变为学生脑海中的“隐形图式”的过程，让新授知识在头脑中成为一种学习方法，一种解题思路，或是一张知识网络图。这就是认知结构的建构。学生带着这样的“隐形图式”去练习，去巩固本节课所学的新知，以脑中的“隐形图式”来解决具体问题。这既是“显性图式”到“隐形图式”转变的过程，更是对新知的一个消化，吸收，并转化、内化为自己认知结构的过程。