一道三角函数有理式不定积分的计算方法探讨

胡艳霞

摘 要：本文对一道三角函数有理式不定积分进行了多种解法的探讨，运用了不定积分的多种积分方法，其中综合应用了凑微分、第二类换元法（包括三角代换和倒代换）和分部积分法，而且把不定积分的几种主要积分方法给学活了。通过一题多解，有利于学生突破思维的局限性，拓宽学生的解题思路，帮助学生掌握不定积分方法之间的纵横联系，进而培养学生的发散思维和综合能力。

关键词：三角函数有理式 不定积分 一题多解 高等数学

中图分类号：O172.2 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）08（c）-0194-02

Abstract： In this paper， a trigonometric function rational expression indefinite integral discussed a variety of solution. It is helpful for students to break through the limitations of thinking through multiple solutions， widening the thinking of solving problems of students， further training students' divergent thinking and comprehensive ability.

Key Words： Trigonometric function rational expression； Indefinite integral； Multi-solutions； Higher mathematics

不定積分是《高等数学》的一个非常重要的内容，也是微积分学的一个重要组成部分。而计算不定积分是积分的一块核心内容，由于不定积分的计算方法因题而异、灵活多变、技巧性比较强，这对于初学者来说是一个难点。高等数学教材给出了计算不定积分的常用方法有：直接积分法、第一类换元积分法（即凑微分法）、第二类换元积分法（包括根式代换、三角函数代换、倒代换及万能代换等）和分部积分法。近年来，对于不定积分的一题多解，已有不少学者在这方面做了相关的研究。本文主要讨论一道三角函数有理式不定积分的多种解法，希望其能对学生的发散思维和综合能力有所帮助。

题目：计算不定积分。

（1）万能积分公式。

（2）第一类换元法（即凑微分法）。

（3）第二类换元法。

（4）分部积分法。

在高等数学的教学过程中，常常会遇到同一道不定积分题目，可以从不同的角度去分析，采用不同的处理方法。对这类题目的分析、求解，不仅可以巩固基础知识、开拓学生的解题思路，还有利于学生养成将各种公式与解题方法融会贯通、灵活运用以及从多种角度思考问题的良好习惯，这样不仅达到了举一反三、触类旁通的教学效果，还有利于提高学生学习数学的兴趣和提高数学教学改革的成效。

参考文献

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