解三角形的两种思想方法对比探究

王元凯

摘 要：本文主要针对在解三角形中，已知一角及其对边求取值范围一类问题的几种思想方法进行对比研究.

关键词：解三角形；取值范围；函数思想；不等式思想

在解三角形中，我们经常会遇到已知一角及其对边，求周长，面积等的取值范围这一类题型.在解决这一类题型中常用的思想方法有数形结合思想、函数思想、不等式思想等，本文主要对其中的后两种进行示范讲解并进行对比研究.

题目 在△ABC中，B=π3，AC=3，求周长l与面积S的取值范围.

分析 在一个三角形中，相关量一共有六个，其中包括三个角和三个边，我们学过的解三角形知识中，可以解决已知其中任意三个量（至少含一条边），求解其他量的问题.而本题中仅知道两个量，即一角和这个角的对边，求周长和面积的取值范围.那么我们首先就要找到三角形中除了已知的边角外还有哪些量也是固定不变的.

解 由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R可知，△ABC的外接圆半径R=1，如图1所示，△ABC的一边AC作为外接圆的一条弦，由于弦长不变，所以弦心距保持不变，而∠B=π3，则说明B点是在优弧AC上运动，容易看出，当B点运动到D点（弧AC的中点）时周长和面积最大，此时周长等于33，面积等于334；当B点运动到无限趋近于A点（或C点）时，周长与面积最小，此时周长无限接近于23，面积无限趋近于零.

本方法用到了数形结合的思想方法，但是，对于所得到的结论缺少严谨的理论证明基础，且仅适用于有几何意义的量的取值范围.因此，只建议在做选择题、填空题时用来参考.在后文中将不再赘述.

那么，如何严谨的证明上述结论呢？不难看出证明结论的过程也是求解的过程.

分析 在一个三角形中，已知一角和这个角的对边，求周长的范围即是求这个角兩条邻边的和的范围，而面积S=12acsinB，所以求面积范围就是求这个角的两条邻边的乘积的范围.如果将这两条边的和（积）看成一个函数的话，那么这个函数中变量有两个，即该函数是一个二元函数，如果我们能将这二元函数化为一元函数的话，那么该问题就转变成为求一元函数值域的问题了.

此种思想方法是将多元变量转化为单元变量，运用函数思想进行解题，这种方法被称为变量化一法.

我们可以看到，在运用变量化一法求解问题时，计算过程稍显复杂，那么是不是有在计算上相对容易一些的方法呢？

分析 在三角形中，已知b边，B角，求a+c和ac的取值范围.从形式上观察，不难联想到我们所学过的不等式，那么如果想通过不等式进行求解我们需要把加和与乘积同不等式中其他量建立联系，而余弦定理中出现的平方和关系恰好也在不等式中出现过，那么我们就可以用不等式的思想进行尝试.

此种方法利用到不等式思想，让不等式中我们不需要的关系消失，使之转变为我们需要的关系，此种方法被称为不等式法.可以看出，在运用不等式法进行求解时计算上相对简单，但需要特别注意的是，在利用不等式法进行求解时，一般只能求出一侧的范围，另一侧的范围需要通过其他条件推出.例如本题中很多同学容易忽略两边之和大于第三边或三角形面积大于零这类前提条件.

那么变量化一法和不等式法之间到底如何进行合理选择呢？我们针这个问题进行具体的对比探究分析.

对于本题来说，不等式法将完全无法使用，因为a与c前的系数不相等，所以无论使用“调几算平” （调和平均数不大于几何平均数不大于算数平均数不大于平方平均数）还是使用柯西不等式都无法进行求解.

综上所述，对于“λa+μb”这种一次型以及绝大部分常见形式来说，运用变量化一法，更为合理，例如变式二中当λ≠μ时，不等式作法完全无法使用.而对于不等式中出现的一些形式（比如a+b，ab，a2+b2，1a+1b等）比较适合用不等式思想来解题，但是要注意不等式思想只能解决一侧的范围，对于另一侧需要通过一些其他条件来推出.endprint