花香蝶自来

李德寅

摘 要：本文以北京市两道中考模拟题为例说明自然解法的应用.

关键词：解题；自然解法

所谓自然之法往往是解决某一类问题的通法，是基于某个基本思路和基本图形的解答方法.同时一个问题也可能有多种自然之法，因为基本问题有着无可比拟的包容性.以核心概念、核心知识为基点多联想，自然解法自会水到渠成.

题目1 （北京市怀柔区一模28题）在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.

（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；

（3）如图2，若60°<∠PAB <120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.

解 （1）补全图形，如图3所示.

（2）如图4，点D与点B关于直线AP对称，自然而然联想到AP是DB的垂直平分线，想到线段的垂直平分线的性质，自然就连接AD，或者ΔAPB与ΔAPD关于直线AP对称，ΔAPB≌ΔAPD，自然就连接AD.得到AD=AB=DB=BC=AC，四边形ADBC是菱形，∠ACE=30°.

（3）如图5，作出B点关于直线AP对称点D，连接BD、CD，自然想到AP线段BD的对称轴，直线AP垂直平分BD，想到线段的垂直平分线的性质，或想到ΔADP≌ΔABP及ΔEDP≌ΔEBP，得到AD=AB=AC和ED=EB，所以∠ADB=∠ABD，∠EDB=∠EBD；得到∠EDA=∠EBA=∠ACE；由线段AB，CE，ED首尾顺次组成的三角形，就可以转化为ΔBEC，利用旋转ΔABE或ΔABE≌ΔECA，得∠ABE=∠ECA，可得∠BEC=60°.

题目2 （北京市怀柔区一模26题）阅读下面材料：

小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图6，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6.求BC的长.

小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE.

这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图7）.

请回答：（1）△BDE是三角形.

（2）BC的长为.

解 （1）△BDE是等腰三角形.

（2）BC的长为5.8.

参考小聪思考问题的方法，解决问题：

如图8，已知△ABC中，AB=AC， ∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2.求AD的长.

题目的自然解法：

此解决问题的思路是截取相等的线段，构造全等三角形.如果利用轴对称，角的平分线也是这个角的对称轴，沿对称轴BD折叠△BCD，C点落在E处，自然就想到连接DE，且△BCD≌△BED，得到∠4=∠7=60°，即∠4=∠3=60°，DE平分∠BDA，沿对称轴DE折叠△BDE，点B落在点F处，自然想到连接EF，得到△DEB≌△DEF，此问题得解.

几何类型的解答和证明，常常需要添加辅助线，解无定法，基于基础知识上联想，就会产生自然解法，所以對于教材中的基本知识，基本图形，基本思想，要筑基，要拓展，要整合.只有打好坚实的基础，花才会香，蝶自然会来.

参考文献：

[1]尤维明.探寻解题方法自然生成的源泉[J].中学数学教学参考，2015（6）49-50.endprint