初中数学变式教学的过程性思考及案例研究

陈焕琼

[摘 要] 数学学科中的变式往往通过问题情境或思维角度的不断变化使得事物的非本质属性不断迁移与变化，但其本质属性保持不变. 暴露过程与启迪思维是数学教学中尤为重要的环节，教师在这一过程中应遵循学生的参与性原则，将学生真正引入探寻数学奥妙的殿堂，通过教师的“变”引导与启发学生的“变”.

[关键词] 初中数学；过程性思考；变式教学；三角形三边关系

作为我国传统教学精华的变式教学概括了中国数学教学的主要特征，通过变化使题中的不变因素更为突出是变式教学的核心，学生也因此得以更好地掌握数学概念的本质与解题的思想方法. 课程标准在知识技能、数学思考、问题解决以及情感态度各方面所阐述的课程目标都给变式教学赋予了新的内涵，目标达成的同时也创造了新的可能. “过程性”是初中数学教材内容呈现时所具备的最大特征，过程性变式也正因此成为课程目标实施与达成的有效途径之一.

数学变式教学

从心理学的角度来看，变式是一个揭示事物本质属性的过程，其本质属性往往依赖非本质属性因不同角度、方面以及方式变化而达成. 数学学科中的变式往往通过问题情境或思维角度的不断变化使得事物的非本质属性不断迁移与变化，但其本质属性保持不变.

数学教学包含陈述性知识与程序性知识这两部分内容的教学，前者指概念，后者指的是过程. 静止的概念性变式对于程序性知识的形成、发生与发展是无法真正起到积极作用的. 概念性变式指的是数学概念本质属性的揭示，过程性变式则是知识发生、发展以及形成过程的揭示.

变式教学是教师引导学生从“变”的现象中发现、探索，并因此总结出事物“不变”本质的过程，此过程中一般会有所改变的是概念的非本质特征、问题的条件或结论，以及转换问题的形式或内容等. 传统意义上的变式虽然对学生主动性学习的引导以及科学思维的构建能够产生积极的意义，但是很多时候对于变式中“变”的起因以及“变”的过程往往都没有加以足够的重视. 事实上，“变”的起因、“变”的方法以及“变”的方向这三大内容都是数学课程理念下变式教学的核心，过程性的变式只有这样才能真正促使课程目标的顺利达成.

数学变式的过程性思考

《义务教育数学课程标准》早就明确提出了重视数学问题抽象、模型构建、结果探寻以及问题解决全过程的要求. “过程性变式”正是在这一过程中所采用的策略. 教师在开放度较大的“过程性变式”中可以将相互联系的素材不断进行组合变式并引导学生解决，使得知识发生、生成与发展在纵横交错的联系中形成. 学生在参与和体验知识发现以及变化的过程中自然兴趣倍增，学生的数学思维品质在不断的锻炼与刺激中得到优化. 由此可见，暴露过程与启迪思维是数学教学中尤为重要的环节，教师在这一过程中应遵循学生的参与性原则将学生真正引入探寻数学奥妙的殿堂. 通过教师的“变”引导与启发学生的“变”，使学生在学习知识的同时锻炼出一定的变式技巧与解题技巧，顺应“应用——理解——形成技能——培养能力”的认知过程与客观规律并最终使得学生的数学思维品质与创新能力不断攀升.

学生在过程性变式的学习过程中能够比较清晰地理顺不同概念之间的层次关系，独立解题能力也会因为变式训练的推进而提高. 教师与学生的互动随着变式教学的推进也越发显得亲密，学生在积极参与各个变式的整个过程中不断探索并逐步构建起丰满的活动经验系统. 其具体应用环节如下：①概念的形成过程，②数学对象与背景的转换过程，③数学命题的形成过程，④数学问题的解决过程.

著名数学教育家顾怜沉先生曾经围绕“除法就是分豆子”“等腰三角形的判定”“勾股定理能被学生探究出来吗”这三个课题进行逐层深入的教学设计与研学推进，学生也因此获得了脉络分明的层次性活动经验，过程性变式的功能在此过程中也得到充分凸显.

苏联教育家加里宁很早就说过“数学是训练思维的体操”这句话. 事实上，学生思维素质的培养确实离不开解题这一智力活动的有效实施，知识的起源、形成、发展以及过程中所包含的推理等都是通过解题一步一步、一个一个实现的. 接下来以具体的案例来说明过程性变式教学对学生思维品质优化所起的独特作用.

案例研究

案例：三角形三边关系定理

教师可以围绕此定理进行一系列三角形问题的设计，在引导学生变式与解决中达到巩固知识点以及加深概念理解的目的.

问题如下：一等腰三角形中腰长是5，底边长是6，求周长.

学生很快获解，周长为16.

教师适时提出变更概念非本质特征的要求，引导学生尝试改变问题的条件与结论，学生思考如下：

变式1：一等腰三角形中腰长是5，周长是16，求底边长.

教师继续引导学生思考腰长与底边长是否可以置换，由此得到变式2：一等腰三角形的一边长是5，另一边长是6，求周长.

变式2的出现使得问题相对复杂，简单的一次求解已经不能完全满足题意. 教师此时应该赶紧抓住学生思维拓展的契机引导学生对数字进行变式.

变式3：已知一等腰三角形，一边长为5，另一边长为16，求周长.

变式3的出现使得学生很快将之与变式2进行了比较，学生也很快发现数字的改变使得解题的方法也产生了改变，解题不难. 变化至此，教师继续引导学生进行形式与内容上的转换.

变式4：已知一等腰三角形，腰长为x，设其底边长为y，则y的取值范围如何？

问题的外延随着问题向函数关系转化而扩大，解题要求随之变高，教师在学生独立解题的基础上继续推出变式.

变式5：已知一等腰三角形，腰长为x，底边长为y，周长为16，两者之间函数关系式如何？请在直角坐标内画出其图像.

问题一步一步地变化使得初中数学的“纲”——函数得以展露，平面直角坐標系也被联系于变化之中，数形结合的思想方法在这有意义的变式中得到了很好的渗透.

简析

1. 一个简单的解三角形问题一步一步地由具体变得抽象. 教师在“以学生为主体”理念的引领下与学生展开互动，并使得学生在递进式的变式过程中将一个个问题圆满地解决，“质的飞跃”也在问题的变式及解决中得以真正实现. 函数变量的出现使得问题由特殊变得一般，最后画图这一环节使得数学思想方法的渗透变得更加水到渠成，三角形三边关系定理在整个过程性变式教学中得到了进一步的深化. 对照三角形三边关系定理的深入学习、理解以及巩固这一预设教学目标，整个过程显得圆满.

2. 从学生思维发展的轨迹这一角度来进行整个变式教学的分析，不难发现变式1是对学生逆向思维能力的锻炼；变式2中增添了分类讨论的思想与内容，解题思考时应做出一定思维策略的改变，分类思想这一重要的数学思想方法在此变式过程中得到了很好的渗透；变式3中将“5”与“16”比较分析，根据三角形两边之和大于第三边这一定理可得“5”肯定是底边长，学生思维严密性得到锻炼的同时还巩固了三角形三边关系定理的掌握与运用；变式4的要求更高，教师应引导学生搞清楚问题解决的关键在于对题中条件0

3. 学生在变式中的思维活动能使他们对于事物的本质属性与非本质属性产生更好的理解与区分. 过程性的变式教学使得学生思维定式的形成、突破与转变都变得更加轻松，思维的灵活性与严谨性同时在变式教学中得到了有力的提高，探索与思考的意味充斥其中，数学素养在潜移默化中提升.