小学数学“数与代数”教学中数学思想方法的渗透

刘现堂

摘要：小学数学“数与代数”中蕴含的常规数学思想和一般思想这两类思想方法，在小学数学“数与代数”教学中加强数学思想方法的渗透，是为了让学生明白如何有条有理地、思路清晰地去解决问题，以更好地学习和掌握相关的数学知识，形成良好的思维品质，让学生自主的融入到学习中来，为今后的学习打下扎实的基础。

关键词：小学数学；数与代数；思想方法；研究；渗透

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2017）25-0031-05

数学思想方法是用来引导学生学习数学知识，拓展学生思维，培养学生在解决数学问题时能做到“举一反三”的基础，也是学生学习数学知识不可缺少的思维方法。在课堂教学时有些教师局限于解题的技能与技巧的培养，这很难让学生体会到数的本质，很难领会到数学的魅力。所以说，教师在传授学生数学知识的同时应该有方向、有目的地去给学生渗透一些思想方法，通过这些思想方法来丰富学生的思维品质，培养学生分析问题的能力。从知识角度来看小学数学知识虽然简单，但是在不同的学习阶段都会有相关的数学思想蕴含其中，所以在教学的过程中需要教师去探索和渗透。

综上所述，为帮助学生在小学数学“数与代数”学习中能更好的理解知识，笔者以人教版的教材为例将其中蕴含的思想方法进行研究，希望对读者在教学或者学习中有所帮助。

一、数学思想概述

数学思想方法是蕴含于数学知识内容中，但又高于数学内容，是用来帮助教师引导学生学习数学知识的一种方法。它使学生了解数学，体会数学思维的真谛，并且还可以帮助学生来处理问题，开发学生的创造力，是学生未来发展的重要基础。如今，数学的思想方法已经受到了很多教师和数学研究者的关注，他们的目的也是要培养学生一种分析解决问题的思想，而不是简简单单的灌输知识。随着教育事业的完善，数学的思想方法也成为了值得研究的一个课题。

二、小学“数与代数”中常规的思想方法

小学“数与代数”常规的思想贯穿于整个的小学阶段“数与代数”中，在每个阶段的知识中都能体现出来，为学生的学习提供了切实有效的帮助。

（一）數形结合思想方法

数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，抽象的数学概念，复杂的数量关系，可以借助图形使之直观化、形象化、简单化。

在小学低年级阶段，由于学生接触数学知识的时间不长，对于抽象的数学概念不容易理解，这时教师可以运用数形结合的思想来帮助学生将抽象的数学问题直观化。比如：在数的认识中，教师可以拿现实中的物体来对应着数字帮助学生理解；在分数的初步认识中，首先通过实例，“将一个月饼平均分成2份，每份是这个月饼的一半，也就是它的二分之一，可以写成1/2”，用数与物结合的方法，让学生理解分数这部分知识中所涉及到的数学概念，将抽象的概念直观的呈现在学生面前帮助学生理解所学知识。

在小学的高年级阶段，学习小数的意义时，通过数形结合思想，来帮助学生掌握小数的意义、大小、性质。通过数轴，让学生理解小数的组成、小数大小的比较、小数与整数的关系等。在解决实际问题中，通过画线段图、列表格等数形结合思想，将抽象的数学问题直观化来解决实际问题。

总之，数形结合贯穿整个小学数学“数与代数”中，在帮助学生建立初步的数学概念，培养学生基本数学思维能力中起着十分重要的作用。

（二）数学模型思想方法

数学模型思想是指对于现实世界的某一特定现象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。

在“数与代数”中，具有代表性的有两个模型。第一个：路程、速度与时间模型，用字母表示为s=v×t。路程、速度与时间模型是在实际生活中得到的，那么这种模型也可以用来解决实际生活中遇到的问题。

比如：飞机的速度是每小时900千米，飞机上午11：00起飞，14：00到站，两站之间的距离是多少千米？可以用时间、速度、路程之前的关系，从11：00至14：00中找到所需时间，很容易计算出来。在11：00到14：00这个阶段一共用了3个小时，速度是每小时900千米，那么结果就显而易见了。

第二个：总价、数量和单价模型用字母可以表示为a=n×p。这种模型也是来源于实际生活中，在帮助解决现实遇到的数学问题时起到至关重要的作用。

比如：小明需要买5个苹果和3个梨，已知一个苹果2元一个梨3元，问小明一共付多少钱？这道题我们就可以用总价、数量和单价之间的关系，分别求出苹果和梨的价格再相加。

数学模型的思想方法在小学数学“数与代数”中一直被很广泛的运用，从学习数的表示、数学运算一直到运算规律都有所体现。在数的表示中，用数轴表示数；数的运算中，有很多的公式可以用来引导学生更好的掌握数的加减乘除，比如：a+b=c，c-a=b，a×b=c（a，b≠0），c÷a=b等运算公式都是通过字母表示数来帮助学生掌握加减乘除运算；在运算定律中，加法交换律：a+b=b+a，加法结合律：a+b+c=a+（b+c）等等运算法则也是通过字母表示数的数学模型思想来帮助学生解决复杂的混合运算。

六年级还学习了正比例和反比例，还可以通过用表格和图像来表示数量间的关系，这也用到了数学模型的思想方法。数学模型思想在数学思想中有很重要的地位，这种思想方法不仅仅能帮助学生用来解决分析问题还可以发展学生的思维能力和良好的创造品质。

三、小学“数与代数”中一般的思想方法

小学“数与代数”中一般的思想方法，有些思想只是在个别的知识中有所体现，所以还需渗透一般的思想方法，把两种思想方法联系到一起运用到学习中才能发挥更好的效果。

（一）转化思想方法endprint

转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。在小学阶段我们学过三种运算：整数运算、小数运算、分数运算。教学整数运算时，首先是10以内的加减，当教学20以内的加减时就可以通过转化到10以内的加减来进行计算，通过一步步的引导，使学生可以用转化的思想来学习多位数的加减；教学小数运算时，可以把小数的加减运算转化为整数的加减进行计算；在教学分数运算时，会接触到异分母运算。比如：3/6+7/8，这是两个异分母分数，先要找6和8的最小公倍数，转化为同分母分数，再进行运算。

转化思想不仅仅在运算中有体现，在解决有些实际问题也是必不可少的。

比如：“小明和小华去文具店买文具，小明买了一支钢笔，给售货员10元，找回1.6元。小花买了一个笔记本，已知笔记本价钱是钢笔的一半，问钢笔和笔记本各多少钱”？这道题目最关键的一条信息是“笔记本的价钱是钢笔的一半”，可学生不容易理解。所以，我们需要转化成另外一种说法，让学生容易理解。于是可以得到：钢笔的价钱是笔记本的两倍。这样的话，学生更容易理解其中的道理。

在寻找新知识与旧知识之间的联系时，启发学生利用已有的知识或者通过转化为自己容易理解的知识来分析、解决问题，这样也能使学生对旧知识进行巩固与拓展。

（二）类比思想方法

类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。

在“数与代数”的学习中一般都是遵循由简到繁、由易到难的过程来学习的。我们先学习了整数的加减乘除运算然后类比整数加减乘除的运算意义延伸到小数的加减乘除。

我们开始已经学过加法的运算法则，那可以利用类比的思想来得到乘法的运算法则。比如：加法的结合律（a+b）+c=a+（b+c），通过类比的思想我们很容易得出乘法的结合律（a×b）×c=a×（b×c）。

类比思想在整个小学数学“数与代数”学习过程中起到了连接的作用，通过培养学生的类比思维能力，使学生切实感受到发现与创新的快乐，有利于开发其智力，对于激发学习动机有很大的帮助。

（三）符号思想方法

符号思想就是用符号化的语言（包括字母、数字和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。

小学数学“数与代数”中数的表示、数的运算、数的大小关系、运算定律和数量关系都体现了符号思想。比如：

（69+176）+28 ○ 69+（176+28）

155+（145+207）○（155+145）+207

通过计算、比较可以发现，○左右两边大小相等，这就是加法的结合律。通过上面的两个等式就可以来引导学生怎么样用字母来表示这个加法结合律。用符号表示：（a+b）+c=a+（b+c）。

当然还可以用字母表示其他的运算定律、正比例关系、反比例关系等。以符号浓缩表示的定律能包含很多的信息，更容易学生的理解和记忆。

（四）一一对应思想

一一对应是两个集合元素之间的一种特定对应关系，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此来蕴含函数思想。在一年级学习数的认识时，我们可以通过画实物的方法来认识数字。比如一个苹果对应着数字“1”，两个梨对应着数字“2”，来帮助学生理解。在高年级阶段解决实际问题中，分析解决问题时要根据“问题”去找相应的“条件”，这样就能把复杂问题简单化。

如：买3把椅子2个桌子需支付360元，买3把椅子4个桌子需支付480元，问一把椅子和一个桌子分别多少元？

这道题如果按照语言叙述来分析，学生可能没有头绪，会感到很困难。在教学中有意识的引导学生在问题中找到数量之间的对应关系，并且能够罗列出来，解决此题还是比较简单的。根据题意列成对应的表格来分析解决，如下：

学生通过对这个数量对应的表格分析，能很直观的看出2个桌子的价格是120元，那么这个问题就很容易解决了。

一一对应思想的渗透有利于学生培养形象的思维能力，提高学生的逻辑思维能力，使学生能快速的分析题意，找到切实有效的解决问题的办法。

（五）假设思想方法

假设是先对题目中的已知條件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。比如在小学阶段遇到的鸡兔同笼问题就可以使用假设思想来解决问题。

如鸡兔同笼问题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？

分析：根据鸡和兔一共有35个头，可以判定鸡和兔一共有35只。假设35只都是兔，那么应该有脚35×4=140（只），比实际多140-94=46（只），为什么会多出46只脚呢？因为笼中不全是兔，还有一部分是鸡。一只兔子比鸡多2只脚，多出46只脚，46里面有几个2，就有几只鸡，所以鸡的只数是46÷2=23（只），兔的只数是35-23=12（只）。

本题还可以假设笼中的35只都是鸡，用上述的方法也可以同样得出结果。掌握假设思想，可以使要解决的问题更加的形象、具体，从而拓宽学生的解题思路，培养学生的想象思维。

（六）替代思想方法

代换思想方法是解决实际问题的一个重要原理，解题时可将某个条件用别的条件替代。在小学三年级下册“数学广角”中提到了用替代的思想来解决实际问题。

如学校买了3张桌子和8把椅子，共用去336元，1张桌子和2把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？

分析：首先刚接触到这个题，因为关系复杂，学生做起来有点困难。那么我们可以根据题意进行等量替代：

1张桌子价钱=2把椅子的价钱→3张桌子的价钱=6把椅子的价钱endprint

所以，椅子的单价：336÷14=24（元），桌子的单价：2×24=48（元）

替代思想能帮助学生在解题的过程中，清晰、明确地找到等量关系，从而能正确地解决问题。替代思想还能开发学生的逻辑能力，让学生发现更多数学当中的奥妙。

（七）化归思想方法

把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，变换为较易解决的问题，这就是“化归思想”。数的意义可以用直观图的方法来进行讲解，这样有利于学生理解；小数的加减法把小数点对齐，按照整数的加减法进行计算；用运算定律进行简便计算；化繁为简：植树问题、鸡兔同笼等。

植树问题：同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要载）。一共要栽多少棵树？

分析：要在100m长的地方栽树，因为距离太长学生可能无从下手，不知道如何去做。100m太长我们可以用简单的数试试，“在20m长的一边栽树，每隔5m一棵，一共需要多少棵？”

20÷5=4

要载5棵树。

25÷5=5

要载6棵树。

通过规律我们还可以知道30m、35m分别能种7棵树和8棵树。

那么100米会有20个间隔，我们可以种21棵树。

这是一道很普通的用化归思想来解决的植树问题，我们通过从繁到简的转化来帮助学生分析、理解这个问题，一步步的进行剖析，直到求出最后的答案。在学习新的知识中引导学生运用化归的思想方法来学习，这样对学生了解、掌握新的知识会有很大的帮助。

四、小学数学“数与代数”教学中渗透思想方法的意义

教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。所以在教学的过程中教师一定要重视“数与代数2”中蕴含的数学思想，要以基本的数学知识为载体，根据学生之间的个性差异和年龄特征，在课堂的教学中有目的性的、及时的给学生渗透数学思想，引导学生产生自主运用相关的思想方法的意识，从而促进学习知识和掌握思想方法的协调发展，为学生以后学习打下扎实的基础。

在小学数学“数与代数”学习中，可以分为三个阶段：低年级、中年级和高年级。因为这三个阶段学生存在着很大的差异，所以针对不同阶段的学生要用不同的思想方法的进行渗透。

在小学低年级阶段的数学教学过程中，引导学生到创设的问题情境中去，让学生在情境中领会，培养学生良好的思维品质。如在学习乘法时，通过有趣的情景来展开，激发学生学习热情，引导学生之间相互的交流自己能列出乘法算式，通过整理形成有序的算式，还可以编写乘法口诀。

在小学中年级阶段的数学教学中，因为学生心智不断地成熟，学习到的知识也更加具体，范围也越来越广，所以就可以有意识的让学生理解一些思想方法，让学生学会一些浅层面的数学思想方法，还可以在一些详細的内容学习中让他们知道运用了哪些思想方法，培养基本的数学思维。

在小学的高年级年级的阶段数学教学中，应该一步步引导学生在遇到具体的问题时，能够运用相关数学思想方法来解决，并在所用的思想方法中让学生感受到灵活性和简洁性，这样能帮助学生养成独立思考问题的习惯，丰富学生的思维空间。

综上所述，教师的教和学生的学都和数学思想联系到一起。数学思想能够丰富教师教学内容、带动知识之间的连贯性，还能帮助学生在学习一些系统化的知识时能够运用一些相关的数学思想来丰富自己的解题思路。所以说，不管是在以后的数学学习中还是现在的数学学习中，教师去给学生渗透一些数学思想是很有必要的。

教师在平时的学习中要注意数学思想的挖掘和研究，并且指导学生了解相关的数学思想，要有意识的把知识传授的过程变成学生思考的过程。注重培养学生独立分析问题的能力，不仅要让学生把题解出来，还要让学生知道这些问题中蕴含了哪些思想方法，从根本上去提升学生的数学素养，提高学生的思维能力。

【责任编辑 王悦】endprint