聚焦思维支点，形成“数学式”解题策略

王灵勇 姜滢

摘  要：低年级的数学教材看似简单，只是加加减减，但是处处都体现了数学的思想。作为低年级的教师，在教学中要注重渗透数学的思想方法，并把思想方法融入解题的技巧中，让学生在做中巩固，想中深化。本文结合教学案例、数学思想方法阐述了“数学式”解题技巧在低段学生学习中的运用。

关键词：数学式;思想方法;解题技巧

一、不同教学，不同效果

我们先一起来看一道例题：

2个物体比轻重较简单，但是如果要进行3个以上的比较，学生就觉得比较困难。第一次接触3个物体比轻重时，学生的错误率相当高，学生并不能完全理解题意。笔者采用了3种学法对学生进行了不同的学法指导，产生了3种不同的教学结果。

【纯天然型】

教师不讲解题的方法，只为学生读题，然后请学生独立完成。校对后正确率为25%。

【纯理论型】

教师不仅对于题意进行了一定的讲解，同时教会学生如何进行解题的方法——纯理论。通过第一个跷跷板比较得出兔子比猫重，通过第二个跷跷板比较得出熊比兔子重。因为兔子比猫重、熊比兔子重，所以，熊最重，兔子最轻。学法指导完之后，再让学生做类似的题目，校对后正确率上升为85.3%。

【检验期】

这种学法比纯天然型的学法在正确率上有所提升。能够肯定在一定程度上比纯天然型的好，但是还有14.7%的学生并没有做对，在这正确的85.3%的学生中，能做到举一反三吗？笔者把此题改为4样物体比轻重。再对正确率进行测试，正确率明显下降为21.9%。

是什么影响了学生的判断呢？笔者对学生行了一次谈话。有学生说：“老师，比的东西太多了，我们到后来不知道怎么比了。”也有的学生说：“老师，我比了前面的忘记后面的，后来越比越乱。”笔者正在一筹莫展的时候，有一位学生的方法给了我提示。他在用画的方式给每一个动物做记号。第3种学法在我脑中一闪而过。

【画比结合型】

一年级的学生很喜欢做记号。于是，笔者用画比结合型向学生推广这种方法。①比第一个跷跷板，在重的动物边上画↓，在轻的动物边上画↑。例题上兔子画↓，猫画↑。②比第二个跷跷板，同样在重的动物边上画↓，在轻的动物边上画↑。例题上应该狗的边上画↓，兔子的边上画↑。③如果还有跷跷板以此类推。④看每一个动物边上的尖头，如果“↑↓”同时存在，说明它在比较的过程中有轻的时候也有重的时候，说明它是中间介质，那么淘汰。哪一个物体上只有“↑”就是最轻的，只有“↓”就是最重的。

用画比结合型的学法第一次的正确率为92.7%，再进行适当的指导后，正确率达到了100%。

【检验期】

那么这种方法会不会出现第二种方法这样不能举一反三呢？我同样加大了难度，由3个物体比轻重变为4个物体比轻重，这时的正确率为97.5%。再进行练习正确率基本上都在97%以上。

3次教学，3次不同的教法，学生的掌握情况却天差地别。第3种方法，教师利用数形结合的数学思想方法，转化成为一种简化的解题技巧，学生非常乐意接受并愿意把这种方法变成自己的方法。教师把数学思想方法渗透于学生每天要面对的解题技巧中，学生长久地运用这种“数学式”解题技巧，把思想方法内化为自己的方法。既提高了思维含量，又让正确率提升。

二、不同方法，相同目的

如果能把数学思想方法转化成为“数学式”的解题技巧，对于学生而言是一件幸福的事。作为教师必须知道小学数学中到底运用了哪些数学思想方法。比如

（一）集合的思想方法

集合思想作为一种数学思想方法，在小学数学中有着广泛的运用。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。

如用韦恩图直观地向学生渗透集合概念。利用“數”以及“图形”间的关系向学生渗透集合之间的关系，如非零自然数集合里面包含了质数集合、合数集合和1;三角形集合里面包含了等腰三角形集合和普通三角形集合等。

（二）极限的思想方法

极限的思想方法是反应事物转化的重要环节，也是从量变中认识质变的一种重要数学思想方法，了解它有重要意义。

小学数学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。比如数与代数领域：教学“负数”“正数”“整数”“分数”“小数”“质数”“合数”等这些概念时，教师可通过列举法让学生体会到负数、正数、整数、分数、小数是永远数不完的，个数有无限多个，让学生初步感悟“无限”思想;在循环小数这一部分内容中，1 ÷ 7 = 0.142857142857…是一循环小数，它的循环节是永远写不完的，是无限的;在学习圆的面积时，通过把圆分割成长方形的过程让学生体会到分得越多拼成的图形越接近长方形，体会到极限的思想。

（三）化归的思想方法

化归思想是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。在小学的数学教材中有着广泛的运用，比如化新为旧、化难为易、化繁为简、化曲为直等。

比如：小数乘法化归为整数乘法的方法进行计算;学习周长概念把圆面的周长转化成线段的长;在梯形、三角形、圆形等平面图形面积推导的过程中就用到了转化成长方形面积的计算公式;学习组合图形面积，学生明确组合图形面积计算的基本思路是转化为基本图形的面积，然后运用加减原理计算;教学“有趣的测量”一课时，运用“曹冲称象”的故事，将转化思想渗透其中。

小学数学除渗透了上述各数学思想方法外，还渗透了归纳的思想方法、符号化的思想方法、统计的思想方法、数形结合的思想方法、转化的思想方法、假设的思想方法、比较的思想方法、分类的思想方法、类比的思想方法等。

了解了小学数学中的思想方法，对解题技巧的指导起着决定性的作用。

三、低段学生心理特征分析

数学式的解题技巧是以数学思想方法为基石，依据学生的心理特点而设计的简单、生动的解题技巧。教师要设计出这样的解题技巧，除了要对数学思想方法全面了解外，对于学生的心理特点更是需要全面掌握。

现在我们一起来看一看低年级学生心理的具体表现（见表1）：

根据学生在学习数学过程中的具体表现决定了“数学式”的解题技巧必须要注意以下几点：

（一）审题技能

由于学生的感知目的性较弱，审题技能成为学生解题技巧运用的前提和基础。一年级的学生想当然地认为怎么做就怎么做，结果整题全错。有些较简单的题目，只是稍做改动，对于一年级的学生就变成难题。这主要是学生年龄特点决定他在感知事物时常常不对事物做精细的分析，容易忽略某些细节。因此，教师首先要培养学生的审题能力。教会学生最简单的审题技能。我们可以用一读二找三想四读五解六查的方法，让学生尝试审题。

一读。通读。大致了解题意。

二找。找关键字或注意点。

三想。想一想，题目要我干什么？在平时我有见过这样的题目吗？一样吗？我是怎么做的？

四读。精读。进一步明确题意。

五解。解题。

六查。完成后检查。

这个方法看似比较麻烦，一年级的学生不易掌握。但是只要每次做题时都进行反复强调，学生慢慢地就会习惯用这样的方法进行审题。一旦学生进行了审题，就能正确地运用解题技巧。

（二）简洁化

由于学生的注意力以无意注意为主，有意注意还不完善。长时间的做题会造成注意力分散，降低学习兴趣。所以这就决定了解题的技巧必须要简洁化。比如在教学《比轻重》时教师所采用的画比结合型的“数学式”解题的方法，不仅简单，而且也很有趣。再如在教学《100以内进位加法》时，我发现学生特别容易忘记进位。于是我给他们的解题法宝是：

36+8=44

1

1. 从个位加起

2. 6+8=14，个位写4把进上去的1写到3的下面。

再把1+3=4，答案就是44。

这样的解题技巧不仅不会让学生忘记进位，而且把整个计算的思考过程全部呈现，不仅有利于学生检查自己的作业，同时也有利于教师检查学生的掌握情况。学生很喜欢这种特别的方法，计算的正确率自己也就上升了。

（三）浅显化

学生的记忆特点决定了解题的技巧必须要具有浅显化的特点。学生一看，教师一指导，他就能理解为什么这样做。对于低年级的学生而言，如果要学生靠抄、背才能掌握的或根本不理解的技巧再好也没用。比如《比轻重》中的纯理论型的解题方法指导，虽然学生也能理解，但是这种理解之后学生不能马上转化成自己的东西，而且不够浅显，不能让学生一看就明白，理解。所以，这样的解题技巧不会被学生接受与理解。

（四）目的化

由于低年级学生的目的性差，情境性强。所以，教师在进行解题的技巧指导时，解题的方法要直指题目的本质，对于本质外的东西尽量避免。比如：大小不同圆的圆周与其半径的推算。舍弃了圆的大小及半径的长度，抽象概括出一切圆的周长与半径之比都是一个常数。再比如在教学一个数比另一个数多多少时，需要让学生第一时间掌握是哪两样事物进行比较，而其他的东西变得并不那么重要。

（五）形象化

学生的思维需要具体形象事物的帮助，所以对较抽象的数学概念或题型较难理解和掌握。因此，教师在设计题型技巧的时候一定要形象，借助形象的方法来帮助学生理解抽象的题型。比如：小红有2件上衣、3条裤子，如果一件上衣与一条裤子为一套，小红一共可以搭配成几套？只是说说思路不够明显，但是如果能画一画，那么学生马上就可以算出有几套。

四、巧妙指导 轻松解题

不是所有的思想方法都能把它轉化成为低年级学生的解题技巧。我们还需要根据学生的实际情况来进行分析与评价。只有学生愿意采用乐意接受，才能成为一种好的数学式的解题方法。笔者把低段学生较常见、学生也比较喜欢用的一些数学式的解题方法与大家一起分享。

（一）图形结合法

华罗庚说过“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。”数形结合思想方法常体现在：以形助数、以数助形、数形互助等几个方面。

数形结合的方法是数学中最常用的一种方法，特别到了高等数学的学习中，它是最有用的方法之一。到了小学这种方法的运用自然没有高等数学那么深奥，但是这种方法依然是低年级运用的最多的方法之一。

（1）形到数。比如：一年级在教学10的认识时，教材从10个小动物，抽象出10个小圆点，再抽象到10根小棒，最后认识10。借助于学生的形（当然这里的形是指比较具体的事物）来数量化10的概念。再比如我还听过朱乐平老师上的《求一个数的几分之几是多少》，他的教学设计是从一个正方形导入的。让学生先找这个正方形的1/2、1/4是怎么表示的。再导入如果这个正方形表示60，那么这个正方形的1/2是多少。从形到数的教学让学生轻松地学会了思考方法。（2）数至形。比如王琼花老师曾上过一堂《连除的应用题》，他就是用正方形的分割来帮助学生理解连除的含义。在教学9+7的时候可采用画圆点，用圆点的移动理解凑十法的好处。

在让学生掌握数形结合这种方法的时候，往往是光从形或光从数的角度很难解决问题，或是从形或从数的角度能更好理解时，我们就会考虑用数形结合的方法来解决问题。

（二）有序思考法（做记号）

在教学低年级特别是一年级的内容时我们会发现特别考验学生数的本领，比如统计，数一数有几个小动物等等。如何来解决这样的问题呢？有序思考就变得很重要。按照一定的顺序，进行统计。低年级的有思考一般分为2种。

（1）数的有序思考。比如：10可以分成（    ）和（    ），这时就需要学生运用从大到小或从小到大的顺序来排数字，最后组合而成。1和9;2和8;3和7;4和6;5和5。（2）形的有序思考。这种情况一般出现在统计类的题目中。这种有序方法是要学生掌握从左往右或是从右往左数，如何一个都不少地数出来呢？我采用过2种方法，一种是同一种类型的图形都写相同的数字，比如说，圆全部都写1，正方形全部都写2。但是这种方法实验表明学生还是会出错，因为有些孩子数到后来写还在写1，嘴里已忘记是几了。所以后来我就采用了写数字，数1 个写1个。比如圆一共5个，那么他给圆写上的数就是从1-5。这样学生就不会错了。还有比如4个圆点放在数位顺序表上，它能组成几个数？这类题型也是按一定的顺序先全部十位，再依次放一个到个位上，就形成了数字。

（三）类比联想法

类比联想思想方法，是由一种事物想到另一种事物，即由此及彼的思想方法。类比联想的特点，通过形象的彼此联结而达到对事物的认识，它并不破坏原来的形象，而是把几种表象形象联结起来形成象链的形象思维方法，新颖性和创造性是它的根本特征。比如大家都知道一年级的人民币单元对于孩子来说存在较大的困难，原因在于孩子们没有生活的经验，同时又要遇到进率的转化与计算，可谓是难点重重。不过我在教学转化的时候却让我遇到了很特别的解题方法。4元5角=（    ）角。他是这样解的。元相当于十位，角相当于个位。现在都要把它化成角就是45角。这题的解法与写数的方法相同。这是个很有特色也很有个性的创造，虽然这种方法有待考量，但是这个解题方法做题正确率是出奇的高，几乎没有人会错。

当遇到两样事物他们的本质相同又非常相似的时候，我们可以考虑用类比联想法把这两样事物联系起来进行思考，在比较中找到突破口完成解题过程。

（四）一一对应

这种思维方法在低年级主要有两种。（1）图形的对应。常常有这样的题：有5个圆，请你再画圆比他多2个。这边教学一般有两种方法，一种是让学生数好上面有几个再算一算，然后画上去。另一种是一一对应的画，每一个圆对一个，多2个再在外面画2个。事实表明用一一对应的方法使学生解题的出错率比较低，而且也符合题目的本意。（2）数的对应。12-3=14-5=16-7=___，这类题目不仅与对应有关还渗透了函数的思想，往往与后序的学习有关。一般在遇到两样事物进行对应比较的时候，我们会想到采用一一对应的方法来思考一些问题。

（五）逆向思维

人们在处理、解决问题时，常常按照习惯的思维来进行思考，运用习惯的化归方式去转化解决问题。当从正面思考难以解决时，人们就转向反面思考。值得注意的是，逆向思维的方法是建立在正向思维的基础上，它离不开常规思维的悖逆。

正面问题  正难则反

我们在教学中逆向思维的练习是比较多的。比如（    ）+6=12可以这样思考12-6=？或是一个数先加上4，再减去2，再乘上3，最后得数是21，原来这个数是多少？这些题目都可以用逆向思维来解决问题。

当某一些題目用顺向思维去解决时发现很难进行下去时，可以考虑用逆向思维法来思考一下。

（六）割补法

割补法在平面几何图形的学习中是比较常见的一种推导方法，也是一种思考方法。比如，在面积和体积教学中，都有着广泛的应用。平行四边形通过割补可转化为长方形（或正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通过割补可转化为近似长方形等。在低年级最多的是数格子，把多出来的割下来补到空的地方去。

以上这几种方法的尝试，我发现低年级的学生比较容易接受与喜欢。当然还会有更多的数学思想方法我们可以把它变成适合低年级学生的解题方法。希望通过我们的努力能让我们的学生学得更轻松，快乐！教师教得更轻松，自在！