“零”起点，并非从“零”开始

薛正桧

摘  要：计数（数数）能力是儿童早期数概念发展的重要能力之一。一年级新生的计数能力达到了什么水平？他们在学前阶段主要参与了哪些计数活动？现实水平和先前的活动，对一年级起始阶段的计数教学有哪些启示？在回答上述三个问题的过程中，我们将会对“零”起点教学有个全新的认识，幼小衔接也才会在小学阶段真正落地生根。

关键词：幼小衔接;一年级新生;计数能力;发展状况;已有活动;培养策略

长期以来，有关幼小衔接研究的话语体系，主要是由学前教育的研究者、实践者搭建起来的，衔接的主要方式也是以幼儿教育小学化为主，“抢跑”成了时尚，前倾式倾向较为明显。这种违背儿童天性、不符合认知发展规律的做法要紧急刹车，走向正途。作为幼儿园教育的延续，起始阶段的小学教育在这方面也应该担任更为重要的角色了。

一、一年级新生计数能力发展状况调查

计数（数数）能力是儿童早期数概念发展的重要能力之一。结合富森提出的儿童计数能力发展阶段理论和皮亚杰的认知发展阶段理论，我们尝试把儿童计数能力从低到高分成七个层次的水平。

水平一：数词水平。幼儿在这一阶段会把一个个的数词当作语音单位，通过模仿学会它的发音，但并不知道它的实际含义，多数情况下以“唱数”的方式进行呈现。

水平二：数串水平。儿童能对一连串的数词进行单向的整体记忆和背诵，但无法把单个的数词从整个数串中独立出来。他们每次数数都要从1开始，而且会一下子把所知道的所有数词都说完，即一说就是一串。

水平三：对应水平。儿童能从数串中分化出单个的数词，数数时能将每一个数和所数的对象一一对应起来。他们数数虽然还是要从1开始，但能数到某一个指定数就停下来。处于这一阶段水平的儿童才真正具备了实质性的计数能力。

水平四：可逆水平。儿童数数不再局限于从1开始，他们不仅能从指定数向后数，还能从指定数向前数，也可以向前或向后数到指定数。但这个阶段的儿童基本上还不能把数数和计算联系起来。

水平五：单向数块水平。位于这个水平的儿童，不仅能一个一个地数数，还能把每一个数词都当成一个独特的计数单位，两个两个地数，五个五个地数等都习以为常，而且他们已经能借助数数进行简单的加法运算。

水平六：双向数块水平。在水平五的基础上，儿童能反向以数块为单位进行数数。

水平七：位值水平。儿童能用位值的意义理解数的组成，而非数词的简单延续。例如，要数出45，也就是十个十个地数4次，再一个一个地数5次，合并起来就是45。

今年参加学校的一年级招生工作，我随机对某一时段报名我校的80名儿童做了访谈式调查，统计情况如表1。（注：如果孩子在某一水平上不达标，就不再进行下一水平的访谈了。）

从访谈的情况看，学前儿童计数能力的发展状况总体较好，基本都达到了“可逆水平”，即能熟练地从1或者从指定数开始正数或倒数到指定数，数数有了实际的意义。水平四中不达标的两位儿童，一位是因为环境陌生，产生了不适，从5数到16时，出现了跳数现象;另一位是从12数到4时，出现多次卡壳，反复3次后勉强完成。这说明，学前儿童在水平一到水平四的能力发展上，几乎没有统计意义上的差别，他们在数概念的发展上具备了进一步发展的良好基础。

第二，儿童在“单向数块水平”上出现了明显的分化，百分占比一下子由97.5%下降到45%，他们能一个一个地按自然数序进行数数，但不能过渡到用“数块”数数上，即大部分孩子的数数只能以“一”为单位。他们中的一些甚至认为“两个两个地数”“三个三个地数”的数法是错误的，中途不能漏下任何一个数，数数只能一个一个地数。而且较多的孩子能说出5+2的结果，但说不清为什么结果是7，不会表达自己的想法，也谈不上把数数与计算结合起来。通过进一步追问了解到，他们会算加法主要是记住了结果，一次次地反复记忆达成的。这，显然不够。学前儿童在这一水平上的分化可能就是我们一年级教学的起点。

第三，儿童在后续的水平五、六、七的检测中有差异，但不是明显的差异。从上表可以看出，36名儿童达到了“单向数块水平”，在此基础上，只有两名儿童未能达到“双向数块水平”。这说明，只要他们认识到利用“数块”可以数数、数数能帮助我们进行简单的计算，那么“逆向”的发展就能通过前期“可逆”的能力进行迁移，这一步可以很顺利地过渡。进一步地可以看出，水平六到水平七的递进也没有非常大的鸿沟，因为“位值”仅仅是“数块”为“十”的一个特例。到了后期“百”“千”“万”等的出现，也不过是“数块”更大而已，由此计数趋向无穷。

随后我又与10多位不同学校的一年级数学老师交流，发现他们基本上都认同上述访谈结果。由此可见，一年级新入学儿童计数能力发展的差异是从“单向数块水平”上开始的。

二、学前儿童进行了哪些计数活动

教育部《幼儿园教育指导纲要（试行）》在科学领域的“内容与要求”中明确指出：“引导幼儿对周围环境中的数、量、形、时间和空间等现象产生兴趣，建构初步的数概念，并学习用简单的数学方法解决生活和游戏中某些简单的问题。” 这说明幼儿数概念的发展在幼儿园教育以及家庭教育中是受到重视的，计数能力的培养也必定是通过一个又一个的活动，持续地开展着的。格爾曼等认为，儿童数数时必须遵循五条基本原则：（1）一一对应原则，即一个数只能对应一个物体;（2）固定顺序原则，即数与数之间有一个固定的顺序;（3）基数原则，即数到最后一个数的值就代表这个集合所含元素的总个数;（4）首位不相关原则，即数数与从什么地方开始无关;（5）抽象原则，即数数的原则可以用于任何事物。根据这五条原则，幼儿园里开展的数数活动，按先后顺次，主要的有口头数数、按物点数、说出总数、按数取物四种（见表2）。

1. 口头数数。幼儿一般从3～4岁开始，就能跟着成人或大些的孩子学数数，他们常常聚在一起，从1开始，有顺序地往下数，就像平时背儿歌似地进行表演。虽然在他们眼里，这只是一首儿歌，每一个数词与实物间还没有建立起对应关系，但自然数列的固定顺序得到了一次次地巩固。孩子能从1数到10或是20、100等都是他们及其监护人在这一阶段炫耀的资本。但准确地说，其实数数还没有开始，这仅仅是唱数。

2. 按物点数。随着口头数数本领的增强，要求儿童能将这些数与实际物体之间建立起一一对应关系，做到手口一致地点数。按物计数较口头数数复杂了许多，手、眼、口、脑需要协调一致。由于幼儿大脑皮层抑制机能发展较慢，按物计数会出现很多不一致现象。比如：（1）嘴里数出的数是对的，但手却是乱点物体的;（2）一个一个地点物体是对的，但口头报出的数却是乱的;（3）嘴里数出的数是对的，点的物体也是对的，但两者速度不同，做不到一一对应。

3. 说出总数。即儿童在按物点数后，能够说出所数物体的总数，这一活动往往与按物点数同时进行。接物点数与说出总数是幼儿园里开展最多的活动，这是计数能力发展的关键，它表明幼儿能运用数和理解数的实际意义了。这一阶段也是幼儿计数能力发展的重要阶段。

4. 按数取物。即按一定的数目拿出同样多的物体，这是对数概念的实际运用。相对按物点数和说出总数而言，按数取物更具有挑战性。因为前两个活动针对的是目力所及的所有物体，没有干扰因素;而按数取物可能取的是全部物体，但更多的情况是取所能接触到的物体中的一部分，要求孩子能根据“数”果断地舍弃其中的一些。而这一活动，也恰恰没有能引起成人的重视，没能对“数”和“取”有本质性的认识，错误地把计数活动局限在“数”的层面上了。

至于在家庭教育中，对学前孩子进行哪些数数活动，我们没有做深入的调查了解。但基本能从面上做个判断，即大多参照幼儿园里的做法，在口头数数、按物点数、说出总数上有所侧重，而且活动更多地在形式上开展得较多，引导也缺乏科学性、艺术性。

三、如何引导一年级新生开展计数活动

了解到学前儿童进行了哪些计数活动以及他们具体的发展水平，对我们一年级起始阶段如何开展计数活动，有着较强的现实意义，避免了做无用功、倒头功。更为重要的是，号准儿童真正的学习起点后，打破原有的教学定式，重构教学，教在儿童最需要的地方，学习才能真正发生。“零起点”不是从一张白纸上开始，而是从学生的现有基础上开始，这里的“零”不是绝对的零，而是相对的“零”，着力当下，让计数教学从“零”开始。

1. 让儿童对技能的追求少一分热度

从前测的情况看，学前儿童对计数已经有了比较好的基础，他们几乎都能熟练地从1数到100，甚至更多。大部分的孩子对倒着数数也是得心应手，他们对自然数列的正、反两个固有顺序已经烂熟于心。这是好事，说明大家重视了。但到了小学以后，我们就要适当减少那些纯技能的训练活动了，更不适宜在集体场合搞类似的低级竞赛活动。

研究发现，低年级儿童过于熟练的技能训练会对意义的理解有较强的抑制作用。试想，一个对从1数到100非常熟练的孩子，他会虔诚地听老师介绍“10”是怎么来的吗？他们会理所当然地认为“9后面就是10，这还要问吗？”“10就是10啊，两个手加起来一共10个手指啊！”殊不知，在现代计数法中，“10”的出现是具有里程碑意义的，它跟前面的“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”都不一样，它不是一个新的符号，而是原有的两个符号“1”“0”组合而成，这是计数单位的一次更新。以小棒为例，如果孩子头脑中浮现的表象仍然是零散的“10”根，而不是10根经过捆绑后的“1”捆，那么就可以说他对“10”的认识还没有建全。但孩子自己可能不这样认为，他认为自己知道“9后面就是10”就行了，至于其他的，他们才不会去想。这就是熟练的技能对意义理解的反向抑制。经一年级教师反映，课堂中那些不认真听讲的孩子往往都是那些自认为已经会了的孩子。对此，我们除了要有一个正面的引导外，适当减少孩子对这方面的追求热度，从心理机制上扫清这种倾向才是当务之急。这既是对孩子说的，也是对家长及学前教育的老师们说的。

2. 让儿童对感性的积累多一分依恋学前儿童的识数、计数能力虽然有一部分是在幼儿园里经专业老师教学习得，但不可否认的是，他们中的大多数是在家庭内获得的。此时的幼儿园更像是一个展示的舞台，幼儿们纷纷表演已经习得的本领，而一些发展稍慢的幼儿也会在集体的催化下慢慢习得这些本领。在这一过程中，由于没有教学理念的支撑，家长们甚至部分学前教育的老师们很少能站在儿童的视角，从感性入手，以建构的方式，慢慢提升孩子对数数的认识。他们大都是采用口耳相传的方式去教孩子，不厌其烦地带着孩子一遍又一遍地识记，这种识记没有感性经验的积累，空洞而乏味。而儿童的计数由于过早地被抽象化、符号化，也就失去了对意义理解的良机，他们长期处于一种被架空的伪抽象当中。到了小学以后，我们要补上这一课，多让孩子在实物情境中进行计数，数、拼、分、指、画、摆、圈、比等不同形式要轮番开展，让他们感觉到计数原来这么有趣、这么有规律、这么容易。

比如，《1-5的认识》是数学符号认识的起点，我们在夯实学生对“1”的认识时可以按这样的次序进行教学。（1）你们会数出情境图中物体的个数吗？请指一指，并大声数一数。调用学生已有的经验。（2）请你随意画出一个动物或图形，再说一说用什么数来表示？以图形表征的方式再现学生对“1”的表象。（3）小朋友们画的都不一样，为什么都用“1”来表示呢？借儿童之口来明确“1”作为一个符号的抽象性。（4）还有什么也可以用“1”来表示？请找一找。进一步丰富感性经验。（5）我们用什么来表示一个动物、一朵花、一支笔、一所学校等等呢？简单抽象，引出符号“1”。（6）如果再加一个，还能用“1”来表示吗？那是几呢？你明白“2”是怎么来的吗？用变化、发展的观点延伸到下一个符号的学习。在上述过程中，我们以学生的动手操作为主，运用大量直观形象化的素材，盡量让儿童在感性的世界多待一会，为他们积累了丰富的感性经验，这就为后期理性的升华做足了保障。

3. 让儿童对意义的理解多一分关联

计数只有与计算结合起来才能彰显出更大的价值。在四则运算中，加法是最基本的运算，自然数的加法运算是由最原始的“+1”逐步复合而来。“+1”的复合是皮亚诺自然数公理定义的核心，其本质是用有限去把握无限。加法的本质是数数，“+1”的复合可以作为解释10以内加法的算理依据。其基本思想是利用运算步骤将复杂的问题分解成许多简单的部分，这是现代数学的算法机械化思想。不仅如此，减法的本质其实也是数数，是“可逆水平”上的数数。如15-2，其实就是从15开始，往前数一个是14，再数一个是13，也就是15-2=13。乘法的本质也可以归为数数，是“单向数块水平”上的数数。4个4个地数，5个4是几啊？不就是5×4=20嘛。除法的道理与减法相似。明白这一点后，我们就能自发地在数数与计算之间建立起联系。

比如，教学《6+2》时，可以反复地开展这几个层次的训练。（1）左边6本书，右边2本书，一共有几本书？让孩子明白“一共有几本书”其实就是把它们合起来数，然后一起数1、2、3、4、5、6、7、8，得出结果8。这其实就是幼儿园里常开展的按物点数、说出总数，做加法其实就是数数，把数数与计算结合了起来。（2）还有更加简便的数法，直接从左边6本书中的“6”开始往后数两个，7、8，快速得出结果8。（3）不出现具体的书，让学生在头脑里借助表象，但仍用前两种方法来数。（4）舍去情境，直接计算6+2，说一说你是怎么算的。类似这种有关联的训练，我们要加强。这可能也是学前儿童提前学习加减法运算最缺乏的。

4. 让儿童对同伴的交流多一分向往

儿童的数学学习是碎片化的，没有系统的，他们有自己独特的理解数学的方式。有时我们能够参透其中的一二，有时却爱莫能助。但他们同龄人之间因为有相近的心理认知水平、相似的生活经验，对一些问题的理解反而是心有灵犀的。让孩子们多交流，以他们共有的方式去理解所学知识，这在起始年级效果特别明显。

在教学“利用数块数数”时（相同数连加的前期渗透），为了动态呈现情境，我先在黑板上摆了4个小圆片，然后又在它的右边空一些的地方摆了4个小圆片，问学生一共是几个？我的意图很明显，2个4是8。但一位学生却说是“44”。我一下子意识到了，他把左边的“4”当成十位，右边的“4”当成个位，理解成两位数了。我赶紧跟他表白“这种想法是可以的，但如果说的就是两个4，那么一共是多少呢？”照理說，这个时候他应该能说出4+4=8了，但他没有。“4个十，加4个一，还是44啊！”说不清了，怎么办？把他放在一边，这个孩子会一直纠结，我于心不忍。但我确实又找不出更好的方法，因为该说的我都说了。这时，其他孩子帮了我。“老师没有用数位框。”“左边是十位的话，我们是不是要换一个更大的圆片？”你看，儿童的语言虽然不是很科学，但多么的直接，多么的纯朴，又是多么的到位啊，这比我说的好多了。相比而言，儿童可能更擅长倾听来自同伴的意见。只要我们给他们交流的机会，他们就能把这种交谈上升为自己话语体系中的一次对话，平等、自由、精神共享式的言语沟通，彻底地表达出了内心深处最真实的想法。儿童的计数以及由此引申的计算活动，植根于他们原本的生活经验，通过交流，这种经验就可以升华，无往而不胜。