计算教学与数学思想方法的渗透

杨凯明

摘 要：数学思想的教学，是提高学生计算能力的重要教学途径。教师只有在每堂课的教学中适时、适当地体现思想方法的教育目标，才能让学生在潜移默化中能够日积月累。而只有学生掌握了数学思想方法，知识才能真正做到融会贯通，全面提高思维品质。

关键词：计算教学；数学思想；渗透

数学思想，是一种以数学的角度看待事物，以解决数学问题的方法解决事物的思想。数学思想是解决数学问题的根本思想。如果学生具备了数学思想，就能应用这套思想来解决一切数学问题；反之，如果不具备数学思想，就会找不到解决问题的方法。古人云：“泰山不让土壤，故能成其大；河海不择细流，故能就其深。”数学思想是一种非常宏观的思想。因此，教师要在计算教学中渗透数学思想，使学生能以数学思想的方式找到计算的规律。

在小学计算部分的教学中，教材上贯穿例题的教学内容以培养学生的计算技能为主，学生在学习课本中的知识时，获得的是计算技能。然而，学生如果仅仅只具备计算技能，是不能理解技能形成的原理、应用的思想的。假如学生不理解计算技能背后的数学思想，则可能无法灵活地应用计算技能。在课本没有重点描述数学思想的情形下，教师要通过数学思想的渗透让学生一边掌握技能，一边理解技能背后呈现的数学思想，令学生意识到看似简单的“计算教学”，往往蕴含了非常丰富的有关数学思想的教育素材。因此，教师应充分抓住计算教学中的素材，使其中的数学思想方法得到挖掘和渗透。

一、纵横联系，挑亮“类比思想”的火焰

类比推理，又可以称之为不完整的推理。完整的推理要求人们掌握全部的推理素材，应用一种逻辑来推理素材与素材之间的内在联系，然后搭出一个严谨的推理框架，得到一个概念结论。而类比推理没有这样严谨的要求，它只要求人们找出素材与素材之间的逻辑联系，然后用一个素材的原理来推理另一个素材的原理。人们应用类比推理的方法来理解事物时，不要求推理的过程非常严谨，允许人们在推理以后验证推理是否合理。类比推理，是人们迁移知识的重要思想。笔者整理了类比法在小学数学“计算教学”中的渗透，主要有几块内容（如图1）。

如四年级上册《小数的加、减、乘混合运算》（教材如图2）就是将小数的四则混合运算、运算律与整数进行了类比。

在学生独立解答的基础上进行交流，一般学生会出现分步与综合的不同列式，结合分步列式中每一步的意义，教师提出“小数四则运算的顺序是怎样的”的问题。结合解决问题说说算式中每步的意义，还可以帮助学生体会类似“2.8×3+6.1×3”的混合算式，兩步乘法可以同时进行。之后，教师再引导学生解读智慧老人的话，想一想：整数中我们学过哪些运算律？刚才的计算过程中有没有用到运算律？在不断反思和整数四则混合运算及运算律的类比中，明晰整数的四则混合运算顺序和运算律在小数四则混合运算中仍然适用。

二、研读教材，播撒“函数思想”的种子

在小学数学教材中，没有正式引入函数概念与函数关系式。然而，小学数学的公式便可以视作一种简单的函数模型。教师可引导学生从公式着手理解函数的思想。现应用常见的计算公式说明小学数学的计算教学中处处渗透着函数思想（见表1）。

我们一起来看下北师大版二年级上册《做个乘法表》（如图3）。

学生完成表格后，先让学生自己观察，说说发现了什么？教师有意识地适当引导观察每列算式的两个乘数、积的特点，可以发现：乘法表中的每一列乘法算式，都是一个乘数不变，积随着另一个乘数的变化而变化。于无形中孕育、播撒函数思想的种子。

在整理完乘法表格后，九九乘法表是要求学生背诵的。学生理解了积和乘数之间的这种关系，比如背诵时记住了“四七二十八”，忘记了“五七三十五”，就可以想想28+7=35，马上就背出来了。教师引导学生理解九九乘法表，实际上就是引导学生理解函数的思想。教师可引导学生把计算的结果当作y，把被乘数当作x，把乘数当作系数，让学生从y=1x，y=2x，y=3x，…来理解乘法表。学生在理解乘法表的时候会发现y与x存在一种关系，九九乘法表的关系是以1，2，…， 9的关系递增的。结合这一函数公式，学生便能理解九九乘法表的真正意思，从而结合学过的加法知识迅速记忆九九乘法表。

对于小学生来说，要理解函数思想还有些困难，这是由于小学生的抽象思维能力还没有形成，很难从宏观的、抽象的角度来理解知识。然而教师不能因为学生的抽象思维能力不足而不引导学生形成函数思想，反而教师要引导学生在学习各种公式时，应用函数思想来理解公式。从心理学的角度来看，只要学生长期受到这样的训练，就能慢慢内化这种思想，并且以后能本能地应用这种思想来解决问题。

三、灵活运用，放射“数形结合思想”的光芒

数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合。“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞数缺形时少知觉，形少数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”这是华罗庚关于数形结合的一首词。

特别是在计算教学中如果能够以形助数，则可以使运算意义和运算定律的意义变得直观形象，有利于学生理解意义的实质；还可以将抽象的算理变得简明形象，有利于学生深刻、透彻地理解算理。因此，计算是渗透数形结合思想非常好的一个载体。

例如：（1）华山是我国著名的五岳之一，海拔约2155米，四舍五入到百位大约是多少米？

出示图4，先让学生在图上标一标，然后再根据图形分析，直接写出2155≈2200。

（2）一个数，四舍五入到万位后约等于6万，这个数最大是（ ），最小是（ ）。

这道题目假如凭空想象，对于大部分学生来说非常抽象，但是结合数线（如图5），则可以轻松解决问题。

通过数线可以看出，这个数在55000和65000之间，但不包括65000，所以最小是55000，最大是64999。endprint

在解决上述问题时，运用“数形结合”让问题的剖析直观化，帮助学生理清了思路，找到了解决问题的方法。更重要的是图形呈现的数线，不仅让学生便于描述自己的想法，而且还可以提高学生的数学表达能力，促进学生的个性化发展，更是于无形中渗透了数形结合的思想。

四、点播提炼，挖掘“转化思想”的生長点

数学知识是呈现从简到繁、由易到难的过程。教师要引导学生应用转化思想来思考知识，使学生能把复杂的知识简单化，把宏观的知识具象化、把集成的知识分类化。转化思想是数学学习的法宝之一，具有重要的意义和作用。我们一起来看看转化思想在小学数学计算教学中的渗透（如图6）。

以四年级下册“小数乘法”这一单元为例，小学生在学习乘法时，最易犯的错误是没有正确打小数点。教师可以引导学生思考3.2×1.1，结果有几个小数点？3.2×1.11有几个小数点？3.2×1.111有几个小数点？以此类推，反过来，3.22×1.1有几个小数点？3.222×1.111有几个小数点？那么乘数、被乘数、积之间小数点的关系是什么？教师可引导学生结合函数思想来分析小数乘法计算的规则。学生结合函数思想，便能理解积的小数位数=乘数的小数位数+被乘数的小数位数。这就是把数学计算问题转换成函数问题的案例。

在计算教学中渗透转化的思想，有时也需要我们教师的“润物细无声”。如在一年级教学“8和7加几的进位加法”时，本节课是在学生已经会用“凑十法”计算9加几的基础上进行教学的。然而什么样的情况适合应用“凑十法”，什么时候不适合应用“凑十法”？“凑十法”的科学应用规则是什么呢？比如当学生计算“8+7”，运用“凑十法”变成“8+1+6”时，教师应该及时抓住学生的可取之处进行评价，有针对性地进行反馈，“你把8+7转化为我们已经学过的9+6，把一个新的问题转化为旧的问题。这样的做法，在以后的学习中我们还会经常用到哦。”接着再追问：“但是9+6等于多少，有些同学的计算还不太熟练，上节课我们是把9+6转化成几加几的呢，你能帮帮他们吗？”如此处理，引导学生重新回到运用“凑十法”来解决问题，让“转化”的解题策略在孩子的心中悄然扎根。

五、善于总结，张开“归纳思想”的翅膀

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。在小学数学的教学中应用比较广泛的是不完全归纳法。归纳是学生个体自我完善和发展的有效手段之一，是小学生在学习过程中将零碎的知识变成系统性知识的一种能力。在计算教学中，很多法则、公式和定律的推导，都是在列举特殊例子的基础上得到的。

小学数学归纳法的教学，渗透在计算教学中主要体现在以下几个方面。

1. 计算法则的归纳

整数的加、减、乘、除的笔算，都是通过几个有限的由易到难的例子，让学生在理解算理和口算方法的基础上探索计算的方法，最后再进行算法的总结。这种法则的得出就是运用了归纳法。如一位数除多位数的计算法则的归纳总结，学生在已经掌握了表内乘除法和整十、整百数及两位数除以一位数的口算的基础上，通过利用竖式计算“68÷2=”“48÷3=”“888÷6=”来探索、交流、归纳计算法则。

2. 运算性质的归纳

商不变的性质、分数的性质、小数的性质、等式的性质、比的性质、比例的性质等，都是小学数学计算教学中的重要性质，这些性质都是先通过举例，然后再让学生进行探索、交流，最后归纳总结得到的。比如分数的基本性质（教材如图7）。

以上就是给予学生学习实例，让学生在实例的基础上归纳数学计算公式的方法。学生通过观察图形归纳出计算的公式：“分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变”。在这个过程中不仅渗透了函数思想，更是运用了归纳推理的方法。教师不仅可以引导学生用以上实例来归纳数学公式，还可引导学生逆用归纳法来理解数学公式。比如教师可引导学生用举例的方法来归纳小数加、减、乘、除的计算原理。当学生能正用、逆用归纳法时，就能应用归纳法来吸收及诠释知识。

3. 运算定律的归纳

运算定律的本质就是运算中的规律，而规律的抽象和方法有二：一是采用逻辑推理进行科学论证得出规律，然而四年级的学生一般来说还不具备这样的抽象的逻辑推理能力，所以通常采用第二种方法，即用不完全归纳法抽象概括，列举出一定数量的式子，从中发现规律、验证规律、总结规律，在此基础上概括归纳出运算律。由此可以看出，归纳法这一数学思想方法在计算教学领域中的渗透及运用是非常广泛的。

在计算教学中，教师如果要引导学生理解数学思想，还需要引导学生理解数学思想应用的基础。比如教师要引导学生用抽象的方式阅读文本、用符号的方式表示数字、用逻辑的方式思考问题与问题的内在联系、用发散的方式寻找类比推理的依据。教师要不断地开展这类教学，并在教学中渗透数学思想。波利亚说：教师应该把三分之一的努力花在教学基本的数学上，而把三分之二的努力花在培养学生的思维方法和思维习惯上。从这句话中我们可以体会到数学思想方法在数学学科中的重要性。因此，在日常教学中如何渗透数学思想方法，尤其针对教学任务占比如此大又容易让广大教师忽略的计算教学，教师更应该去好好地挖掘与渗透，有意识地让学生在计算的学习中去体验、运用。endprint