适度抽象，数学教学的应有理性

谭倩

摘 要：数学抽象是学生数学学习的应有之义。数学抽象简言之就是舍弃数学知识的非本质属性、提炼本质属性的过程。由于数学抽象的对象、过程等差异，使得数学抽象的类型很多。在数学教学中，教师要依托直观操作、直观几何、直观表象等，引导学生逐步抽象，将学生从数学的感性认识上升到理性认识。

关键词：数学抽象；数学教学；应有理性

数学是研究数量关系和空间形式的科学，抽象性是数学的基本特性。课标实验组组长、东北师范大学史宁中教授认为，数学的基本思想方法有三个，即抽象、推理和模型。任何一个数学知识，无论它是概念、法则还是规律、定理等，都需要经历抽象的过程。任何数学问题，无论它是数与计算、图形与几何还是统计与概率等，也都离不开数学抽象。可以这样说，没有抽象就没有数学。因此，荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔这样说，“与其说是学习数学，毋宁说是学习数学化；与其说是学习形式，毋宁说是学习形式化；与其说是学习公理，毋宁说是学习公理化”。

一、怎样理解“数学抽象”

“抽象”一词，源于拉丁文“adstracio”，其基本含义有抽取、排除、提纯等意思。所谓“数学抽象”，是指抽取事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，舍弃非本质属性，进而提炼数学本质的过程。显然，这样的过程是一个去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的过程。在学生的数学学习中，前一阶段数学抽象所形成的概念、结构等往往是后一阶段数学抽象的对象。从这个意义上说，数学抽象是具有层次性、递进性的。

数学抽象有许多类型，根据抽象的方式不同，我们可以将数学抽象分成“表征性抽象”（如长方形、正方形、平行四边形等的概念、定义等）、“建构性抽象”（如方程的概念、奇偶数概念、素数合数概念等）和“原理性抽象”（如三角形的内角和，加法交换律、结合律等）；按照抽象过程进行分类，可以将数学抽象分为“理想化抽象”（即人类依靠思维构造而形成的理想化存在，如直线、射线灯）、“弱抽象”（即舍弃一些特征而进行的抽象，如平行四边形舍弃角的特征，从边的角度定义，如“一组对边平行且相等的四边形就是平行四边形”的概念的抽象就是弱抽象）、“强抽象”（即通过增加某些特征而形成的概念，如“两条边相等的三角形是等腰三角形”等）和“等置抽象”（即依据等价关系进行抽象，如自然数的抽象等）。根据抽象的对象不同，可以分为“概念抽象”（如分数概念、小数概念的抽象等）、规律抽象（如数的规律、形的规律、式的规律抽象等）、“关系抽象”（如长方形、正方形、平行四边形、菱形等关系的抽象）和“思想方法的抽象”（如数的分与合的抽象等）。立足于学生的认知视角，数学抽象可以分为三层：一是抓住事物的特征；二是抓住事物的本质；三是抓住事物的关联。

数学抽象可以帮助学生更好地体会知识的数学本质，也可以更好地帮助学生形成良好的数学认知结构，还可以更好地发展学生逻辑分析、判断、推理和概括的能力。一般的，如果一个人的数学抽象水平高，这个人的某些数学关键能力、必备品格、思维水平就强。相应的，这个人也应该具备良好的数学核心素养。

二、如何进行数学抽象

小学生的数学思维以直观动作思维和具体形象思维为主。如何引导学生的直观动作、具体形象思维向抽象思维发展并不是一蹴而就的。教学中，教师要遵循学生的心理发展规律，认识规律，逐步引导学生从感性认识出发，让学生充分经历具象操作、直观感知、表象积累，逐步发展抽象思维，提升学生的数学核心素养。

1. 依托直观操作，建构抽象算法

小学低年级学生的思维在某种意义上是直观动作思维。直观动作、直观操作是学生感受和体验数学概念形成过程的重要方式。教学中，教师要引导学生对实物、学具、图形等进行操作實践，丰富学生的感性经验。瑞士著名结构主义哲学家、心理学家皮亚杰认为，“动作是智慧的根源，切断动作，儿童的思维就无从谈起”。当然，数学的操作不是一种机械的操作，而应该是融通儿童思维的操作，亦即儿童的“具身认知”。所谓“具身认知”，即借助儿童多样化感官的认知。

【案例1】 《十几减9》（苏教版小学数学一年级下册）教学片段

在引导学生读懂题意，提出了有价值的数学问题，学生自主列出算式后，教师引导学生借助小棒等材料探索“13-9”的算法。

师：请同学们拿出13根小棒。

（于是，学生拿出了一捆小棒和3根小棒）

师：怎样从这么多小棒中拿出9根小棒呢？

（学生小组合作拿小棒）

生1：我们组认为，用3根小棒减去9根小棒不好减，于是我们组将一捆小棒拆开，从10根小棒中拿出9根小棒，还剩1根小棒，再将这1根小棒和原来的3根小棒合起来，一共还有4根小棒。

师：你能将你们组分小棒的过程用算式表示出来吗？

生1：10-9=1，1+3=4。

生2：我们组是这样操作的，由于用3根小棒减去9根小棒不够，所以我们组先减去9根小棒中的3根，再从一捆小棒中减去6根，还有4根小棒。用算式表示是：13-3=10根，10-6=4根。

生3：我们组是这样操作的，从13根小棒中拿走9根小棒，相当于从14根小棒中拿走1捆小棒，还有4根小棒。用算式表示是：14-10=4根。

……

教学中，教师将学生的操作与学生的算理理解、算式表达紧密联系在一起。学生借助直观操作，获得了“破十法”“平十法”“凑十法”等算法的深刻动作感受、体验。学生的抽象思维逐渐萌芽，实现了对抽象算法的意义建构。

2. 借助几何直观，建构抽象概念

数学的抽象性与学生的形象思维本身就是一对客观存在的现实矛盾。如何有效地化解这一对矛盾？笔者认为，最为有效的方法就是教学中教师要依托直观形象，加强学生的直观理解。通过直观理解，引导学生理解概念的本质内涵。要根据学生的思维发展水平，分析概念的数学本质，在概念的本质处借助几何直观，建构抽象概念。endprint

【案例2】 《倒数的认识》（苏教版小学数学六年级上册）教学片段

认识倒数是学生学习分数除法的基础。倒数的本质是什么？笔者在听课中发现有教师用汉字的颠倒如“吞”与“吴”，有教师用句子的颠倒如“上海自来水来自海上”等导入新课。显而易见，这些看似新颖的导入方式其实都是对“倒数”本质意义的错误理解。倒数并不是“倒过来的数”，倒数的本质是“乘积为1”。笔者在教学中借助几何直观，让学生较好地建构了“倒数”概念。

教师出示长为1、宽为1，长为2、宽为，长为3、宽为等的长方形。

师：这儿有一些长方形，请你观察这些长方形的长和宽，说出它们之间的关系。

生1：我发现长越长，宽越短。

生2：我发现所有的长方形面积都相等，而且都等于1。

生3：我发现长都是整数，宽都是分数单位。

……

师：像上图这样，乘积是1的两个数互为倒数。你能够求出任何一个数的倒数吗？

生4：根据“乘积是1的两个数互为倒数”，我想，求一个数的倒数我们可以用1除以这个数。

……

上述教学，笔者从倒数本质出发，借助图形让学生理解“乘积为1”的含义。学生直观地看到，一个数越大，它的倒数就越小；一个数越小，它的倒数就越大。他们深刻感受并体会到互为倒数的两个数之间的相互依存关系。此外，从长与宽的动态变化中，学生还能够在心中种下反比例关系的量的种子。

3. 丰富表象积累，建构抽象规律

所谓表象，是指学生头脑中的形象。表象是从直观形象到抽象的过渡，是从具体感知到逻辑思维的桥梁。事实上，表象应该是一个“半抽象”的东西，是学生多次、反复地对形象进行加工、概括和提升的产物。教学中，教师要丰富学生的表象积累，引导学生逐步建构抽象规律。

【案例3】《有余数的除法》（苏教版小学数学二年级下册）教学片段

师（点击课件）：把7个桃子平均分给3个小朋友，每个小朋友分得多少个，还剩多少个？

生1：7÷3=2（个）……2（个）。

师（点击课件）：把17朵花平均放在5个花瓶中，每个花瓶插几朵，还剩几朵？

生2：17÷5=3（朵）……2（朵）。

师（点击课件）：从图书室借来20本书，平均分给一个小组中的6个学生，每个学生分得多少本书，还剩多少本书？

生3：20÷6=3（本）……2（本）。

……

经过多次的平均分，学生逐步感悟出这样的规律，即每次平均分后，余下的數都比除数要小。如果余下的数比除数大，就要继续平均分。学生经历了算理和算法抽象的过程，从实物分配到列除法算式，再从具体的算式到概括抽象出余数与除数间的关系，学生从个别到一般、从感性到理性，将余数知识抽象到普适化规律层面，即除数一般要大于余数，被除数等于商乘除数加余数。

对数学知识进行抽象，教师要把握好尺度，不能操之过急，而应螺旋上升，让学生获得充分的感性活动经验，完整经历从直观操作、直观形象、直观表象到抽象概括的过程。在这个过程中，教师要引导学生迈过抽象概括过程中的一道道“坎”，让学生慢慢感悟数学的思想方法，逐步将学生从初级的经验水平提升为高级的抽象水平，这是数学教育的应有之义和责任担当。endprint