基于翻转课堂教学模式的高等数学教学案例研究

赵文才　包云霞

摘要：本文以“格林公式及其应用”为教学案例，探索以问题为驱动的翻转课堂教学模式改革，鼓励学生从实际问题出发，充分利用优质课程资源自主探究学习。课堂教学由教师讲授转变为师生共同讨论、以学生汇报交流为主，实现线上学习和线下研讨的有机融合，从而激发学生学习数学的兴趣。

关键词：高等数学；翻转课堂；问题驱动；教学案例；格林公式

中图分类号：G645 文献标示码：A 文章编号：1674-9324（2017）49-0177-02

一、教学背景

曲线积分是高等数学的重要内容，主要研究多元函数沿曲线弧的积分。曲线积分主要包括对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分。对坐标的曲线积分是解决变力沿曲线作功等许多实际问题的重要工具，在工程技术等许多方面有重要应用。格林（Green）公式研究闭曲线上的线积分与曲线所围成的闭区域上的二重积分之间的关系，具有重要的理论意义与实际应用价值。

二、教学目标

课程教学目标包括三个方面：知识目标、能力目标、情感目标。

1.知识目标。理解和掌握格林公式的内容和意义，熟练应用格林公式解决实际问题，了解单连通区域和复连通区域的概念，理解边界线方向的确定方法。

2.能力目标。通过实际问题的分析和讨论，增强学生应用数学的意识，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，通过推导和证明，培养其严格的逻辑思维能力。

3.情感目标。通过引入轮滑等身边实例，使学生认识到所学数學知识的实用性，结合生动自然的语言，激发其学习数学的兴趣。

三、教学策略

1.采用线上线下相融合的翻转课堂教学模式。课前线上学习、小组讨论，课上教师讲解、同学汇报，师生讨论、深化提高。

2.采用以问题为驱动的教学策略。以轮滑作功问题引入，围绕下列问题渐次展开：第一，什么是单连通区域、复连通区域？如何确定边界曲线的正向？第二，格林公式的条件和结论，如何证明？第三，格林公式的具体应用。

3.采用实例教学法，激发学生学习兴趣。利用生活中的滑轮问题，引入力、路径和功之间的关系，激发学生兴趣；然后提出计算问题，使其认识到探索新方法的必要性，引导学生主动思考和应用格林公式。

4.采用典型例题教学法，巩固教学重点。通过分析典型例题，使学生深入理解格林公式在计算第二型曲线积分中的作用。学生通过分析典型例题的求解思路和方法，融合比较分析技术，自己总结规律和技巧，掌握格林公式的应用，同时巩固格林公式的理论和方法。

四、教学过程

1.问题导入——轮滑做功问题。例1 假设在轮滑过程中前方所施拉力为=（e，+xe），滑行路线为L：（x-1）+y=1，求逆时针滑行一周前方对后方所做的功.

分析：该问题是变力沿曲线作功问题

由第二类曲线积分的计算方法，令x=1+cost，y=sint，则有

请同学们思考，如何计算该定积分？同学们讨论后发现，积分求解困难，统一变量法失效，发现化为定积分方法的局限性。求解这样一个闭曲线上的积分，需要寻求新的方法，这就是格林公式，从而引出本节教学内容。

板书本节课的主要问题（后续教学紧紧围绕这三个问题展开）。

第一，什么是单连通区域、复连通区域？如何确定边界曲线的正向？第二，格林公式的条件和结论，如何证明？第三，格林公式的具体应用。

2.单（复）连通区域。在讨论格林公式之前，先讨论关于区域的基本概念。通过平面封闭曲线围成平面区域这一事实，引入平面区域的分类和边界线的概念。

请同学们汇报网上学习的情况。有同学主动要求汇报，学生在黑板上画图并通过图形叙述了单（复）连通区域的概念以及边界曲线正向的确定方法。

教师对学生汇报情况加以肯定，强调复连通区域内外边界线方向的不同，并进一步拓展为内部有多个“洞”的情况。

3.格林公式。我们知道平面区域对应着二重积分，而其边界线对应着曲线积分，这两类积分之间有什么关系呢？

请同学根据线上学习情况汇报。有同学带事先准备好的讲稿主动要求到讲台讲解。先板书定理内容，然后画图，结合图形分析证明思路。要求学生仅针对区域既是X型又是Y型的情况进行证明。利用积分区域的可加性，其他情况可以类似证明。

教师提问：定理的条件为什么要求被积函数具有一阶连续偏导数呢？

学生讨论后发现：定理证明过程中用到了偏导数的二重积分，因而要求连续。

教师提问：格林公式对复连通区域成立吗？

师生共同讨论：通过给一个具体区域形状，根据分割方法，将一般区域问题化为几个简单问题。利用对坐标的曲线积分的性质，可以证明，格林公式同样成立。

为了便于记忆，我们把格林公式的条件归纳为：“封闭”、“正向”、“具有一阶连续偏导数”。

4.格林公式的具体应用——典型例题分析。（1）直接用格林公式来计算。例1 轮滑做功问题求解，让学生体会格林公式的作用，回应问题引入。

（2）间接用格林公式来计算。例2 计算对坐标的曲线积分（esiny+my）dx+（ecosy-m）dy，其中L是上半圆周（x-a）2+y2=a2，y≥0，沿逆时针方向。

教师提问：能否直接使用统一变量法？若不能，能否利用格林公式？

学生回答：不满足格林公式的条件。

教师进一步启发：能否创造条件，使之满足定理的条件？

通过师生共同分析：采取补边的办法。

（3）被积函数含有奇点情形。例3 计算曲线积分

其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，取逆时针方向。

分析：为一条抽象的连续闭曲线，其内部可能包含原点，也可能不包含原点。若包含原点在内，则原点为被积函数的奇点，不能直接使用格林公式。

师生共同探讨：采取“挖去”奇点的办法解决。

5.内容总结。课堂总结复习，回顾格林公式的内容和求闭曲线上的线积分的基本方法。布置课后作业，掌握格林公式的应用。重点复习格林公式的理解和应用。

五、教学反思

课题教学从实际问题出发，导出问题，分析问题，围绕问题展开讨论。采用了线上线下相融合的翻转课堂教学模式，学生通过课前线上学习，课堂汇报，充分体现了学生的主体地位，发挥了学生学习的积极性和主动性。课堂教学运用了问题驱动的教学方法，层层递进，环环相扣，知识内容一气呵成。重点强调了公式的条件和应用方法。但在学生汇报环节，个别学生参与度不够，体现出线上学习不够深入。

参考文献：

[1]赵文才，刘洪霞，赵义军.类比推理方法在翻转课堂教学改革中的应用[J].大学教育，2016，（10）：122-124.

[2]刘洪霞，周绍伟，卓相来.基于微课的翻转课堂教学设计与实践[J].统计与管理，2017，（5）：117-119.endprint