有效反思，促进提升

丁玲

[摘 要] 反思是一种重要的思维活动，亦是高中数学学习培育学生数学核心素养的关键所在，高中数学教师要有意识地引导学生进行科学而高效的反思，进而提升学生能力的发展. 本文指出教师要引导学生在对知识形成的反思过程中认识问题的本质；在对知识内在关联的反思过程中实现知识的内化；在对问题解决的反思过程中提升思维的品质.

[关键词] 数学学习；反思；引导策略

课程改革的目的是让学生学会学习，培育学生的数学核心素养，为此教师要指导学生深入理解学习的过程，让他们不仅能够明确要学习什么，更让学生理解该如何进行学习. 那么在高中数学的教学过程中，我们应该如何促使学生积极而主动地参与到学习之中，认真地探索数学的学习方法呢？笔者认为引导学生进行正确反思是一个非常有效的方法.

在数学学习过程中，反思一直都是结论发现的源泉，是学生训练思维、优化思维最为高效的方法，也是他们实现知识同化与迁移的有效途径. 我们虽然经常强调“反思”，但学生却不一定理解什么是“反思”. 所谓“反思”，这应该是从新的角度出发，对问题进行多层次、全方位的思考、分析和探索，进而更深入地对问题进行理解，从而把握问题的本质，并获得事物一般化的规律，同时还能建立知识之间的相互关联，有效推动知识的同化与迁移，引导认知主体获取新的发现. 因此反思应该是一种高阶的思维活动，它同时也是一种探索行为，从教学层面来理解，它可以是一种同化，也是一种发现，还是一种再创造.

在高中数学的教学过程中，我们引导学生进行有计划、有针对的反思，能够提升他们的数学意识，优化他们的理性思维机制. 此外，我们还可以指导学生借助反思来追踪数学家的研究思路，让他们像专业的数学研究者一样来探索问题. 这样的反思还将有助于学生拓展问题解决的思路，实现问题解决的优化，同时让自己的思维更加严谨. 因此我们在数学教学中一定要鼓励和引导学生展开积极的反思，这可以充分调动学生求知、求思的主动性，进而形成善于观察、分析和思考的习惯，培养他们勇于质疑、敢于探索的学习精神. 那么我们在实际教学中应该如何来引导学生进行反思呢？

在对知识形成的反思过程中认识问题的本质

无论是教材还是课堂，数学在很多学生眼中都是一些已经成形且固化的形式和理论. 在课堂上，学生往往被动地等待教师灌输各种概念、法则、定理等现成的结论，至于数学知识的形成过程以及数学概念的创造过程都与学生的认知无关，这样的教学怎么可能让学生形成较为真实的体验，这样的教学又如何让学生学会创造和探索？为了改变这一现状，笔者认为教师要创设恰当的情境，由此引导学生对知识的形成过程产生深度的反思，并引导学生运用自己的思维方法去发现并创造相应的数学知识，进而把握问题的本质，发现数学认知的一般化规律，让学生也能从中体会到数学研究的艰辛与快乐.

例1：平面内共有n条互不平行的直线，且任意三条直线没有经过同一点，求证：交点的总个数f（n）= n（n-1）.

这是一道典型的代数问题，基本操作可用数学归纳法进行解决，但是如何发现f（n）= n（n-1）这一结论呢？我们又如何对f（n）的规律进行探索呢？教学中我们要启发学生从f（1）、f（2）、f（3）等简单情形出发，逐渐探索更加一般化的规律，进而猜想出f（n）= n（n-1）. 这样的探索过程遵循了从特殊到一般的研究思路，而没有灌输现成的证明结论，这不仅有助于学生对问题形成更深层次的理解，也有助于他们采用数学归纳法对问题展开正确的证明，同时还将进一步引导学生来反思以下问题：（1）这n条直线彼此分割，一共可以形成多少条射线（或线段）？（2）这n条直线可以将整个平面划分为多少个区域？（3）如果将原题中的直线改换为圆或者是抛物线，结果又将如何？

创造性是数学学习的魅力所在，荷兰数学家弗赖登塔尔指出数学教育的核心方法就是学生的再创造. 在高中数学的教学过程中，我们要引导学生展开积极的反思工作，让他们在反思中感悟知识的形成过程，我们要鼓励学生多问一些为什么，比如这个公式或定理从何而来，如何对其进行证明，是否还有类似的问题，这与其他问题是否存在区别和联系等等，这样的教学有助于学生运用自己的思维来对问题展开探索和研究，进而实现对数学知识的再创造.

在对知识内在关联的反思过程中实现知识的内化

数学的学习过程应该是知识的顺应与同化的过程，而反思正是这两个过程中的核心步骤，学生将在反思的过程中深刻发掘知识之间的内在关联，并由此促进知识的同化与迁移，当然这也有助于学生建立更加合理的知识框架与体系.

例2：证明cosα+cos3α+cos5α+…+cos（2n-1）α= （sinα≠0）. 这是一个较为基础的三角函数证明题，学生很容易通过数学归纳法即能证明，当然学生必须要注意到在使用该种方法的第二步：假設n=k，cosα+cos3α+cos5α+…+cos（2k-1）α= （1式）成立，然后可证明cosα+cos3α+…+cos（2k-1）α+cos（2k+1）α= （2式），用2式减1式可得cos（2k+1）α= [sin2（k+1）α-sin2kα]，不难发现这个式子将成为问题最终解决的关键，对于这个式子做出以下探索：分别取k=0，1，2，…，n-1代入该式子，可得cosα= （sin2α-sin0）；cos3α= （sin4α-sin2α）；cos5α= （sin6α-sin4α）；…；cos（2α-1）= [sin2nα-sin2（n-1）α]，将上述各个式子相加之后可以得到需要求证的结果. 通过上述一系列的探索和研究发现，问题的处理不仅可以让学生运用数学归纳与拆项相消等方法来实现对式子的证明，还可以让学生认识到上述两类方法之间的联系. 学生有必要进行反思的是，这类方法还可以在哪些场合下进行应用，这就是在训练学生对方法本质的理解，在提升学生的迁移能力.比如下面几个问题，都有类似方法的运用：

（1）证明12+22+32+…+n2= n（n+1）·（2n+1）的关键就在于证明n2= n（n+1）·（2n+1）- （n-1）n（2n-1）；

（2）证明sinα+sin2α+sin3α+…+sinnα= （sin ≠0）的关键就是证明sinnα= ·sin ·sin -sin sin .

知识和方法的迁移是高中数学教学的核心所在，“为了迁移而教”也是众多数学教师在教学探索中的共识. 在教学过程中，教师引导学生在问题处理中反思新旧知识之间的联系，并探寻如何运用旧知识来理解新知识，进而用新知识来解决旧问题，这样的处理可以帮助学生在原有认知的基础上更加灵活而深刻地理解、掌握新的知识，从而促进学生对知识的同化过程和迁移训练.

在对问题解决的反思过程中提升思维的品质

反思应该是个体一种积极而主动的思维活动，在学习的过程中，教师要善于啟发学生从更加全面的角度来对问题进行考察，这有助于学生摆脱思维定式的影响，也有助于学生发现原先思维过程中的不足，这能够帮助学生实现对思维过程的完善，并能进一步提升思维的严密性. 通过系统化的反思，学生还将进一步探索问题解决的其他途径，获取问题解决方法的最优化，同时也将激活自身思维的灵活性和创造性.

例3：已知一条直线与抛物线y2=2x只有一个公共点，且该直线经过点（0，1），求该直线的解析式.

有学生在处理时是这样进行的：假设直线的解析式为y=kx+1，由y=kx+1，y2=2x可得k2x2+（2k-2）x+1=0，根据题意该方程只有一个根，因此Δ=0，可以解出k= ，因此可解得直线方程为y= x+1.

上述分析过程貌似很好地将答案得出，但是进一步反思发现，上述问题分析过程存在三个不够严谨的地方：（1）设定直线方程为y=kx+1时，即已然确定直线的斜率一定存在：（2）忽视了斜率可能等于0的情形；（3）混淆了“相切”和“只有一个公共点”这两种不同情形.

通过上述反思，学生不仅可以发现他们思维过程中的不足之处，从而引导学生进一步完善问题的解决过程，同时这也将推动学生问题发现能力的提升，帮助学生对思维的严密性和批判性进行训练，这也有助于学生培养严谨而细致的学习习惯和研究风格.

综上所述，反思是一种学生积极而主动的学习行为，反思的目的不仅仅是让学生完善解题过程、实现问题解决的最优化，更重要的目的是拓宽学生研究问题的视野，培养学生的思维习惯，锻炼他们思维的灵活性和创造性.