刍议高中数学解题教学“变”的魅力

邱明朗

[摘 要] 高中数学教学离不开解题话题的探讨，学生解题能力的提升是高中数学课堂教学的重要目标，本文以高中数学解题教学为载体，重点从“一题多解、一题多变、多题一解”三个方面进行分析，旨在体现变式教学在高中数学解题中的有效运用.

[关键词] 高中数学；解题教学；变式

高中数学涵盖的知识点多，题型多变，如何提高学生的解题能力，使学生做到举一反三，掌握解题的技巧与方法，在各类考试中迅速找到解题思路，是一线数学教师关注的重点. 变式教学有助于学生掌握数学题目的本质，将其应用到数学教学实践中，可提高解题速度及正确率；笔者根据自身教学实践，侧重于探讨如何在高中数学解题教学中灵活运用变式教学的具体手段与措施，以飨读者.

变式教学之“一题多解”

高中数学教学实践中，部分学生感觉数学知识点多而零碎，甚至较为抽象，无法掌握正确的解题方法，失去数学学习的兴趣. 针对这一情况，教师可以结合教学内容，注重从学生角度看待问题，将变式教学法应用到教学实践中. 一题多解意在培养学生深入分析数学题目的能力，从不同的角度入手进行解题，正所谓殊途同归，使学生根据自身数学水平掌握其中一种解题方法即可，以满足不同层次学生的学习需求. 同时，一题多解一定程度上增加了数学解题的趣味性，增强了学生学习数学知识的兴趣. 因此，数学教师应立足教学实际，注重一题多解变式教学法的应用.

案例1：试求函数y= 的值域.

该题目难度一般，在测试中一般以选择题或填空题的形式出现，因此，如何采取正确的方法迅速解题，缩短解题时间尤为关键. 为使不同学生均能迅速解题，教师可运用多种解法对其进行讲解，具体如下：

解法1：y= =3- ，由于-1≤cosx≤1，則y的值域为-2， .

解法2：将原式等价变形为cosx= ，由于-1≤cosx≤1，则y的值域为-2， .

以上两种解题方法均能得出正确答案，其中解法1很多学生都能想到，而且计算较为简单；解法2只有部分学生能够想到，其巧妙地利用了三角函数的值域，另辟蹊径. 本题给我们的教学启示为：遇到y= 或y= 形式的题目求解值域时，应注重将分子进行分离或借助三角函数的值域进行求解.

一题多解变式教学法体现对数学题目深度的考查，要想做到一题多解，必须吃透题目，熟练掌握题目涉及的知识点. 一题多解对学生分析问题、解决问题的能力要求较高，教学实践中教师应引导学生充分挖掘题设条件，认真、冷静审题，切勿心烦气躁，防止不加思考就动笔，一动笔就出错的现象出现.

变式教学之“一题多变”

在高中数学教学实践中，学生思维定式给解题带来的影响较大，对于教师讲解过的题目，稍微改变其条件，部分学生仍采用以往的解题方法，导致解题出错. 高中数学考查形式多变，综合性较强，教师可以引导学生，在关注数学题目“形”的同时，还要注重数学题目“质”的把握；教师可以灵活运用一题多变的变式教学方法，使学生做一道题会一类题，切实提高数学解题效率.

案例2：已知△ABC中，B，C的坐标分别为（0，6），（0，-6），其他两边的斜率之积为 ，试求A点的轨迹方程.

在实际课堂教学中，教师为了帮助学生掌握此类题目解题的规律，提高解题的效率，创设如下变式：

变式1：已知双曲线方程 - =1上的一动点P，C与C′为双曲线上的两个定点且满足kPC·kPC′= ，求证：C与C′两点关于双曲线中心对称.

变式2：已知双曲线方程 - =1，斜率为k 的直线l与其中一分支相交于A，B两点，线段AB的中点为M，连接OM，直线OM斜率为kOM，求证：k1·kOM= .

显然，变式1与变式2难度较例题有很大的提高，教师应在讲解例题的基础上，鼓励学案例生思考变式1与变式2，该如何解答. 通过分析不难得出，求解两个变式与例题所用的解题思路相同；可见，在数学教学实践中，有效运用一题多变的变式教学方法，可以从简单题目入手，逐渐进行变化，难度逐渐提高，让学生尝试到学习的成就感，逐渐培养学生学习数学的自信心.

变式教学之“多题一解”

高中数学教学中，有些数学问题尽管形式以及考查的内容不同，但应用的解题思路相近或相同. 当学生掌握一种解题思路，便可顺利地解答出类似的题目，可谓是“多题一解”，进而提升解题教学效率. 高中数学教师在教学实践中，应该灵活运用多题一解的变式教学方法，逐步引导学生总结一些数学题目的特点与规律，及时进行总结与反思，从而避免学生走进题海战术的误区，鼓励学生将遇到的数学题目分门别类，将运用同一种解题思路的题目归类，切实掌握多题一解的变式教学方法.

案例3：已知sinα= +cosα0<α< ，试求： 的值.

案例4：已知0<α< ，- <β<0，cos +α= ，cos - = ，试求：cosα+ 的值.

案例5：已知sin +θ= ，试求：sin2θ的值.

在案例3中求解 的值是比较复杂和烦琐的，本题可以结合题目特征，采取“先化角，再化名”（先将复杂式子角转化为简单式子的角，再将三角函数名转化成简单式子的三角函数名）的原则，即将两个式子的角度均转化为α- ，三角函数名转化为sinα- ；通过分析不难发现，案例4和案例5均可使用“先化角，再化名”的思路进行顺利求解，在案例4中，观察发现几个角之间存在 +α- - =α+ 的关系（“化角”即可实现），再用余弦的两角差公式展开即可完成“化名”过程；在案例5中，2θ转化为 +θ的形式（化角），思考2 +θ= +2θ即可联想运用诱导公式进行求解.

通过分析不难发现，案例4和案例5均可使用解决案例3的思路进行顺利求解，教学实践中教师应引导学生总结相关题型的相同点与不同点，采取多题一解变式教学方法，促进数学教学效率的提升. 当然，教师除注重典型例题讲解外，还应注重多题一解变式教学法的应用技巧与注意事项，防止学生对多题一解产生依赖，应做到具体问题具体分析，结合数学题目特点，灵活运用所学知识.

总而言之，在高中数学教学中，灵活运用“一题多解、一题多变、多题一解”的变式教学方法是新课改发展的必然要求. 作为一线的高中数学教师，应该根据不同的变式类型，结合具体的教学内容，选取典型试题进行讲解，提高数学解题教学的针对性，改变学生传统的通过多做题学习数学知识的观念，引导其做题的针对性和高效性，促进学生养成自己“编写”数学题目的意识和能力，让学生加深对数学题目理解与掌握的同时，不断提升处理问题的综合能力.endprint