例析变式练习教学

谢菊连

摘 要：高中数学内容非常抽象深奥，学习起来十分困难。作为老师应该从不同的角度、不同的方面，不同的层次来表现知识的核心思想，因此可以通过变式教学来加深学生对知识的理解和掌握的程度。

关键词：变式教学 变式练习 高中数学

变式教学就是抓住知识的核心思想不变，利用不同的方式将它表现出来。通过变式教学有意识地引导学生从“变中”发现“不变”的东西，从“不变”中探索“变”的规律。在变式过程中体会如何去变，除了能解决“变”出来的问题，更要思考还可以怎么去变。透过现象看本质，这就是变式教学。

一、变式练习教学在函数单调性上的体现

例：已知函数f（x）=x3-ax-1

若函数f（x）在R上为增函数，求实数a的取值范围。

分析：由于是三次函数，与单调性有关，所以可以利用导数来解决。

解： 由求导可得，f，（x）=3x2-a，因为f（x）=x3-ax-1在R上为增函数，所以

f，（x）=3x2-a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，只需a≤（3x2）min即可

又因为（3x2）min=0，所以a≤0。

变式一：f（x）表达式不变，条件改为：若函数f（x）在（-1，1）上为减函数，求实数a的取值范围。

解：由题意可知，因为函数f（x）在（-1，1）上为减函数，所以

f，（x）=3x2-a≤0在（-1，1）上恒成立，即a≥3x2在（-1，1）上恒成立，只需a≥（3x2）max即可，又因为（3x2）max=3（取不到），所以a≥3。

变式二：f（x）表达式不变，条件改为：若函数f（x）的单调递减区间为（-1，1），求实数a的取值范围。

分析：说明（-1，1）是最大的递减区间，即（-1，1）使f，（x）=3x2-a<0的解集。

解：由题意可知，f，（x）=3x2-a，当a≤0时，f，（x）=3x2-a≥0，所以函数f（x）在R上为增函数，不合题意，因此a>0，令f，（x）=3x2-a<0，得函数f（x）的单调递减区间为， 又因为函数f（x）的单调递减区间为（-1，1），所以

变式三：f（x）表达式不变，条件改为：若函数f（x）在区间（-1，1）上不单調，求实数a的取值范围。

分析：什么是不单调？在（-1，1）上有增有减。

解：由题意可知，f，（x）=3x2-a，当a≤0时f，（x）=3x2-a≥0，所以函数f（x）在R上为增函数，不合题意，因此a>0。令f，（x）=3x2-a=0解得因为函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，所以f，（x）=0在（-1，1）上有解，需为所求。

当然我们也可以改变函数表达式，比如变成二次函数（一定要引起足够的重视）

变式四：f（x）表达式改为：二次函数f（x）=ax2-4x+2，在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围。

分析：二次函数的单调性问题一般使用结论法，抓住开口方向与对称轴来解题。

解：由题意可知，的对称轴是，当a>0时，要使二次函数f（x）=ax2-4x+2在区间上[1，2]单调递增，只需，又因为a>0，所以a≥2为所求。

当a<0时，要使二次函数f（x）=ax2-4x+2在区间[1，2]单调递增，只需，又因为a<0，所以这样的a不存在。综上a≥2为所求。

函数单调性是多年来高考重点考察的内容。本题以单调性为载体考察了三次，二次，对数型，三角函数型四类函数模型，通过变式练习教学可以层层推进知识的发生发展过程，符合学生的认知规律，使学生在知识和能力上有一定的收获和提高。

二、变式练习教学在排列组合上的体现

例：3男4女，全体排成一排，有几种排法？

解：属无条件限制的排列问题

所以N=种为所求。

变式一：3男4女，全体排成一排，甲只站中间或两端，有几种排法？

解：甲有条件限制，优先考虑甲，有3种排法，其余6人是无条件限制的排列问题

所以N=3种为所求。

变式二：3男4女，全体排成一排，甲乙必须在两端，有几种排法？

解：甲乙有条件限制，优先考虑甲乙，有2种排法，其余5人是无条件限制的排列问题

所以N=2种为所求。

变式三：3男4女，全体排成一排，男生必须在一起，有几种排法？

解：相邻问题捆绑法，先把男生捆在一起看成一个整体与剩余4个女生做全排列有种排法，后相邻男生自排有种排法，所以N=种为所求。

变式四：3男4女，全体排成一排，男女各站在一起，有几种排法？

解：相邻问题捆绑法，把男、女生各自捆在一起看成二个整体有种排法，相邻男生自排有种排法，相邻女生自排有种排法，所以N=种为所求。

上面排列组合几道变式练习教学不仅使学生产生“有梯可上，步步登高”的成功感，而且让学生始终处于愉快的探索状态，学习积极性很高，思维活跃，数学能力得以提高。

著名教育学家波利亚曾说：“好问题跟某种蘑菇有些像，它们都成堆生长，找到一个以后，应该在周围再找找，很可能附近就有好几个。”变式练习教学就好比这蘑菇，用的好可以使课堂变得生动活泼、使学生爱学、使老师爱教、使数学问题由抽象变具体。这样我们的学生不仅可以做到举一反三，在解题中灵活运用所学知识，避免无意义的重复做题，而且可以深入的理解与掌握知识，培养自己的创新能力。

参考文献

[1] 谢景力. 数学变式教学的认识与实践研究[D]. 湖南师范大学， 2006.endprint