基于“四基”理论，“相似三角形”复习课的教学探索与反思

张炜

[摘 要] 复习课应通过“四基”实现学生基础知识和基本技能的提高，且“四基”也是提高复习课有效性的关键，能避免复习课流于形式、简单重复，甚至“炒冷饭”.

[关键詞] 四基；复习课；课堂有效性

引言

《义务教育数学课程标准》（2011版）指出：数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”），促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力. ”这意味着，我们的课堂教学尤其是复习课，应该围绕着培养学生的“四基”作为教学设计的核心. 具体到复习课的操作中，怎样让复习课避免题海战术，还能帮助学生对复习的相关知识形成有效的系统性，防止复习课变成“炒冷饭”？笔者在“四基”理论的指导下以“相似三角形”的复习为载体，进行了研究性变革式的教学探索，本文简录其教学过程，浅谈自己的探索和反思，以期同仁共飨.

课堂实录

1. 第一阶段：“先行组织者”引导下的自主探索基础上的交互反馈

首先，教师出示以下“先行组织者”，并要求学生自主探索（允许合作研讨）.

习题1 如图1，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=4，AE=1.5，求AC的长.

解法1 因为DE∥BC，所以=，即=. 所以AC=3.

解法2 因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC. 所以=，即=. 所以AC=3.

习题2 如图2，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=4，DE=1.5，求BC的长.

解法1 因为DE∥BC，所以=，即=. 所以BC=3.

解法2因为DE∥BC，所以=. 所以=. 所以BC=4.5.

解法3因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC. 所以=. 所以=. 所以BC=3.

解法反思 上面是教师从作业本中发现的两道题的多种做法，习题1归纳为有两种解法，习题2归纳为有三种解法. 你认为正确吗？若不正确，应如何改正？

其次，教师依次提出以下两个具有挑战性的问题，要求学生在独立思考的基础上合作研讨，并积极鼓励学生发表自己的观点，且教师边倾听、边评价，必要时进行追问，激励分析与评价.

问题1 两个题目中的解法原理使用是否有误？比例式是否有误？

问题2 结合你对上述题目解法的思考，你对平行线分线段成比例和相似三角形对应边成比例有何看法？

师：先看习题1，解法原理有错误吗？比例式有错误吗？

生1：两种解法的原理没有错误，但比例式存在错误，应该为=或=.

师：你们同意吗？

生（齐）：同意.

师：再看习题2，是使用原理错误还是比例式错误？

生2：习题2中，解法1和解法2的原理错误，不能使用平行线分线段成比例原理，解法3中的比例式存在错误，应该为=.

师：其他同学的意见呢？都同意吗？

生（齐）：她说得对，同意.

师：对，习题1中分别使用了两种原理，平行线分线段成比例和相似三角形对应边成比例，习题2只能用相似三角形的对应边成比例的性质. 同一个图形，计算的线段位置变了，为什么原理差异这么大呢？

生3：习题1中由于计算的AC既可以看成夹在平行线中的线段，又可以看成三角形的边，所以由DE∥BC得到=或=是平行线分线段原理，比例式适用. 其中的=又符合相似三角形对应边成比例的特点，所以习题1可以存在两种解法.

师：谁总结一下习题2的问题呢？

生4：习题2中由于DE和BC不属于平行线所夹的线段位置特征，所以只能用相似三角形对应边成比例的原理.

归纳总结 教师在此基础上进行总结（基础知识的落实）：

（1）平行线分线段成比例的线段一定是位置夹在平行线之间的线段，形象地讲就是平行线位置两旁的线段.

（2）夹在平行线之间的比例线段，线段具有双重性，有些线段构成三角形的边，此时可以两种方法自由选择，而夹在平行线中的线段不是三角形的边时，则形成的比例中的线段只能二者选其一.

（3）如果计算的线段是在平行线上，只能采用相似三角形的性质——对应边成比例.

（4）平行线形成的“A”字型中的相似三角形一般可以采用平行线推理的模式.

（5）平行线分线段成比例和相似三角形产生的比例线段有些是两者都可以，有些是二者只能选择其中一种.

2. 第二阶段：“挑战性问题”引导下的合作研讨基础上的综合概括

此阶段即为基础知识的巩固.

首先，教师指出：含有平行线的“A”字型结构构成了重要的相似三角形的图形结构，也形成了“重要”的题型. 越来越多的考试题与它结缘，这也是本节课学习的必要性. （揭示课题）

其次，通过“A”字型结构引导下的一题多变，引发学生对知识结构进行联想和触类旁通.

习题3 如图3，有一块三角形余料ABC，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求加工成的正方形零件的边长.

习题4 如图4，在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，四边形DFGE为正方形，其中点D，E分别在边AC，BC上，点F，G在边AB上，求正方形DFGE的边长.

师：你从这两个习题中能找出“A”字型的“倩影”吗？

生1：习题3中是△APN∽△ABC；习题4中是△CDE∽△CAB.

师：根据“A”字型的特征，在习题3中你确定的比例式是什么？

生2：=，对应边的比等于对应边上高的比.

生3：假设PN=x，则有=.

师：在习题3中，生3假设PN=x，然后构成了方程，这样就将图形的计算问题变成了解决方程的问题，在数学中，这里使用的是什么思想？

生4：方程思想和转化思想.

师：习题4中没有高线的出现，该怎么办？需要高线吗？

（学生经过讨论、总结、归纳，给出了习题4中添加高线的合理性）

最后，教师在师生交流合作的基础上引导学生概括出“A”字型计算比例式的变式：=，并且形成了计算的骨架（“形”变“质”不变）.

3. 第三阶段：“代表性问题”引导下的合作基础上的反思、拓展

此阶段即为问题解决能力的开发.

首先，教师给出以下两个比较简单的习题，并要求学生在独立学习（允许合作研讨）的基础上进行交流合作，同时教师进行点评，必要时教师进行追问. （基本技能的培养）

习题5 如图5，一张等腰三角形纸片，底边长15厘米，底边上的高为22.5厘米，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3厘米的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第几张？

习题6 如图6，有一块直角三角形土地，它的两条直角边AB=300米，AC=400米，某单位要沿着斜边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，点D，G分别在边AC，AB上，设EF的长为x，矩形的面积为y.

（1）求△ABC中BC边上的高AH的长；

（2）求y与x之间的函数表达式；

（3）当矩形的长x取何值时，这个矩形的面积最大？

师：习题5中小正方形的位置在哪里，你认为有“A”字型结构的特征吗？

生1：有“A”字型结构. 如果假设边长为3厘米的正方形纸条为第x张，则比例式为=.

师：习题6中矩形的面积y与x的函数关系式与“A”字型的计算有关吗？从函数角度看，你认为矩形的面积在计算上缺什么内容？

生2：习题6中，把矩形的宽DE作为确定面积的关键数据，符合“A”字型结构的比例式为=，其中AH和BC分别是直角三角形斜边上的高和斜边，高用等面积法得出，斜边用勾股定理得出.

其次，教师给出下列三道习题，并引导学生经历判断与解题的过程. （问题能力的发展）

习题7 如图7，在△ABC中，BC=25，BC边上的高线长为20，将AB，AC分别n等分，连接两边对应的等分点，以这些连接线为一边作矩形，使这些矩形的边BC，BC，BC…相对的边分别在BC，BC，BC…上.

（1）若n=5，求以BC为一边的矩形的面积；

（2）若n=5，求所有矩形的面积之和；

（3）当分为n等分时，你能用含有n的代数式表示所有矩形的面积之和吗？猜想：当n越大时，所有的矩形的面积之和接近哪个值？

习题8 如图8，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.

（1）当正方形DEFG的边GF在边BC上时，求正方形DEFG的边长；

（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围及y的最大值.

习题9 如图9，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y和过P，A两点的二次函数y的图像开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC相交于点D. 当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于多少？

师：你认为习题7中的图可以借鉴前面的哪种情形？

生1：可以借鑒习题5中的图.

师：对，说得很好. 我们在分析和解决问题时可以联想，并从已有的模型中进行比较和借鉴，这是解决复杂问题的关键.

师：我们知道图形的运动可以划归为图像上的点或者是线的运动（线的运动最终又可以化为点的运动），在习题8中，你能发现正方形的运动是由哪个点或者是线决定的？围绕本节课的主题，“A”字型结构体现在哪里？

生2：正方形的运动可以落实到AB上点D的运动，正方形DEFG的边DE与△ABC构成了“A”字型结构.

师：大家同意他的观点吗？谁还有补充？

生3：正方形DEFG在移动时，正方形DEFG与△ABC重叠的面积存在不同，刚开始是正方形的面积作为重叠面积，到后来就是正方形DEFG与△ABC形成的矩形为重叠部分的面积.

师：回答得很精彩，你是怎么发现重叠部分的面积存在差异的？

生3：我是根据我们对运动问题的思考画效果图发现的.

师：大家同意他的看法吗？

生（齐）：对的，不过，当正方形的边GF落在△ABC的边上时是转折的位置.

师：大家观察得很仔细，补充得很完整，你们指出了运动问题在变化过程中的思考流程和重点. 首先，选择静止的点（动点附近）作为参照点，画出运动的效果图；其次，确定出分类的关键位置，对照效果图确定解决方案.

师：习题9中两个二次函数的最大值之和的图示特征是什么？

生4：分别过点B，C作x轴的垂线，垂足为E，G. 线段BE，CG就是每个二次函数的最大值.

师：你从条件中的数据点A（4，0）及OD=AD=3联想到了什么？

生4：可以确定△OAD是等腰三角形，过点D作x轴的垂线，垂足为F，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质.

师：如何计算最大值之和？习题9中存在“A”字型结构吗？你认为它与今天的主题有什么关系？

生5：属于“A”字型结构. 每个函数的最大值分别和等腰三角形的高线构成“A”字型结构. 有比例式=和=，其中OE和AG分别是OP和AP的一半. 再根据勾股定理可计算出DF的长，于是可得到BE+CG的值.

最后，教师在师生交流合作的基础上引导学生概括“A”字型的变化. （如图10和图11）

4. 第四阶段：“问题清单”引导下交流合作基础上的归纳小结

首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

（1）由平行线产生的“A”字型结构中的比例线段的适用原理有哪些？

（2）“A”字型结构出现的内接矩形（或正方形）比例式的结构特征是什么？你是怎样确定的？

（3）你在解决“A”字型结构的问题中，感受到了哪些思想方法？

其次，教师组织学生进行交互反馈，同时教师边倾听边评价.

最后，教师让学生自编一道类似的题目并提供解法. （这部分内容可以移至课后）

教学反思

反思1 首先，目前复习课存在导入就是课本的概念或者原理让学生复述的不良倾向. 既抽象、枯燥又拖时无效，学生还听课疲劳. 本节课的导入采用了纠错的方式，习题1和习题2以教材的例题为核心，让学生结合具体的图形辨析平行线分线段成比例和相似三角形产生比例的勘误，分别从正、反两个方面理解哪些是这两个原理都可以用的比例，哪些是只能选用其中一种，澄清了这两种原理使用的结构特征，梳理了正确的比例结构. 其次，以典型性和重点题型为导入的开场白，起点低，容易激发学生关注基础知识和基本技能，选择的材料又面向全体学生，学生易于接受. 最后，复习的起点采用给出解题内容，让学生辨析真伪，避免了学生复习原理时易枯燥、抽象的心理抵触. 从课本出发，根据学生熟知的情境帮助学生对结构进行比较，为学生树立了正确的复习理念，不陷入“题海”.

反思2 首先，初三的复习课既要考虑学生学习新知进行巩固的特点，也要兼顾学生面临的中考等选拔性的要求，现在复习课存在起点过分偏难、偏高、偏繁的现象. 本节课结合新课标的要求，遵循循序渐进的原则，考虑到学生的基础不够突出的现状，通过问题1和问题2为学生创设自主学习的问题情境，从学生的纠错活动中引导学生通过实践、思考、探索、交流等，实现自我知识结构的梳理和澄清. 在具体的实践中体会平行线分线段成比例和相似三角形对应边成比例的结构特征的区别与联系，在具体的数学活动中完成抽象原理的再认识. 避免了教师“炒冷饭”，在学生“先做后学”中完成基础知识和基本技能（双基）的落实. 其次，通过一题多变的反思、纠错，刺激学生学以致用，强化基础知识和基本技能. 立足“双基”的进一步强化，为下一步基本思想和基本技能的渗透做好了思维铺垫. 最后，导入的起点从学生熟知的课本材料入手，并且以思辨纠错的方式出现，在学生认知的最近发展区中实现复习知识点的再提高. 一方面，可以给学生带来新鲜感，激发学生独立思考；另一方面，消除了学生复习的畏惧心理，原来复习就是他们会的，并且改变了学生回顾知识点的方式，即不是单一的、机械的记忆方式. 对于原理的回顾和反复，是在纠错中实现知识点的再忆，需要他们自己思考，复习课不是课本知识的简单重复.

反思3 从内接正方形计算边长的两种形式中，讓学生发现问题本质，形成直接经验和间接经验. 首先，感受问题解决中“A”字型结构的本质特点，初步形成转化思维联想. 其次，为学生在思维上形成基本思想和基本经验做铺垫. 习题3和习题4两道习题的设置具有层次，习题3营造思维直接经验，形成三角形相似比例式的新结构，即=；习题4形成一个思维上的坡度，需要做高线构成习题3图示的特点所需要的=. 一方面提升学生对“A”字型（含有平行线）相似三角形的认识；另一方面，形成间接经验——关于正方形的边长，可以通过添加高线以“A”字型结构来实现. 小题也可以大有作为，并且从这两个习题的变化能感受到解决这样问题的模型的联想，拓展学生的思维——对应边与对应边上的高线形成的比例式的结构特征. 最后，实现资源的二次开发，从明显的“A”字型结构到构图产生“A”字型结构，再到自觉地运用“A”字型去联想计算方案，由直观到抽象，由直接到间接，遵循学生学习知识螺旋上升的原则，真正落实基本思想和基本技能的夯实.

反思4 以“A”字型结构为核心，通过一题多变，从内接矩形的直接计算到挖掘找规律，函数的结合等，为学生挖掘题型的本质特征搭线架桥，从而落实学生核心素养的培养.

“授之以鱼，不如授之以渔. ”数学复习课的宗旨就是让学生从现象看本质，实现做一题通一片，从而实现由基础知识迁移到基本经验和基本数学思想方法的落实. 这就要求我们教师要明察秋毫，仔细研究考题和学生的学情，避免复习课成为习题的堆砌. 学生的学习在复习课中不能是为了做题而做题，陷入做题的盲目中，而应从大量题目中筛选具有代表性的试题，让学生实现题目之间的并联、方法上的串联.