通过数形结合形成数学概念

陈炤

[摘 要] 初中生应在数学概念的学习过程中形成正确、科学的数学概念. 数学概念有一定的抽象性，而初中生的抽象思维能力还不是很强，因此，他们在数学概念的学习中，往往不能够正确把握数学概念的内涵与外延. 通过数形结合思想，能让学生感知概念、形成概念.

[关键词] 数形结合；概念

数形结合是一种重要的数学思想，通过数形结合能够有效地帮助初中生形成数学概念，从而让他们的概念学习更高效. 其具体的策略有通过数形結合引导学生感知概念的要素、理解概念的内涵、深化概念的探究、促进概念的内化.

通过数形结合感知概念的要素

在初中数学教材中，对于数学概念的描述往往是通过文字的形式进行呈现的，这样的概念呈现方式仅仅把数学概念的基本要素进行了表述. 教师在教学中如果仅仅让初中生对这些概念的基本要素进行记忆，虽然在短时间内有一定的效果，但却不利于初中生对数学概念的深入理解. 教学中，通过数形结合就能够有效地把数学概念的基本要素进行形象化呈现，从而让初中生进行感知与理解，达到优化概念学习的目的.

例如，教学“数轴”这一数学概念时，在给初中生引入这一数学概念之后，可以先让学生根据以下生活情境画出线段图：王林家向东走200米是汽车站，向西走300米是火车站. 假如规定向东走为正，向西走为负，王林从家里走到汽车站可以怎么表示？走到火车站又可以怎么表示？你能画一画吗？这样，学生就会通过画线段图表示王林家、汽车站、火车站这三者之间的位置关系. 学生画了图以后，再组织他们对“怎样在图上表示东、西两个相反的方向？怎样才能表示出王林家离汽车站和火车站之间的不同距离”这一问题进行讨论，在讨论的过程中，再给学生引出数轴的三要素：原点、方向、长度单位，这样，学生对数轴的基本要素就能够进行直观化理解，并且能够对数轴的这三要素的不可缺少性进行深入认知，从而正确形成数轴的概念. 对于初中生来说，这样的概念学习才是高效的，因为这样的概念学习基于他们的生活起点与认知起点.

“数轴”本是抽象的数学概念，以上案例是在具体的情境中抽象出数轴模型，然后通过数形结合的方式把数轴的三要素进行深入融合，这样，就有效地在这个过程中促进了学生对数轴这一数学概念的形象化感知，从而促成了他们概念学习的高效化. 可见，在初中数学概念教学中，借助数形结合的方式引导初中生对数学概念的基本要素进行理解与把握，就能收到事半功倍的效果. 在数学概念教学中，像这样的例子还有很多，这就需要教师在教学中根据不同的概念教学内容进行灵活设计.

通过数形结合，理解概念的内涵

概念的内涵是指概念的本质和基本特征，初中生在数学概念的学习过程中，理解概念的内涵才能真正地形成数学概念. 初中生理解数学概念内涵需要经历数学思维过程，如果他们在这个过程中缺乏数学思维活动，而仅仅是对数学概念的内涵进行记忆，这是低效的. 因此，教学中，教师要善于通过数形结合的策略引导学生理解概念的内涵，这样，就能有效地提升数学概念的教学效率.

例如，教学“绝对值”这一数学概念时，引入绝对值的概念以后，可以让初中生结合数轴找一找5，-5，0，-12，12的绝对值. 在这个过程中，他们根据数轴上的点到原点的距离，很容易发现5和-5，-12和12的绝对值是一样的，0的绝对值就是0. 然后，引导学生思考：5和-5，-12和12的绝对值为什么一样？初中生在反思的过程中会发现5和-5离原点的距离都是5，12和-12离原点的距离都是12，所不同的是，它们和原点的方向是相反的，方向相反并不影响它们离原点的距离. 待初中生有了这样的感知与理解之后，再给他们出示一些正数和负数，结合数轴找一找其绝对值，这样，学生就会明白，正数和0的绝对值是它本身，而负数的绝对值就是它的相反数. 通过这样的数形结合，初中生就能够对绝对值在代数意义上的本质内涵有深入理解，并且能够对绝对值这一数学概念在原有的认知结构之中进行同化，形成新的数学知识体系.

以上案例中，教师通过数形结合的策略引导学生对绝对值的代数本质内涵进行理解的方式十分高效. 在教学中，如果我们仅仅让学生对绝对值的内涵进行记忆，他们记得快，但是忘得也快，并不能从数学理解的角度进行深入把握. 在初中数学概念教学中，还有很多相似的例子，我们在进行教学设计的过程中要多留心眼，要根据初中生学习数学概念的规定进行精心设计，从而引导他们在课堂上进行高效的数学概念探究学习.

通过数形结合，深化概念的探究

在初中数学课堂教学中，引导初中生进行探究化的数学学习十分重要，通过数学探究，初中生才能获得数学思维与数学素养的双重提升. 数学概念是初中生进行数学探究的有效载体之一，同时又是培养初中生数学思维能力的有效素材. 在初中数学概念教学中，教师要善于引导学生通过数形结合的方法深化对数学概念的探究，引导学生经历数学概念的探究过程，在对数学概念进行探究的过程中对数学概念的内涵与外延进行深入理解.

例如，教学“三角形的中位线”这一数学概念时，当学生对“三角形的中位线”的概念有了一定的感知以后，笔者让学生在纸上任意画一个三角形，即△ABC，并让他们分别量出AB，AC，BC的长度，且分别画出三条边对应的三条中位线DE，EF，FD，测量这三条中位线的长度，然后完成表1.

这样，学生在这个过程中就会发现三角形的中位线是对应的底边长的二分之一. 那么，在一个三角形中得出的结论是不是具有普遍性呢？接着，笔者组织他们在小组内对这个问题进行讨论，他们在小组讨论的过程中发现，不管是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，都有这个规律，这说明他们之前得出的结论是正确的. 最后，笔者给学生出示三角形中位线定理，学生在读三角形中位线定理的过程中发现和他们发现的结论是一样的，因此感受到了数学学习的成功与快乐，这样他们就很容易理解三角形中位线定理了.

以上案例中，笔者在数形结合的过程中引导学生经历了三角形中位线定理的探究过程，学生的数学思维和数学探究能力得到了有效提升，并且，在这个过程中，他们对三角形中位线的概念有了本质的理解与把握. 可见，在初中數学概念教学中，这样的形式能够有效地引导学生经历数学概念的探究过程，学生会在探究数学概念的过程中有效地对数学概念进行深入理解，从而达成概念学习的高效.

通过数形结合，理清概念的联系

在初中数学概念教学中，引导学生促进对数学概念的内化十分重要. 数学概念的内化指的是，把数学概念通过自己的理解使之融于自己原有的认知结构之内，从而形成数学概念系与数学概念域. 数学概念与数学概念之间存在紧密的联系，而通过数形结合的形式就能有效地促进学生掌握数学概念之间的联系，从而达到事半功倍的学习效果.

例如，教学“四边形”这一教学内容时，当学生对平行四边形、正方形、矩形、菱形这四个特殊四边形的概念及特征进行学习以后，笔者让学生根据这四个图形之间的关系画出关系图. 在学生进行相应的画图操作以后，笔者给他们呈现了如图1所示的关系图.

这一关系图有效地呈现了平行四边形、正方形、矩形、菱形这四个特殊四边形之间的联系和区别，接着，笔者又让学生用数学语言表述“有一个角是直角”“有一组邻边相等”“对角线互相垂直”“对角线相等”这些图形之间的关系要素，这样，学生就能对这些数学概念进行有效内化，从而在头脑中形成相应的概念图. 显然，这样的概念学习具有深度与广度，同时，学生还经历了数学概括的思维过程.

以上案例中，教师先让学生画平行四边形、正方形、矩形、菱形这四个特殊四边形的关系图，然后教师呈现科学化的关系图，并引导学生对相应的关系用数学语言进行表述，这样就自然且有效地促进了学生对数学概念的深入理解. 在初中数学中，还有很多数学概念存在紧密的联系，对于这些数学概念的教学，要善于引导学生通过数形结合的策略把这种内在的联系表示出来，这样就能有效地促进学生对数学概念的内化.

总之，数形结合是一种重要的数学思想，同时又是初中生进行数学学习的有效辅助方式. 在初中数学概念教学中，借助数形结合能够有效地引导学生对数学概念的学习进行优化，能够让他们对数学概念的本质特征和基本内涵进行把握，并且经历数学概念的探究过程，从而让他们的数学概念学习更高效. 但是，需要指出的是，数形结合是促进学生优化数学概念学习的一种手段，其目的是为优化学生的数学概念学习服务，并不是所有的数学概念教学都需要采用数形结合的方式，这就需要教师在教学中根据具体的概念进行深入研究，从而设计出高效的教学设计.