初中数学视野下“基本思想”的解读

戴蓉蓉

[摘 要] “四基”中新增的一基是基本思想，对基本思想的解读，要立足于经验但又不能过于经验化. 从概念解析的角度来看，基本思想需要从“基本”与“思想”两个角度建立理解，同时要厘清“数学思想”与“数学方法”之间的联系与区别. 有效的“基本思想”理解，是建立在教学实践基础之上的，因此从教学中寻找实例建立理解，是深化理论认识的重要途径.

[关键词] 初中数学；基本思想；教学解读

自从2011版《义务教育数学课程标准》颁布以来，“四基”就成为一个热词，而其中又以基本思想和基本活动经验为数学教师所津津乐道. 在笔者看来，新的“两基”的提出，一方面是对已有教学中一些思路的精要概括，同时也是为以后的教学指明方向. 需要强调的是，对于这两个概念的理解，不能经验化，不能泛化，不能将它们视作一个啥都可以往里装的篮子，更不能只抓住概念去贩卖旧的观点. 本文试以“基本思想”为研究对象，谈谈笔者的一些观点.

“基本”的思想

“基本思想”首先是“‘基本的思想”，既然是“基本的”思想，那就不能太多、太泛，尤其是初中阶段，正是通过数学知识理解数学思想的时候，过多、过滥的思想，往往不容易让学生形成一种线索性的认识，这就容易让学生对数学思想的理解处于离散状态，这显然不是课程标准的初衷.

那么，哪些思想是基本的数学思想呢？课程标准解读给出的答案是三个：数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想. 不多，好记，但需要理解. 这三个思想理解起来很容易：数学原本就是抽象的产物，可以说没有对实际事物的抽象就没有数学，因此，在数学教学中，尤其在2011版课程标准的引导下，初中数学教学常常需要让学生面对类生活的数学情境进行思考，以抽象出其中的数学研究对象，进而建构数学概念、描写数学规律；数学推理在数学中无处不在，因此，推理思想是数学的基本思想毫不为过，最简单的证明就是初中数学中学生面对了无数次的“因为……所以……”的推理；数学建模相对而言要“高大上”一些，在数学中建立模型的思想更多地是以隐性的形式存在，学生很多时候并不知道，这也符合初中生的认知特点，你总不能在学生面对一个实际问题的时候说“我们先来建立一个数学模型”，这就太标签化了，不符合“思想”的本义，但数学建模的过程却需要细细引导，让学生学会建立模型，是初中数学教学的重要立足点. 下面通过几个例子来说明初中数学中三个基本思想的存在.

“数轴”是学生进入初中之后学的第二个概念（第一个概念是有理数，人教版初中数学七年级上册），这个概念的建立可以说同时包含了三个基本思想：教材中引入数轴时给出了一个实际问题，即在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境.

分析：画图表示就是一种数学抽象的思想，其后将图演变成数轴更是一种数学抽象，因此抽象是存在的；将题意转换成图形需要简单的演绎推理（在归纳了生活经验与此前数学知识的基础上），确定单位长度并表示图中的四个数据也是推理，因此推理是存在的；最后形成的数轴则毫无疑问是一个数学模型，因此数学模型亦是存在的.

其实只要细细分析，可以发现很多数学概念的构建过程中，很多数学规律的探究并得出的过程中，都有这三个基本思想的存在，由此也反证了这三个思想确实是“基本”的思想.

基本的“思想”

无论是以前的“双基”，还是现在的“四基”，尽管简称里面强调的是“基”，但实际上人们更为关注的是“思想”. 要知道，并不是所有的表达都可以称为思想，真正的思想其实是很宝贵的！从纯粹数学意义的角度来看，只有涉及作为科学的数学的发生、發展的“根本”的表述，才能称之为“数学思想”. 既为数学思想，便是数学知识大厦的基础，从而也就是数学课程的灵魂. 关于数学思想的表述，很多人给予了不同的通俗表达，笔者以为这样的表达是适切的，有助于一线教师更好地理解数学思想. 比如，有人说“数学思想就是忘记了所学的数学知识之后剩下的东西”（这句话最初出于爱因斯坦的相关表述，兹不赘述），确实如此，如果从学生成长的角度来看，当学生离开数学课堂之后，他们还能用数学推理去对生活中的某些事物进行判断，他们甚至还能将推理的能力迁移到其他学科中. 比如，有学生遇到陌生的历史选择题时，能够根据题中所给的信息推理题目中所说的事情发生的朝代（这可是数学学科核心素养所强调的课程融合）；又如，学生进入社会之后，他们还会借助数学思想，根据自己的生活需要选择电信资费套餐等，这也是数学思想的应用. 在这样的情境中，学生未必会意识到数学的存在，但数学思想的的确确就客观存在着，这就是数学思想的魅力！

将“基本思想”理解成“基本的‘思想”，就意味着教师的教学着力点也需要放在思想本身. 但正如上面所论述的一样，思想有时其实不宜作为显性存在，尤其是不适宜当作标签贴在某个教学环节上. 思想犹如灵魂，其存在于肉体当中同时又支配着肉体的行动，这才是思想的作用机制. 当然，在学生已经理解了某个基本思想，已经能够熟练运用思想之后再告诉学生这一数学思想的名称，这并不是贴标签，这只是数学思想以具体概念的形式出现，也是数学教学的一个有机组成部分.

在三个基本数学思想当中，数学建模的思想尤其需要经历这样的建构过程. 在七年级下学期或八年级上学期，抓住某一个运用到数学建模的教学机会，就可以将思想显性化（概念化），如“平面直角坐标系”的学习，基于确定位置的需要并通过对实际问题抽象之后，便建立了平面直角坐标系. 建立之后，让学生反思其建立过程，并寻找此前用到类似方法的过程，于是学生会发现，通过类似的过程，可以建立一个解决一类数学问题的工具，正因为这个工具（其实就是数学概念或规律）具有普遍适用性，因而其就具有了模型作用，于是这样的过程就是数学建模的过程. 当然，这还需要教师根据实际情况去判断，即使整个初中阶段不提数学建模的名称，也并不会实质性地影响学生建构数学知识，毕竟，数学建模作为思想运用，才是最实质的.

思想与方法

谈到数学思想，数学教师几乎都能直觉性地想到“数学方法”，但是很显然，这两者不是同一个概念. 思想是根源性的，是方法的源泉；方法具有操作性，也常常是程序性的，是有具体的执行步骤或路径的. 因此，思想非方法，但思想与方法之间存在着密切的关系. 初中数学中常见的数学方法较多，如解方程或解方程组中的代入法、配方法、公式法等.

其实，作为一线数学教师，更多的需要从数学思想与数学方法的理论梳理中，找到数学教学实践的智慧. 这里有一个重要的认知就是：数学思想作为数学方法的根源，其外在体现为具体的数学方法，而数学思想要想变成数学方法，最重要的途径就是将数学思想所演绎出来的“程序化操作”显现出来.

什么意思呢？这里还是通过“数轴”这一事例进行说明：在“数轴”的教学中，会同时用到数学抽象、数学推理与数学建模的基本思想，但在实际问题与数轴这一模型之间，教材设计了一个“画图”的中间过程，这个过程可有可无吗？当然不是，在笔者看来，这恰恰是体现教材编写者高超智慧的地方. 因为从学生构建数轴的角度来看，他们不可能一下子想到用数轴这一模型来表示实际问题，而画图却是初中生非常感兴趣的（事实上他们从小学数学学习开始就喜欢画图的方式，这与学生的形象思维有关），也是学生数学学习的直觉性行为. 因此，画图这一中间过程，就将学生所用到的三种基本思想形象化、技术化了. 当三个基本思想支配着学生的画图及其结果时，就意味着数学思想在向数学方法演变. 其演变过程可以这样简述：学生在面对实际问题的时候，大脑会根据文字描述构建出相应的表象；在“画图”的要求下，这些表象最终会转换为学生笔下的图形——由路、树、电线杆、汽车站牌等构建出来的简图；其后，又在“用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系”这一要求的作用下进一步抽象，你会发现学生确实会有效进行这两步抽象，也确实可以顺利地建构出数轴这一用于表示、解答数学问题的模型. 此过程中，三个数学思想是内在于学生心中的，而其演绎出来的带有步骤性的操作，其实就是数学方法的产物.

综合地说，观念性的、概括性的（当然还有其他一些表述）是数学思想，操作性的、程序性的是数学方法. 厘清两者的关系，可以让教师在教学中更好地分清教学重点，从而更有效地实施教学.