多元建模，巧解数学应用题

刘清

【内容摘要】什么是数学建模？其实质就是利用掌握的数学工具，将问题数字化，构建出模型，对实际问题进行解答。学生所掌握的各种定理、公式、方程式等都是具体的数学模型。数学就是将这些模型教授给学生，并引导学生如何建立数学模型。数学建模意识的渗透，对于学生来讲，未尝不是观察、分析、综合能力的一种拓展。

【关键词】数学建模 实际问题 能力拓展

中学数学的一个重要组分就是应用题。应用题作为考察学生对数学知识的应用能力的一种题型，与实际生活、生产又密切相关，也正是中考命题的重点所在。应用题的直接求解难度一般较大，但是如果能够通透题意，巧妙构建数学模型，就比较简单快捷。也一定程度上可以锻炼学生的创新能力。数学建模的起点并不高，也很容易掌握，同时也具备一定的趣味性。在实际教学中，我们应当鼓励学生多思考，运用多种数学形式进行表达，多元建模，灵活运用，才能高效的解题。

一、函数模型，考虑变量

有些应用题可以通过现有的数学模型加以定量分析，把应用题进行数学化。在中学数学中，最为熟悉的现成的一种数学模型无疑就是函数模型。联系题目中给出的信息和已经掌握的函数知识，充分考虑变量，便不难解出题目，得出答案。

例题1：甲城有300吨肥料，乙城有200吨肥料，而C、D两乡刚好需要500 吨肥料，从甲运往C地一吨20元、D地一吨25元，从乙运往C地一吨15元、D地一吨24元。现在要运往C地240吨，剩下的260吨则全部运往D地，为了将运费降到最低，请你帮忙设计一个合理的方案？显而易见，这道题目实质上是对一次函数最小值的求解。设从甲运x吨到C，那么乙就运（240-x）到C，从甲运（300-x）到D，从乙运[200-（240-x）]到D，可以得出函数：运费y=20x+ 25（300-x）+15（240-x）+24[200-（240- x）]=4x+10140。既然要使运费最少，则x取值为0，此时函数有最小值y=10140。将函数最小值10140代入原函数式，就不难得出答案了。

这一类题目比较简单，学生掌握一定的数学知识，具备一定的数学思维就不难建立起正确的函数模型。而模型一旦建立，得出结果也就顺理成章。

二、方程模型，找出变量

在生活中，有着多种多样的等量关系，自然也有不等关系，对于这一类型的实际应用题，建立方程模型无疑是最为简便的。理清楚题目给出的条件，找出题目中的变量，明确好未知量与已知量之间的关系，就可以把模型很容易的建立起来。

很简单的一道题目，某一个车站运来了三车辣椒和六车豆角，总重为2580千克，其中，一车辣椒的重量为260千克，那么，一车豆角有多重？首先，总重量与辣椒的单位重量是已知的，题目也给出了各自的数量，按照所求未知量与已知量的等量关系，设每车豆角重量为xkg，可以得出方程2580= 3×260+6x，得出一车豆角重300千克。再比如，有一个人得了感冒，两轮传染之后发现有121人得病了，那么，在每一轮的感染过程中，一个人平均传染给了几个人？这道题的难点在于变量是第二轮的基数，不能忽略掉最初的感染源，找出变量之后，方程就不难建立了，设该变量为（1+x），根据题意建立起方程1+x+x（1+x）=121，最后得出结果平均一个人传染给了10个人。

在建立方程模型的过程中，寻找变量也是对学生思维能力的锻炼，是对学生对问题的分析解决能力的有效提升。方程在绝大多数应用题中都与其他数学模型相结合，这就要求学生学会灵活审题，多元建模。

三、统计模型，估计整体

概率统计作为初中数学的一大知识板块，经济发展的今天，统计愈来愈显示出其重要性，掌握好统计模型，对解决应用题无疑有着极大的帮助。这类题目的难点在于学生往往不清楚什么时候应该建立统计模型。

例题：某个公司的销售部有十五名销售人员，经理计划制定一种商品的月销售量，经过统计这十五名销售人员的月销售量之后，得出下表：

假如销售部的经理额定每个销售人员每月的销售额为320件，你觉得是否合理？

这是一道典型的统计学问题，乍一看没头没脑的320让很多学生都不知如何下手，实则只要要从整体进行估计，建立起统计模型就十分简单了。销售补的额定应该是大多数人都可以达到的。計算了平均数、中位数和众数之后，可得出结果分别为320、210、210。然而因为1800明显比其他销售员的销售量高出太多，所以得出的平均数并不具有客观性，根据中位数与众数可以得出这个额定并不合理，210无疑更为合适。

统计题看似简单，但必须学会从整体出发，建立起完整的数学模型，综合题目所给出的多方条件，整合有效信息，才能得出正确答案。

总而言之，初中阶段的应用题解答中，老师要逐步将多元建模的解题思路渗透给学生，引导学生因题而异，灵活运用各种数学模型将实际问题转换为数学问题，力求做到高效而简洁的解答。对数学模型的巧用、活用是保证应用题拿到高分的不二法宝。

（作者单位：江苏省高邮市城北中学）