与圆锥曲线离心率有关的问题探究

☉河南省沈丘县第一高级中学 赵继勇

与圆锥曲线离心率有关的问题探究

☉河南省沈丘县第一高级中学 赵继勇

与圆锥曲线离心率有关的问题一直是高考的热点，圆锥曲线的离心率问题的解法有多种，如果我们能抓住关键，掌握规律，就能轻松、快速地解决相关问题，那么，关键是什么呢？规律又有哪些呢？下面笔者结合几类问题探讨一下有关解题策略．

一、与离心率有关的取值范围的研究

这类题目的解法，常常是利用已知条件直接构造不等式：利用圆锥曲线的范围及最值构造不等式；数形结合借助平面几何知识构造不等式；利用判别式、均值不等式或其他基本不等式来构造不等式；利用函数的单调性构造不等式．

分析：此题可以根据圆锥曲线的自身性质求离心率的取值范围．

解法一（数形结合法）：设P的坐标为（x0，y0），

解法二（直接法）：设P的坐标为（x0，y0），由代入椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2，得

解法四（焦半径法）：设∠F1PF2=α，点P（x0，y0）．

由焦半径公式得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0．

由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosα=|F1F2|2．

解法五（均值不等式法）：由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-，得|PF1||PF2|cosα=c2，代入上式得|PF1|2+|PF2|2=6c2．

由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，根据均值不等式

又因为|PF1|·|PF2|≤a2-c2，c2≤a2-c2，c2≤3a2，

关键是找到含有a，b，c（或a，b，c中的两个）的一个不等式，可借助图形、圆锥曲线定义或常见结论等知识寻求解决问题的突破口．

解：如图1，设椭圆的左焦点为F1，半焦距为c，连接AF1，BF1，则四边形AF1BF为平行四边形，所以|AF1|+|BF1|= |AF|+|BF|=4．根据椭圆定义知，|AF1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a，所以4a=8，得a=2．因为点M到直线l的距离不小于，所以b2≥ 1，即a2-c2≥1，4-c2≥1，得所以椭圆的离心率的取值范围为

图1

点评：此题重点考查考生的等价转化与化归的能力，由|AF|+|BF|=4是否能等价转化为4a=8，另一方面草图对解题有不可轻视的指导引领作用．

二、离心率的值

解这类题的关键是：寻求建立a、b、c（或a、b、c中的两个）的一个等式或不等式；从“形”入手，从“数”下手；从圆锥曲线的定义思考，从几何图形的性质出发，从方程（或不等式）的角度落笔；结合平面几何基础知识，平面向量的知识，三角函数，柯西不等式，并充分利用数形结合的思想、方程思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论的思想．

根据题目给定的条件，寻找并建立含有a，b，c（或a，b，c中的两个）的一个等式，即可求得离心率．

例3平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．

图2

因为F是△ABC的垂心，所以kOB·kAF=-1．

点评：（1）画图很重要，不画图做对题，那是不可能的，所以要做题得先画图．

（2）若题目较复杂，则需要耐住性子，要清醒地认识到：题易，我易，他易，不大意；题难，我难，他难，不畏难．此题图形有点复杂，但关键是要找到关于a、b、c（或a、b、c中的两个）的一个等式，沉着冷静，胆大心细，足以应对．

三、与离心率交汇的其他问题

这类问题要注意全方位，多角度去思考，寻求多方着力，尽可能通过分析推理得出最简便的方法．

例4已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）．

解法一：如图3，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，r1＞r2，|F1F2|=2c，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2．

即4c2=+rr．12

又根据定义知，r1+r2=2a1，r1-r2=2a2，

得r1=a1+a2，r2=a1-a2，

解法二：如图3，设|PF1|= r1，|PF2|=r2，r1＞r2，|F1F2|=2c，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2；椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2．

由定义得r1+r2=2a1，r1-r2= 2a2，平方得．又由余弦定理得柯西不等式得

图3

解法三：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，r1＞r2，|F1F2|=2c，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2．

由余弦定理得4c2=-r1r2=（r1+r2）2-3r1r2=4-3r1r2，

消去r1，r2，得以下同解法二．

解法四：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，r1＞r2，|F1F2|=2c，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2．

解法五：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，r1＞r2，|F1F2|=2c，椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1；双曲线的实半轴长为a2，虚半轴长为b2；椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2．

以“形”入手，借助函数、柯西不等式、三角函数、焦点三角形面积公式等，都是为了有效地架起已知与求解之间的桥梁，意在考查考生利用知识等价转化问题和解决问题的能力．