由一次“诱导公式第二课时”同课异构引起的反思

☉浙江省杭州高级中学钱江校区 俞昕

由一次“诱导公式第二课时”同课异构引起的反思

☉浙江省杭州高级中学钱江校区 俞昕

一、缘起

笔者所在备课组年轻教师比较多，因此学校非常重视青年教师的培养与发展，每学期都开展青年教师汇报课，本学期开设的内容是《诱导公式第二课时》.确定本课题为开课内容的原因有二：其一，诱导公式是经典内容，能考查教师对经典教学内容的解读与基本功；其二，以往比较多的关注点落于诱导公式的第一课时，因此第二课时的资料相对比较少，便于考查教师对内容的原创性与创新性.果然两位年轻教师对此内容展现出不同的解读与诠释，下面笔者将他们的新课讲授部分加以简单展示，分别用教师Z与教师L来区分两位年轻教师.

二、新课讲授部分的同课异构

1.教师Z的新课展示简介

师：初中时，我们就知道：sin30°=cos60°，cos25°= sin65°.请同学们解释一下其中的原因！

学生们大都从直角三角形的角度进行解释.

师：可否将上式一般化？

师：如何证明？

给予学生们一段思考与探究的时间后，教师给出图1，角α的终边与单位圆的交点为P（x，y），则sinα=y，cosα=x.

图1

根据圆的对称性知，交点P与交点P′关于直线y=x对称.所以可以得出：

教师继续引导学生由公式五推导出公式六、七、八.（在此省略）

接下去通过例题熟悉公式的运用（.在此省略）

2.教师L的新课展示简介

教师引导学生回顾诱导公式二、三、四的探究过程：角的关系⇒终边对称关系（找对称轴）⇒坐标关系⇒三角函数值关系，然后引导学生继续探究.

三、对两节课的分析与反思

诱导公式是高中数学中一块经典而且重要的内容，很多老师在讲授完所有的诱导公式后（包括这两位青年教师）都会花时间给学生总结“奇变偶不变，符号看象限”.但笔者思考的是：诱导公式教学的重点与难点是什么？通过它的学习带给学生怎样的数学核心思想与数学素养？诱导公式除了留给学生记忆的方式与套公式解题外还有什么是值得学生回味的？

1.对称思想的把握是诱导公式推导的难点

在诱导公式第一课时中对于角α与π-α，-（2π-α），π+α终边的对称关系已经渗透过，但从学生在第二课时的反应中看出，学生对于这样的对称关系的认识并不是很深刻，以致在第二课时中，教师问道“与α有什么关系？”时，一度出现冷场.学生在理解与α终边关于直线y=x对称时确实出现了认知上的困难，特别是教师Z在授课过程中展示的图1，虽然教师设计的初衷是体现角α的任意性，但学生对于这样的非第一象限角的对称性理解产生了一定的认知困难.我们该如何帮助学生突破这个难点呢？这是教师在备课时应该着重考虑的问题.

学生在学习函数时就已经接触了对称思想，比如x轴上的点（1，0）与（-1，0）关于原点对称，同时也关于直线x=0对称；平面直角坐标系中的点（2，1）与（-6，1）关于直线对称.所以学生已经知晓：点与点的对称就意味着两个点的横坐标的中点是对称直线的横坐标，即点（a+x，b）与（a-x，b）关于直线x=a对称.基于学生这样的认知起点，我们不妨可以进行这样的教学设计.

思考1：平面直角坐标系中，点（a+x，b）与（a-x，b）的位置有什么关系？

这样的问题串设计能够帮助学生较好地搭建认知的脚手架，避免学生在诱导公式推导过程中可能出现的认知困难.在学生理解了“的终边与α的终边关于直线y=x对称”之后，进而再推进到“的终边与α的终边关于直线y=-x对称”.而对于“的终边与α的终边的关系”与“的终边与α的终边的关系”，我们不妨可以先探究“的终边与-α的终边的关系”与“的终边与-α的终边的关系”，然后再依据第一课时学习的诱导公式就可以推导出最后两组诱导公式了.

2.诱导公式留给学生的数学核心素养是重点

文［1］中提到：素养是无法教的，它只能在一定的载体下通过潜移默化的熏陶才能逐步形成.在学校教育中，这个载体主要是学科知识的学习.掌握知识是形成素养的基础.但如果在教学中过分地注重学科知识，就可能造成知识教学不到位.例如一些老师都是形式化地教数学概念而没有讲概念蕴含的数学思想和数学思考方法.这些教师在学科知识的教学中不能做到准、精、简，有的甚至连最基本的知识教学任务都不能完成.

基于文［1］提出的观点与现状，我们不妨可以冷静地来思考一下诱导公式的教学能给学生渗透怎样的数学素养呢？数学发展的历史告诉我们，数学理论的建立往往有两条路径：第一，源于解决实际问题的需要；第二，源于数学理论内部.而源于数学理论内部的数学理论在建立时人们并不知道其有何作用，有些甚至到目前为止还不知道它们有何作用，这一点正是数学理性精神的体现.我们可以思考从以上两条路径来进行诱导公式的教学.

首先，诱导公式不仅仅是一套公式，它蕴含着三角函数最根本的性质：周期性以及运用三角函数刻画圆上点的对称性.所以通过诱导公式的学习，首先要引导学生解决诸如“为什么要学习诱导公式”、“怎样学习诱导公式”、“诱导公式的由来”等这些来自于数学概念内部的问题，让学生感受到新的数学知识的学习是由数学内部提出问题而驱动的，以达到培养学生理性精神的教学目的.比如，教师L在授课伊始提出的一条线索“角的关系⇒终边对称关系（找对称轴）⇒坐标关系⇒三角函数值关系”比较好地向学生揭示了对于诱导公式这一数学知识的研究思路与方法.只有让学生知道了研究数学问题的方法，学生才有可能将这种方法加以运用、推广、拓展，才能举一反三，增强自己解决数学问题的能力.

其次，诱导公式具有一定的数学应用价值.比如我们需要知道一个很大的正角或一个很小的负角的某一个三角函数值，那么就可以运用诱导公式将其转化为0与之间的角度的三角函数，通过查表可以得到它的近似值.这可以视为诱导公式最直接的实际应用，而在现实的教学中，教师往往忽略这一点，而将教学重点落在各种形式化的公式变形上.笔者觉得在推导诱导公式的第一、二课时两节新授课教学中，最好还是围绕诱导公式的来龙去脉以及实际应用价值比较好.这样更有助于帮助学生厘清数学知识的本质，而不至于囫囵吞枣，只会盲目地硬套公式.至于公式的进一步运用笔者觉得可以放于后面的习题课继续深入.

3.诱导公式值得学生回味之处是亮点

传统的诱导公式教学都是在讲授完全部公式之后，向学生总结“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀.笔者考虑不妨可以引导学生探寻这些诱导公式之间的联系.比如探究：化简为偶数时，当n为奇数时进而再探究当n∈Z时的结果等等.

这样的教学避免了学生盲目地记忆“奇变偶不变，符号看象限”，能够从各组诱导公式之间的联系来有意义的记忆诱导公式，提升学生对诱导公式的认识，让学生对诱导公式的学习意犹未尽、回味无穷.

四、尾声结语

把数学教好是落实核心素养的前提，关键是要“示以学生思维之道”，让学生经历完整的“获得对象—研究性质—应用拓展”过程，使学生学会思考，能用数学的方式认识问题和解决问题，避免“几个公式、几个注意点、几个例题、大量习题”的模式.诱导公式在常态教学中确实存在以上的一些弊端，导致学生认为诱导公式这块内容似乎是三角里独立的一套公式，没有什么用处，仅仅用于解题中的三角化简.通过这次同课异构活动激发了笔者思考如何改善此内容的教学，使之更契合落实数学核心素养的倡导.同时，笔者也觉得教研组、备课组应该多开展这样的教研活动，这不仅是对青年教师的鞭策，更是对所有教师的专业素养的重新洗礼与考验.

1.章建跃.树立课程意识，落实核心素养［J］．数学通报，2016（5）.

2.石志群.数学教学价值的思考［J］.数学通报，2010（8）.

3.宋浩.高中三角函数诱导公式教学分析研究［J］.中学数学（上），2016（12）.

4.俞昕.基于数学核心素养摭谈2016年高考试题［J］.中学数学，2016（10）.