香港与大陆高中教材微积分内容的比较研究

☉华南师范大学附属中学 郝保国

香港与大陆高中教材微积分内容的比较研究

☉华南师范大学附属中学 郝保国

微积分是现代数学的基础，有着极其广泛的应用.世界上一些主要国家或地区都在高中教材中引进了微积分内容.但因大家的课程理念不尽相同，因此引进的程度存在差异，呈现方式与定位也有所区别.香港地区的教育受英美等国的影响较大，数学教育很有特色和成就.若能比较研究香港与大陆的高中微积分教材，是一个较有研究价值的课题.

本文研究选取的香港教材是《新高中数学与生活（延伸部分）单元二——代数与微积分2》［1］（以下简称《微积分2》），大陆教材是“人教A版”《普通高中课程标准实验教科书〈数学选修2-2〉》［2］（以下简称《选修2-2》）.《微积分2》是朗文香港教育出版社2009年出版的，在香港影响较大；《选修2-2》是人民教育出版社2007年出版的，在大陆使用人数最多.笔者期望通过这两本教材的比较研究，让我们的微积分教材编写和课堂教学多一些启示和借鉴.

一、微积分在高中教材中的定位比较

香港目前使用的各种版本的高中数学教材，都是依据2007年制订的《数学课程及评估指引（中四至中六）》编写的.教材内容分必修部分和延伸部分.朗文香港教育出版公司出版的必修教材共有5本.延伸部分备有两个选修单元，单元一有教材2本，单元二有教材3本.《微积分2》是单元二的第二本教材，属于选修教材.《微积分2》的序言指出：“为希望学习高等数学的学生奠下巩固的代数与微积分基础”；“旨在让学生涉猎在必修部分以外的高等数学范畴——代数与微积分，并掌握个中的理论技巧，冀能对学生日后升学或从事与数学有关联的专业，有所裨益”.从这里可以看出，《微积分2》是供相当于大陆的理科学生选修的.

大陆目前使用的各种版本的高中数学教材，除上海外都是依据2003年制订的《普通高中数学课程标准（实验稿）》编写的.数学教材也分必修部分和选修部分.“人教A版”的必修教材有5本，选修教材共有16本.《选修2-2》是供理科学生选修的.本册导引指出：“导数和定积分都是微积分的核心概念”；“通过大量的实例，引导同学们经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，体会导数的思想，理解导数的含义”；“初步体会定积分的思想及其丰富内涵，为进一步学习微积分打下基础”.

香港与大陆的教材都是将微积分定位为选修内容，目标都是为学有余力的学生提供进一步学习的内容，为他们进入大学学习微积分打下基础.纵观其他国家的高中数学教材，美国、英国、日本等国也将微积分定位为选修内容，新加坡、澳大利亚定位为必修内容.

二、微积分知识内容的比较

《微积分2》中微积分的内容共有449页，16开本，学时大约为62节；《选修2-2》中微积分的内容共有67页，16开本，学时大约为24节.具体内容比较见表1.

表1

从表1不难看到，《微积分2》章节编写详细，内容丰富.《微积分2》在讲授导数前，安排了“函数的极限”等内容，包括：极限的概念，连续函数与不连续函数，连续函数的极限，连续函数两个定理（共7个结论），无穷大，三角函数的极限等.这样安排理论性强，与后面微分内容衔接自然.《选修2-2》轻理论重应用，逾越了极限概念，直接从“变化率问题”入手引入导数，但在定义函数的导又回避不了极限知识，这让教师处理教材时很棘手，也让学生理解教材时思维受阻.在后面的内容安排上，《微积分2》也比《选修2-2》多安排了反函数及隐函数的微分法，二阶导数，函数的凹性及二阶导数判别法，曲线的描绘，不定积分，利用不定积分解决问题，与三角函数、指数函数、对数函数有关的不定积分等内容.《微积分2》从不定积分过渡到定积分，且介绍了换元积分法与分部积分法，知识发展有规律可循，方法技巧灵活多变.《选修2-2》由曲边梯形引入定积分，学生不容易理解.由于在《微积分2》以前的课本中，香港学生学习过《三角函数》中的积化和差与和差化积等公式，因此，学生在学习和解答《微积分2》中较复杂的三角微积分例题与习题时，不会存在知识上的障碍.

三、知识呈现模式与严格性水平比较

（一）章首及章尾内容和结构的比较

《微积分2》共8章.每章章首都标明了学习重点，并给出与本章内容密切相关的一个生活中的实际例子，起提纲挈领及导入相关知识的作用；每章章尾附有本章摘要，起归纳总结的作用.以第13章“定积分”为例，章首的学习重点有6点，指明了本章的学习重点与难点之所在.给出的实际例子是“制定药物的剂量”，研究人员可通过计算的值，得知病人在接受注射T小时内的总药物摄取量，从而制订使用药物的剂量和频率.章末的本章摘要包括重要词汇与重要概念两个方面.重要词汇有9条：定积分、积分下限、积分上限、定积分法、假变量、微积分基本定理、变量变换、奇函数、偶函数，均有中英文对照.重要概念包括：定积分法概念、定积分的性质（共6条重要性质）、微积分基本定理、变量变换、利用分部积分法求定积分、奇函数与偶函数的定积分、周期函数的定积分.

《选修2-2》中只有一章是微积分内容.章首有类似导言的三段文字：其中提到微积分的产生，并指出微积分的创立与处理四类科学问题直接相关；重点指出了导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具；定积分也是微积分核心概念之一，一般平面图形的面积、变速直线运动的路程、变力所做的功等都可以归纳为定积分问题.章末有小结，包含本章知识结构及回顾与思考两个方面.本意知识结构是用框图形式呈现出来的.框图的四个结点是导数、微积分基本定理、定积分、定积分在几何和物理中的简单应用，框图的旁枝几乎包含了本章的基本内容.框图“概括抽象出定积分的概念、表示和意义.定积分概念的理解和应用要紧扣其几何意义和物理背景”［3］.回顾与思考有5点，回顾了导数的定义、微积分蕴含的数学思想与方法，以及微积分的联系与应用，还提问学生能否从物理和几何两个方面解释导数的意义？

（二）导数及定积分概念引入的比较

《微积分2》先给出割线的斜率，然后用极限的思想定义了切线斜率，进而由切线斜率引入并定义了一阶导数.《选修2-2》先从气球的平均膨胀率及高台跳水的平均速度，引入了平均变化率的概念，进而引入了瞬时速度并定义了一阶导数.无论是引入瞬时速度还是导数的概念，都运用了函数极限的思想和方法.《选修2-2》从现实生活中的实际例子引入导数，学生学起来不抽象，感到亲切好奇.

《微积分2》引入定积分的概念前，已经有极限与不定积分的知识做铺垫.引入定积分时，通过“分割（均分区间）、近似代替（以直代曲）、求和、取极限”四个步骤，先求三直线y=2x、x=1、x=2与x轴围成的图形的面积，再推导曲线y=f（x）与两直线x=a、x=b及x轴围成的曲边梯形的面积，进而引入定积分的概念.《微积分2》由浅入深，由易到难，符合学生的认知规律.《选修2-2》也是通过上述四个步骤，来推导曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，进而引入定积分的概念.《选修2-2》因缺少应有知识的铺垫，教师的教与学生的学都比较艰难.

（三）定理、法则与公式的严格性水平比较

严格性一般划分为四个水平层次：水平1—直接给出理论，没有任何解释或证明；水平2—通过例子解释理论；水平3—较为严格地解释理论的正确性，但不进行证明；水平4—严格地证明理论.

《微积分2》中，导数部分的和、差、积、商四个求导法则经过了严格证明，常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反函数的求导公式也都经过了证明，均达到了严格性水平4.定积分部分的定积分性质是直接给出的，达到严格性水平1；微积分基本定理、变量变换法、分部积分法，以及奇函数、偶函数、周期函数求定积分的公式均经过了严格证明，达到了严格性水平4.《选修2-2》中，常函数的求导公式给予了证明，达到了严格性水平4；幂函数四个特例的求导给出了严格证明，达到了严格性水平2，其他求导公式与法则，以及微积分的基本定理都是直接给出，达到严格性水平1.相比较而言，《微积分2》的严格性水平高于《选修2-2》.

四、例习题设置及综合性程度比较

由于《微积分2》与《选修2-2》微积分部分学时、章节内容差距很大，因此例习题数量差距也很大，不便于整体分析比较.在此仅以两本教材中有关定积分的部分为参照作比较.

（一）例习题的设置比较

《微积分2》的定积分内容分两章共7节.每一节配有例题，每个例题后面配有即时练习题.每一节后面设置了初阶、进阶两个层次的练习题.每一章后面设置了总复习题，分初阶、进阶、挑战题三个层次.这两章共有例题45个，即时练习题45个，初阶练习题177个，进阶练习题113个，挑战题4个.每个练习题均给出了答案，但没有详细过程.《选修2-2》的定积分内容没有独立成章，但分3节.每一节配有例题、探究题、思考题及课内练习题.每一节后面设置了A组、B组两个层次的练习题.章末配备了一个实习作业，题目是“走进微积分”，目的是通过收集微积分创立的时代背景和历史意义的有关材料，体会微积分在数学思想史和科学思想史上的价值.紧跟实习作业后面设置了本章的复习参考题，仍分A组、B组两个层次，其中有一部分为定积分题.这三节共有例题7个，探究题6个，思考题4个，课内练习题11个，A组题17个，B组题12个.

两本教材例习题的设置方法大致类似.《微积分2》题量大，学生课外练习时选择余地大，可以较全面地巩固知识和提高能力.每个练习题均给出答案，可以起到及时反馈的作用，便于学生自学.《选修2-2》设置了探究题、思考题、实习作业等，既培养了学生动脑的能力，又培养了学生动手的能力.

（二）例习题的综合性程度比较

例习题的综合性分为四种类型：类型1—与微积分领域内其他知识的综合；类型2—与数学其他领域内知识的综合；类型3—与其他学科知识的综合；类型4—与具有实际生活背景的问题综合.

根据上述综合性的分类标准，《微积分2》的例习题中类型1有61个，类型2有239个，类型3有3个，类型4有8个.《选修2-2》的例习题中类型1有7个，类型2有18个，类型3有15个，类型4有1个.

由此可见，《微积分2》中的例习题主要体现了数学学科内知识的综合运用，专注于对知识的理解与掌握；《选修2-2》例习题虽然不多，但既注重了数学学科内各分支知识的联系，又突出了数学在其他学科上的综合应用.

五、结论与启发

（一）对两本教材优缺点的归纳

《微积分2》知识体系比较完整，定理及公式大都给出了严格证明，例习题典型且丰富，比较全面地覆盖了重要的知识点与方法技巧，确实能为进入大学学习高等数学的学生打下比较扎实的微积分基础.但因各类习题量设置过多，又加之每个习题都附有答案，致使教材厚且重，用起来不太方便.

《选修2-2》重在应用，贴近生活；在知识引入方式和表征方式上，方法灵活多样；例习题能串联起其他学科的知识，综合性强.但因缺少函数极限与不定积分内容，致使知识体系不完整.虽然学生初步学习了导数与定积分的基本思想与方法，但对进入大学学习高等数学帮助不大，因为他们还必须全面地重新学习极限、微分、不定积分及定积的知识.《选修2-2》对微积分定理及公式大多直接给出，缺少严谨性证明，可能会使学生在学习高等数学时，还产生一些负面影响.

（二）高中微积分教材究竟设置哪些内容

我国高中教材开设微积分课程是值得肯定的.但微积分教材究竟设置哪些内容，这是一直有争议的问题.当前美国、英国、日本、澳大利亚、新加坡等国的高中微积分教材，知识体系大都比较完整.我国1999年“人教社”出版的高级中学教材（试验本）数学第三册，相比较《选修2-2》多了函数的极限、函数的连续性、高阶导数、微分、定积分、不定积分运算法则、换元积分法、分部积分法等内容.笔者回顾讲授这本教材的情形，依然记得当时的教材与教学比较符合学生的认知特点，学生能够理解和掌握所学内容.因此，当前我们应该向香港的教材学习，适当地丰富微积分教学内容，相应地增加教学时间，让学生在进入大学前打下良好的微积分基础.

（三）要避免出现“一英里宽，一英寸深”的数学课程

“一英里宽，一英寸深”的数学课程，曾经对美国的数学教育产生了很大的负面影响.比较“人教版”1999年出版的教材和当前的教材，除微积分内容大幅删减外，复数、三角等内容也删减不少.就以三角而言，因为没有了半角公式、和差化积与积化和差公式及反三角函数等内容，《选修2-2》只能重点介绍多项式函数的微积分.学生进入大学后，因大学不补教三角函数中删除的内容，致使高中与大学课程衔接脱节，很多学生在学习与三角恒等变换、反三角函数相关的微积分知识时，感到困难.当前“人教A版”教材增加了选修3系列与选修4系列，共有13本教材，譬如《对称与群》《球面上的几何》《风险与决策》等.似乎教学内容比以前宽泛很多，但因高考不考，或因师资存在问题，这些教材大多形同虚设.我们希望不要出现“一英里宽，一英寸深”的课程体系，不然，负面影响将如影随形，遗害不浅.

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1.文炳辉，杨仲明，张兴仁.数学与生活单元2——代数与微积分［M］.香港：朗文教育出版社，2009年.

2.人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2［M］.北京：人民教育出版社，2007年.

3.方厚良.中学微积分核心概念与基本思想的理解与渗透［J］.中学数学（上），2013（7）.