谈平面向量基本定理应用的一种策略
——更换基底

2017-03-23 09:02:44湖南省永顺县第一中学石家文

☉湖南省永顺县第一中学石家文

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平面向量基本定理及其应用是平面向量这一章内容中最重要的一个知识点，它一直是全国及各省市高考的重点和热点，其中基底表示的唯一性应用又是一个高频考点.笔者在研究这一类问题时，对2009年安徽省第14题（文）提供的解法大为佩服，其原题及提供解法如下：

在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中λ，μ∈R，则λ+μ=________

图1

佩服之余：笔者心里觉得无论解法1或解法2，对数式变形、整体代换要求很高，一般学生未必能掌握，能否找出一种更一般的方法呢？笔者对解法1作进一步研究时发现：

以上两法，虽不及原来提供的方法简单，但笔者觉得它更具一般性，它实际上是把原来的基底换成新的基底，既浅显又易懂.下面笔者谈一谈“更换基底”的具体作法.

一、当直接用条件所给基底解决问题困难较大时，不妨更换适当新基底

例1如图2，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，M，N分别是CD，BC的中点，若则λ+μ=____.

图2

平面向量的有关计算中：坐标运算是同学比较易掌握，因此学生一般都喜欢坐标法，故我们时常将向量有关的问题转化成坐标运算的问题，其实它本质上就是更换基底，将问题中涉及的诸多向量转化成单位正交基底表示的向量（即坐标法表示）.

图3

这是2009年安徽卷中的理科试题，它与文14题实质是一对姊妹题，其考查的数学思想方法应该就是基底法的应用.该题表面给出基底为，若直接考虑基底则难度很大，因此，将其转化为单位正交基底（即坐标法）问题很快得解.

解：以O为原点，建立如图4所示的平面直角坐标系，设∠COA=θ，θ∈［0°，120°］，

图4

代入O

又θ∈［0°，120°］，（θ+30°）∈［30°，150°］，

故当θ+30°=90°，即θ=60°时，

（x+y）max=2.

例3在平面四边形ABCD中，AB=13，AC=10，AD=

（1）求cos∠BAD；

这是某市的一道竞赛试题，参考答案中第（2）问用了二次求数量积构造关于x，y的方程组的思想方法，其解法真叫人拍案叫绝，但笔者认为此法一般难以想到，而条件中给出的基底为它和前几题类似，在此仍以更换基底的策略解之.

解：（1）略.

图5

用向量法解决平面几何问题中的两线交点问题一般都是利用两个三点共线来对某一向量算二次，用基底表示的唯一性来布列方程组求解.不少学生对此类问题闻而生畏，望而却步.笔者认为这类问题把更换基底与平面向量三点共线定理联合使用，简直妙不可言.

例4已知O是△ABC边BC的中点，过O作直线分别交AB，AC于点M，N，若__________．

又O，M，N三点共线，

图6

例5如图7，平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？

图7

这是人教版教材必修4上的一道例题，其解法冗长、麻烦．我们学校一位教师对我说过，这道题是平面向量题中最难一道题，我花一节课的时间来讲这道题，同学们还未听懂．于是，我把我对这道题如下解法展示给他．

他看后，感叹：真的，太漂亮了！我马上把这解法介绍给我的学生．

更换基底是一种浅显、易懂、操作性强、运用广泛的方法，是对平面向量基本定理深刻理解和灵活应用，充分体现转化与化归的数学思想．