重温高考经典，感悟试题真谛——几道与向量有关的高考试题的解法赏析与感悟

☉湖北省武穴市实验高中 刘胜林

重温高考经典，感悟试题真谛
——几道与向量有关的高考试题的解法赏析与感悟

☉湖北省武穴市实验高中 刘胜林

向量作为高中数学的重要解题工具，它具有代数与几何双重特性，与其他知识能进行巧妙的融合，能有效地考查学生的数学能力和数学素养，具有较好的甄别功能．因此与向量有关的高考试题备受高考命题者的厚爱，常将其作为选择、填空试题中的压轴题把关出现，成为学生考试的一道“瓶颈”．该类试题大多数情况下以凸显向量的几何特征来呈现命制，少许时候也以凸显向量的代数特性命题．对此若能认真审题、揣摩题意，有效洞察向量代数与几何之间的联系，揭示向量的几何意义，则可从“形”这个角度，数形结合转化求解；或根据向量式所呈现出的几何特性，通过建立恰当的平面直角坐标系，建立几何代数相互转化的桥梁与纽带，将相关的几何元素（式）坐标、代数化，最终通过纯粹的代数运算来求解或将上述两者结合在一起交叉使用，这样不仅可快速地找准问题的着眼点，形成解题思路，还可优化解题过程，提高解题效率．下面通过对几道历届高考向量试题的解法赏析，一起重温高考经典，共同感悟试题真谛．

分析：本题题目精巧、题设条件简约、入口平实，解法宽泛．若从几何、代数两不同角度去思考探析，则可得到不一样的精彩．

图1

图2

例2（2014年安徽卷）在平面直角坐标系中，已知向量a，b，|a|=|b|=1，|a|·|b|=0．点Q满足（a+b），曲线区域Ω=｛P|0＜r≤若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）．

A．1＜r＜R＜3B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3D．1＜r＜3＜R

图3

解析：相比于例1，本题题设条件略显复杂，但其几何、代数特征明显，入口清晰．注意到|a|=|b|= 1，|a|·|b|=0．不妨作O为原点建立如图3所示的直角坐标系，则有a=（1，0），b=（0，1），从而=cosθ+bsinθ=（cosθ，sinθ），于是曲线C=｛P|O →P=（cosθ，sinθ），0≤θ＜2π｝．又cos2θ+sin2θ=1，所以点P在以O为原点的单位圆上，即曲线C是以O为原点的单位圆．又Ω=｛P|0＜r≤|P →Q|≤R，r＜R｝，从而由其几何意义知，集合Ω是以为圆心，半径分别为r，R的两圆所构成的圆环，因此要使C∩Ω为两段分离的曲线，由图形的直观性、数形结合知，|QD|＜r＜R＜|QE|，即1＜r＜R＜3，故选A．

点评：通过建立恰当的直角坐标系来搭建几何与代数间的桥梁，进而实现代数与几何间的合理转化，可使复杂的问题环境变得更加简洁、明朗，问题本质凸显，问题求解更加自然流畅一气呵成，体现了该类问题求解的通性通法．

A．13B．15C．19D．21

图4

考虑到△ABC是直角三角形，其几何特征十分明显，不妨利用题设条件的几何意义数形结合分析求解．

图5

点评：本题是一道几何、代数特征较为突出的向量试题，法一通过建立恰当的直角坐标系，将题设条件坐标、代数化，继而将目标问题转化为函数的最值这一熟知的代数问题上来，最后运用基本不等式轻松获解，该做法简便易行体现了坐标法在该类问题求解中的优越性；法二从形这个角度，利用向量式（如模、向量加减法、内积等）的几何意义及平面基本定理数形结合求解，凸显了向量试题的几何本质，是该类问题的一种常见求解方式.

解析：本题是一道与向量模的最值有关的试题，题设的向量式的几何特征隐蔽性较强，问题入口隐藏较深，深入探究可以发现：由，得D为△ABC的外心；由可知，D为△ABC的垂心，从而△ABC为等边三角形，D是△ABC的中心.又由知，P在以A为圆心，半径为1的圆上，如图6所示-2，D是等边三角形△ABC的中心，从而又由等边三角形的性质知，|DA|=，所以M为PC的中点.取AC的中点E，连接EM，

图6

在△BEM中，有|BM|≤|BE|+|EM|（当且仅当E在线段BM上时，取“=”）.又|BE|=|AC|=3，从而|BM|max=，故选B.

基于△ABC是等边三角形，D为△ABC的中心，不妨以D为原点建立如图7所示的直角坐标系分析求解.

图7

解法二：由上述分析可知，|DA|=|DB|=|DC|=2，从而A（0，-2），1，所以P在以A为圆心，半径为1的圆上，故P的轨迹方程为x2+（y+2）2=1.设M（x，y），P（a，b），则由又P在x2+（y+2）2=1上，从而圆上.在圆E外，所以所以，故选B.

点评：深入挖掘题设向量式的几何意义，进而揭示△ABC的几何特点，是问题求解的关键，也是难点.解法一在△ABC为等边三角形的条件下充分利用平面几何图形（如圆、三角形中位线、三角形三边关系）的几何性质，将问题转化到三角形三边间的关系上来分析求解，体现了问题求解的通性通法；解法二充分利用等边三角形的几何特性来建立恰当的直角坐标系将问题坐标、代数化求解，思路清晰、目标明确，易于操作，有效地降低了问题求解的思维含量.

综观上述高考试题，结合教学实际谈如下几点感悟，以期对高考复习备考工作带来一些启发与帮助.

1.加强高考试题研究，从变化的试题中去挖掘其不变的规律，从不变的问题本质中去展望试题的变化趋势.高考数学试题是数学专家团队与广大一线优秀教师经过深思熟虑、精雕细琢而成的，是集体智慧的结晶.高考试题底蕴深厚、内涵丰富，可谓是“年年新气象，届届有新意”，其试题背后蕴藏着巨大的宝藏，其研究价值与教学价值不言而喻.因此作为广大一线教师我们应把高考试题作为教本材料来认真研读，让高考试题研究成为我们日常教育教学工作不可分割的一部分，通过对高考试题的归类探析，一题多解、多题一解，试题寻根、背景追溯、试题的变式、结论的推广与延伸等方式，从变化的试题中去挖掘其不变的本质，从不变的问题本质中展望试题的变化趋势.如上述几道与向量有关的历届高考试题，通过对该类试题的归类探析可以发现平面向量常与不等式、函数、方程等为伴，以圆、特殊三角形、平行四边形等为载体考查向量模、数量积或线段长度的最值问题.该类试题常具有几何与代数两大特性，因此通过建立恰当直角坐标系代数求解或充分利用题设条件与结论的几何意义，数形结合探析就成为该类试题求解的两大常见处理策略.特别是圆等特殊平面几何图形在向量中的嵌入，使得试题更加精巧、新颖，问题求解更灵活，能力立意考查更鲜明，大大提升试题的四度（难度、信度、效度、区分度），从而真正起到压轴把关的作用，因此在以能力立意为宗旨的高考指挥棒下，该类试题势必会成为高考向量试题考查的热点题型，而备受命题者的青睐.

2.注重对课本的基础知识、基本方法、技能的学习，熟练掌握一些平面几何图形的几何性质及常见代数式的几何意义.高考试题不仅在一定程度上浓缩了课本主要的基础知识和基本技能，而且蕴藏着丰富的数学思想和思维方法.特别是一些以能力立意的压轴试题，往往考查多个基础知识，多种基本技能与数学思想方法.因此在日常教学中，应重视对课本的基础知识、基本方法与技能的学习，把它弄透弄熟，绝不能因为师生在思想上的轻视麻痹而导致学生基本概念不清，基本方法与技能不熟，否则就会因小失大.如上述几道高考试题中主要考查到向量的基本运算、平面向量基本定理、平面向量的线性表示、圆的定义、三角形三边关系等基础知识，考查了基本不等式的应用、相关点法在多动点问题中的轨迹探究、坐标法及数形结合在向量中的应用、利用三角形三边关系求线段长度的最值等基本技能方法，如果对上述的一些基础知识基本方法与技能掌握不牢，问题的求解就会陷入僵局，不能自拔.与此同时，在一些试题中，还应熟练掌握一些平面几何图形的几何性质（如圆、等边三角形、直角梯形等）及一些代数式的几何意义.如上述试题中考查到圆的中点弦的性质、模的几何意义、等边三角形的几何性质（如外心、重心的向量式等），只有理解并熟练掌握一些平面几何图形的基本性质、一些代数式（向量式）的几何意义，才能在问题的求解中切中问题要害，找准问题的着眼点，继而打开思维入口，形成解题思路.

3.强化数形结合意识，同时注意数形结合的科学性与合理性，切勿盲目使用.对于某些问题如单纯地从数的角度去分析探求可能会运算烦琐，甚至欲罢不能.因此可从形的角度去揭示问题的几何本质，进而构造直观的图形来刻画问题的条件和结论，这种处理问题的方式简称数形结合.数形结合是高中数学中的一种极为重要的思想方法之一，它充分应用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的直观描述、代数的推理证明来解决问题的一种重要思想方法.该思想方法是培养学生能力、提升学生思维品质的一大有利武器，它能使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.如上述2016年四川卷第10题，通过探究题设向量式的几何意义，揭示其几何本质，继而使得△ABC的几何特性跃然纸上，尔后通过合理构造直观图形，用形来刻画问题中的条件与结论，问题的求解就会呼之欲出.当然在利用数形结合法解决数学问题时要注意其科学性与合理性，不能为了数形结合而数形结合，这需要我们注意以下几点：（1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义及曲线的代数特征；（2）要注意等价性，即要注意由图形不能精确刻画函数关系而带来的负面效应；（3）要注意双向性，由数思形、以形启数，既要对问题进行直观的几何分析，又要对其作相应的代数抽象探究，否则，仅对代数问题进行几何分析容易失真.

1．吕丹.《高考中数形结合思想教学的构建与思考》.中学数学（上），2012（11）.

2．刘胜林.《例谈2013年高考试题对数形结合思想的考查》.中小学数学（高中版），2013（7-8）.