老生常谈——“用教材教”的再思考——基于《导数小结复习课》的尝试

☉江苏省苏州中学 王思俭

老生常谈
——“用教材教”的再思考——基于《导数小结复习课》的尝试

☉江苏省苏州中学 王思俭

一、问题的提出

教材中的《本章回顾》是梳理本章的基础知识之间的逻辑关系、揭示本章所蕴含的基本数学思想方法的重要一节，系统梳理，使学生对概念、性质、定理有进一步的理解和领悟，使学生的学习能力得到螺旋式上升，这正是提升学生数学思维能力的最佳时机．但目前的情况不容乐观，在2016年笔者先后听了60多位高一高二老师的课，只有两位老师带课本，每个班级只有个别学生拿出课本，没有一节课布置课本上的作业，只有一位老师让学生回去看课本的推导过程．日常教学中，教师忙于选各地的高考题、模拟题编写专题或导学案，而学生苦于做大量高难度的密卷等，这种教学模式就如同高三的第二轮的专题复习．这种灌输式的教学模式，学生只是被动接受，没有吸收和内化的过程，没有思考的空间，学生仅仅停留在机械模仿的层次，学生的创造性的灵感被扼杀．为此，笔者应邀于2016年11月22日在无锡市锡东高级中学高二年级开设一节公开课，内容为《导数的综合应用》（选修2-1第2章小结复习课）（苏教版），旨在呼吁教师和学生要立足课本、理解课本、用好课本．

二、课堂实录

教师：同学们，今天我们在哪里上课？

众生：蒙古包的阶梯教室．

教师：请你们观察教室的建筑结构特征是什么形状？

众生：它是由棱柱和锥体组成的几何体．

教师：正确！如果给定某一条件，能否求出这个教室的体积最大值？怎么求？

众生：不就是我们讲义上的例1吗！建立目标函数，利用导数求解．

教师：很好！为了更好地利用导数研究数学领域中相关问题，并能解决生活中实际问题，我们要对学过的导数内容进行梳理．现在先看基础练习上．

第1题：

众生：不能写成并集，应该分开写，即（-∞，0），（0，+∞）．

教师：正确！本题是利用导数研究函数单调性，求函数的单调区间时，同一类单调性区间不能写成并集．现在看第2题；

曲线y=x-2cosx在x=0处的切线方程为_________．（教材第26页习题1．2第5题改编）

生2：因为y′=1+2sinx，因此斜率为k=1，切点为（0，-2），所以切线方程为y=x-2．

教师：很好！注意区分在该点处的切线与过这点的切线．再看第3题：

教师：正确！本题复习利用导数求函数的极值、最值等，同学的口述解题过程较详细、严谨、规范．同时也指出求极值和最值的步骤．现在看第4题：

教师：正确！本题复习用导数求最值问题，但结论是极值点，注意极值点是数，而不是坐标平面上有序数对所对应的点，此“点”非“点”．现在我们来解决上课时提出的问题：

例1如图1，某零件是由一个圆柱和一个圆锥（等底）组成，其中圆柱的高是圆锥的高的2倍，且圆锥的母线长为设圆锥的高为h．

（1）求该零件的体积V=f（h）的函数解析式；

（2）当h为何值时，该零件的体积V有最大值，并求出最大值．

（教材第35页例2改编）

教师：请同学们读题，分析题目已知什么？要求什么？需要哪些准备知识？解决问题的工具有哪些？

生5：利用勾股定理，将圆锥底面半径用h表示，从而圆柱的半径和高都可以用h表示．由圆锥和圆柱的体积公式得f（h）得函数解析式，同时要找出h的限制条件（即函数的定义域），接下来利用导数求出函数的最大值．

教师：分析较好！哪位同学到黑板上写出解题过程？

生6：设圆柱（圆锥）的底面半径为r，于是有r2=300-h2．

图1

教师：现在请同学们阅卷，看看他的解题过程是否符合规范？结论是否正确？

生7：没有列表讨论函数的单调性，最后没有写答案．应该补上：

当0＜h＜10时，f′（h）＞0，f（h）单调递增；当10＜h＜单调递减．

答：当圆锥的高为10cm时，该零件的体积最大，其最大值为

教师：正确！生6答题过程中存在问题就是会而不对、对而不全．利用导数求极值和最值时，求导后，再列表讨论，再确定在何处取得极值或最值．解题一定要规范．而本题是实际应用问题，解决这类问题的步骤是：读懂题意—建立数学模型—求解模型—检验结果—回到实际问题．

例2已知函数f（x）=x3+ax+1在区间（-1，1）上单调递减，求实数a的取值范围．（教材第59页第12题改编）

生8：由于f（x）在（-1，1）上单调递减，利用f′（x）≤0建立不等式，利用分离变量求出a的取值范围．因为f′（x）=3x2+a，由题意得f′（x）≤0，即3x2+a≤0对任意x∈（-1，1）恒成立，也就是对所有x∈（-1，1）都有a≤-3x2成立，因此a≤-3．

教师：正确！本题是已知单调性求参数的取值范围，注意导函数为零时的情况．请看变式题：已知函数f（x）= x3+ax+c（a，c为常数）的单调递减区间为（-1，1）．

（1）求实数a的取值集合；（2）若函数y=f（x）有三个零点，求实数c的取值范围．教师：这题与原题一样吗？你们怎样理解题意？生9：这两个问题不一样，已知单调递减区间为（-1，1），实质是函数的最大减区间，也就是f′（-1）=0和f′（1）= 0，从而求出a=-3．所以a的取值集合为｛-3｝．

教师：“函数y=f（x）有三个零点”是什么意思？生10：函数有三个零点就是方程x3-3x+c=0有三个解．教师：正确！将零点问题等价转化为方程的解问题，怎样求解？

生10：利用求根公式求解．

众生：没有学过三次方程的求根公式．应该利用导数研究函数图像，讨论函数零点个数．

生11：由上题知，f（x）=x3-3x+c，f′（x）=3x2-3=3（x+1）·（x-1）．令f′（x）=0，得x1=-1，x2=1．

当x变化时，f（x），f′（x）的变化情况如下表：

因此，当x=-1时，f（x）有极大值f（-1）=c+2；当x=1时，f（x）有极小值f（1）=c-2．

又因为f（x）有三个零点，所以f（-1）＞0且f（1）＜0，解之，得-2＜c＜2．

教师：很好！分析和求解过程都很好！

生12：利用图像继续研究，函数f（x）有两个零点或一个零点时，求c的取值范围．若f（x）有两个零点，所以f（-1）=0或f（1）=0，解之，得c=-2或c=2．若f（x）有一个零点，所以f（-1）＜0或f（1）＞0，解之，得c＜-2或c＞2．

教师：你能提出问题很好！本题就是利用导数与数形结合思想研究函数的零点．现在看下面的例题：

例3已知函数f（x）=ex-ax（a为常数）．

（1）若x=0是f（x）极小值点，求a的值；

（2）若a＞0，函数y=f（x）存在唯一零点，求正实数a的值．（教材第34页习题1．3第4题第（2）小题改编）

生13：解：（1）f′（x）=ex-a，由题意得f′（0）=0，因此a= 1．

众生：检验a=1是否合适，才能最后确定．

教师：为什么？

生14：因为当f′（x0）=0时，x0未必是极值点，如f（x）= x3，虽然有f′（0）=0，但x=0不是其极值点．

教师：反例恰当！因此你们解题时，一定要规范、细致．再看第（2）小题：

生15：问题等价转化为直线y=ax与曲线y=ex相切，即过原点作y=ex的切线．设切点T（x0，ex0），f′（x）=ex，因此在点T处的切线方程为y-ex0 =ex0（x-x0）．又因为切线过原点，因此有-ex0=ex0（0-x0），即x0=1，所以a=e．教师：正确！他利用等价转化思想和待定系数法求解．同学们思考一下还有其他解法吗？

生16：问题转化为y=f（x）的最小值为0时的x值即为零点．当a＞0时，f′（x）=0，得ex=a，即x0=lna．

当x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞lna时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以在x=lna处f（x）有极小值，也是最小值，即fmin（x）=elna-alna=a-alna．因为函数y=f（x）存在唯一零点，因此fmin（x）=0，即a-alna=0，解之，得a=e．

教师：很好！本题求解过程中，体现了等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法．生16的解法如同例2的拓展问题，这一解法更具有一般性．若此题改为不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．怎么求解？这就是今天的课外思考题．再看变式题：已知函数f（x）=ex-ax，已知正数a满足：存在x0∈［1，+∞）使f（x0）≤0．

（1）求a的取值范围；

（2）试比较ea与ae的大小，并证明你的结论．

生17：（1）因为存在x0∈［1，+∞），使f（x）≤0，等价于存在x0∈［1，+∞）使，而，因此h（x）在单调递增，所以h（x）≥h（1）=e．故a≥e．

生18：也可以整体把握，问题等价转化为fmin（x）≤0，即a-alna≤0．又a＞0，因此1-lna≥0，解之，得a≥e．

教师：很好！前者是用分离变量法求解，后者是用整体思想求解．那么怎样比较ea与ae的大小呢？

生19：直觉猜想ea≥ae，当且仅当a=e时，等号成立．

教师：你证明了吗？

生19：构造函数G（a）=ea-ae，求导G′（a）=ea-eae-1，下面就不会做了．

教师：这样更复杂，变量a不在同一个水平线上，可以通过怎样变换，使其变换后处于同一水平线上？

生20：对ea与ae取对数，得alne与elna，于是只要比较a与elna的大小．

所以当a=e时，ea=ae；当a＞e时，ea＞ae．

教师：很好！比较法是比较两个数的大小常用的方法，有的直接作差比较、有的先变换再作差（如要比较的式子是根式型的可平方、指数型的可取对数等）．其实本题是2014年高考江苏第19题第（3）小题的变式．

今天我们复习导数的相关知识和利用导数研究函数的性质（单调性、零点），利用导数解决实际问题．这节课我们复习了相关的数学思想方法，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、整体思想，分离变量法、构造法等．学会用数学眼光看待事件，学会用数学思维分析事件，学会用数学符号表述事件．这节课就上到这里，下课．

三、教学反思

1．用教材教

目前不少教师蔑视教材，这其中最被冷落的是教材中的例题、习题了，取而代之就是各类复习资料，“聚焦小题”“小题狂做”“名师导学”“一课一练”之类的资料都是东拼西凑，结果神题做不来，教材中的习题又不做，造成知识断链，甚至破网，形成千疮百孔．事实上，教材中最好的、也是最值得珍惜的就是例题和习题．对于章节小结的复习课，教学中通过简单问题的研究，促使学生回忆教材中的概念、性质、定理，而不是简单地再次讲解教材中的概念、性质、法则等基础知识，既不是回放前几周的教学片断，也不是枯燥的概念罗列．如四道小题涉及的内容覆盖本章所有的知识点，涵盖了用导数研究函数性质常用的数学思想方法，这些小题都是源于教材，对教材中的题目进行改编，达到引导学生回归教材的目的.回归教材，就是回忆、唤醒以前学习的重点概念和基本问题，由此增强学生对概念、性质、定理等基本内容的认识，进而增强学生发现问题本质的能力.如基础题的第3题求函数值域，既复习并梳理利用导数求函数的最大值与最小值的基本方法和步骤，又引导学生理解教材，关注教材，课本中的原题是求函数闭区间［1，4］上的值域，此题既可以用导数求解，也可以用配方法求解.在教学过程中教师首先让学生讲解解题思路和策略，就引导学生对求极值、最值的步骤，从而达到复习巩固的目的.用教材教的教学，有益于学生在问题研究中展开质量的联想.如例2的变式中讨论三个零点时的情况，学生自然会联想到有没有两个零点、一个零点的问题呢？

2.用思维教

老师们对“用教材教，而不是教教材”颇有微词，前文说到不少老师为了赶进度，把教材放到一边，只是介绍教材中的数学概念，补充大量的高考真题、模拟题，而教材中的例题不用、练习不练、习题不做，课本也不用打开，学生如同进入茶馆、听书.教师无暇潜心研究教材的内容、深刻领会教材的编写意图、认真落实教材所蕴含的数学思想与方法、积极传播教材所呈现的数学理念，而是疲于奔命地进行大量的机械重复训练，但遇到情景新颖的陌生问题，还是束手无策，这样的教学能有效果吗？离开“基础”的教学设计，离开“基础”的教学活动，思维能力的培养必然是脆弱的.强化难题的教学，必然导致学生的思维受阻.因此，引发我们思考应该选编怎样的例题、习题才能切实提高教学效益？这就要求教师具有较高的驾驭教材和改编试题的能力，也就要求教师必须用数学的思维去编拟具有一定思维量的题目进行精心分析讲解，必须用数学的思维去分析学生.本节课所有例题、习题都是教材中的习题的改编，从课本中来，到高考中去，三道例题的落脚点都是高考题的类题.

发展学生的思维能力，首先要拓展教师的思维空间，教师不能仅仅沉浸在一些高考真题中，要将教材中的例题、习题与高考题对比研究，怎样改编才能使其走向高考题？体现高考题中的哪几个方面思维能力？学生的思维能力能否得到有效发展、思维的灵活性和广阔性能否得到有效培养、学生的思维空间能否得到有效拓展.其次教师必须要选择恰当的教法，例如教师必须正确运用“师生对话”，使教学能真实地充分暴露师生的思维过程.在此基础上师生进行深刻思辨，运用批判性思维进行的方法研究才是拓展学生的思维空间的“真教学”.如例3（2）函数有唯一零点，学生给出的方法是切线法，将问题等价转化为直线y=ax与函数y=ex相切问题；而另外一位同学又给出函数f（x）=ex-ax的最小值为0时的x的值就是零点.又如例2的三次函数的零点，学生回答用求根公式解决，这时教师因势利导，使学生明白三次方程目前还没有学过求根公式，等等.没有交流的课堂是没有思维的教学.因此，在日常教学中提倡学生大胆质疑，相互交流，提升思维能力.

3.用问题教

课程标准要求要“提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展独立获取知识的能力”.教学过程中这么多学生参与交流，这种情境下有那么多新问题提出，又有了新的思考和解决，使学生充分地理解了概念，激发他们对章节小结复习课的兴趣，不再认为这类课是枯燥无味的、做做练习的，而是重新认识问题、再次发现问题、重新解决问题的课.培养学生用数学眼光、数学思维、数学符号思考问题、研究方法、表述对象.如本节课的开场白，教者在完全不知上课地点的情况下，利用教室形状与例1中的几何体的体积最大值问题引出课题，不仅引导学生观察生活、发现问题、寻找解决问题策略，而且活跃课堂气氛，让学生带着问题听课.再如例3的变题及课外思考题，例2的变题由“在（-1，1）上单调递减”变化为“单调减区间为（-1，1）”，表面上看是问题的细小变化，但在这些细小变化中，引导学生发现解题过程发生变化的原因，引导学生发现问题的本质是否有变化以及没有变化的原因，同时，还要引导学生对问题的深度观察.本节课的题目无论是基础训练题还是例题都是教材中的基础题改编的，体现“问题变化”在教学中的重要作用，使学生学会自主探究，忽视“基础”的教学必然是大题量的教学，必然导致学生的发现问题受到阻碍，学生的解决问题逐步“退化”，最终使学生的数学思维钝化.

1.张乃贵.春来江水绿如蓝似曾相识燕归来［J］.中学数学（上），2016（8）.

2.祁建新.“基本不等式的应用研究”的教学设计与反思［J］.中学数学月刊，2016（8）.

3.王思俭.数学思维与方法［M］.江苏：南京师范大学出版社，2015.

4.张晓斌，余彪.高中文理科学生数学学习差异研究［J］.中学数学（上），2016（9）.

5.单墫.普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-1）［M］.江苏：江苏教育出版社，2013.