初探“两个原理”的互动式教学

☉江苏省启东市吕四中学 李凯

初探“两个原理”的互动式教学

☉江苏省启东市吕四中学 李凯

互动式教学源自美国建构主义教学，是其发展的一个分支．美国教育家杜威及其学生在建构主义教学实施过程中，发现要让学生完全通过自身研究发现知识的效率较为低下，因此在研究过程中渐渐引入教师帮衬下的互动成为建构主义教学的一个新方向，随着其他学者的后续进一步研究，“互动”方式渐渐独立成为教学的一种独立方式．笔者以互动式教学为主要手段，研究教学案例“两个原理”在教师引导下的互动式教学，体会学生在教学过程中从获得知识——尝试探究——思考过程——感悟学习的步骤．

一、“师生互动”归纳原理

通过“师生互动”从实际问题中抽象出数学概念，能很好地让学生体验概念抽象的过程．

师：这次国庆假期我想和家人去南京游玩．如果从杭州出发，到南京，采用了下列的出行方式，大家帮忙看看我有多少种走法．

引例1：假如我从杭州到南京，可以坐直达动车或直达快客，动车每天有3个班次，快客每天有2个班次，请问我共有多少种不同的走法？

生：5种.（追问：5种怎么得的？你为什么要采用加法运算？）

师：能不能从问题的本质去分析呢？

师生共同对问题剖析如下：

师：例子中“我”要完成一件什么事情？

生：从杭州到南京．

师：怎么去做这件事情？

生：坐动车或坐快客．

师：“或”什么意思？做火车能不能到？坐快客能不能到？

生：两种方式二选一，那表示动车、快客是两类方案.

师：那动车1，动车2，动车3又表示什么意思呢？

生：在动车这类方案中又有3种不同的方法．

师：怎样才算完成？

生：人到达南京．

师：这里有两个关键点：或——类，直达——直接完成．

师：同学们还能其他举例说明吗？（同桌之间互相合作）．

生：买汽车，国内的牌子有5种，国外地牌子有6种，从中选择一个牌子，共有5+6=11种不同的买法．

师：为什么这两个问题都采用加法运算？两者有什么共同特征？

生：能独立完成一件事的方法之间都是加法归类．

师：不错！请同学们用数学语言，试一试将其一般化.

分类加法计数原理：完成一件事有两类不同的方式，其中第一类中有m种方法，第二类中有n种方法，则完成这一件事一共有m+n种方法．

师：这个原理告诉我们：分类计数时应采用加法运算，那什么是分类？其本质是什么？

生：就是每一类中的每一种方法都能把事情直接完成．

评价：通过“师生互动”并让学生独立思考，教师适当引导学生分析、归纳概括得出结论，体现出特殊到一般的数学思想．

变式：若每天从杭州到南京，有下列选择：有3个动车班次、2个快客班次和7个高铁班次，请问当天有多少种方式可以从杭州到南京？（N=3+2+7=12种）

师：这个问题说明了什么？

生：分类加法计数原理可以推广到有3类的情况．

师：完成一件事有类方式，其中每一类又有若干种方法，则完成一件事有多少种方法？

一般归纳：若这n类方式中，每一种方式分别有m1，m2，…，mn种方法，依据上述类似可知，一共有m1+m2+…+ mn种方法．

评价：“师生互动”共同分析，得出分类加法计数原理的推广，让学生经历感性认识上升到理性认识的过程．

二、“学生讨论”类比学习

对于比较复杂的问题，教师抛出问题后，让“学生讨论”能够集中学生的思维亮点，使问题得以解决，也能提高课堂效率．

师：我到了南京游玩后，就要返回了．如果我返回时采用下列方式，我又有多少种走法？

引例2：从南京回来途中需要在上海迪士尼停留1天，次日再回到杭州．现南京到上海选择直达汽车（8种选择），上海到杭州选择高铁（28种选择），请问从南京回到杭州有多少种选择？

这个问题请学生合作探究：类比刚才探究分类加法计数原理的过程，对问题进行剖析，从中能够得出什么结论．教师进行适当点拨．

根据学生回答可以引出树形图：

师：为什么这里不用加法而用乘法？

生：对应于第一天的每一种走法，第二天都还有28种不同的高铁班次供选择．

问题剖析：（1）要完成的事：南京→上海→杭州；（2）怎么去做：汽车且高铁；（3）完成标准：人到达杭州；（4）关键词：且——步，中转——分步完成．

师：现在能否来总结这类问题的一般解决规律呢？并给它取个名称．

分步乘法计数原理：完成一件事情需要分2个步骤，在第1步中有m种不同的方法，在第2步中有n种不同的方法．．那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法．

一般归纳，完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．

评价：采用类比研究，引导“学生讨论”分析、探究、发现分步乘法计数原理．培养学生分析问题、自主探究、模仿和语言表达能力．让学生体会分类加法计数原理和分步乘法计数原理的异同，理解两者的本质，学会在遇到具体问题时如何根据问题的特征选择对应的计数原理．

三、“学生阐述”应用原理

两个原理的使用依据，关键在于能否合理判断问题的基本特征，最大的区别在于每种方式方法是否可以独立地完成一件事．因此本节课的教学难点确定为：对原理中关键词“完成一件事”的理解；根据问题的特征正确地区分“分类”或“分步”．通过“学生阐述”的环节能够有效地反馈学生对以上教学目标的达成程度和难点的突破情况．

应用：杭州某区原来旧汽车牌照使用方式为：浙A· D××××（0～9中任取一个），现随着汽车保有量增加而使用新的自选牌照方式：浙A·×××××（前4位是0～9中任取一个，最后一位是除I和O外的大写英文字母），比较原来车牌数量和新的车牌数量？

生：给车牌选数字和字母，可以分成五个步骤完成：第1步，从0～9中取1个数字填入第一个空格，有10种方法；第2步，从0～9中取1个数字填入第二个空格，有10种方法；第3步，从0～9中取1个数字填入第三个空格，有10种方法；第4步，从0～9中取1个数字填入第四个空格，有10种方法；第5步，从除I和O外的大写英文字母中取1个填入第五个空格，有24种方法．根据分步计数原理，不同取法的种数是：N=10×10×10×10×24=240 000．老牌照：N= 10×10×10×10=10 000，自选牌照比老牌照多出230 000个．

评价：通过学生对问题解决过程的“阐述”了解学生掌握两个计数原理的情况．教师能有效地对本节课目标的达成情况做出判断．

本节新知注重“互动”，启迪思维，充分体现新课程理念．对于两个计数原理的学习，不仅仅在于善于发现规律本身，更是需要通过对知识学习的过程掌握发现知识的一般步骤、一般途径，这才是学习更为宝贵的积累．学会探究，提升思维的品质．因此采取学生熟悉的实例“互动生活”，经过“师生互动”抽象概括出分类加法计数原理；再通过“学生讨论”类比研究，合作交流，总结得出分步乘法计数原理，再通过“学生阐述”反馈原理的掌握情况．教师善于启发，善用追问，善于倾听，体现“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的启发式教学的本质内涵．

以“互动”推进章节新知的开展，让学生经历完整的数学概念形成和研究过程，感受数学思想方法的过程．“互动”引领的课堂教学中教师更注重精心设计学生活动，根据学生的认知规律安排教学活动，注意根据概念教学的基本规律安排教学进程．采取“互动”引导学习的方式，让学生带着问题开展探索活动，将转变学生学习方式落到实处．注重学生参与，教师力求精讲多问，将学生推向前台，让学生表达、板演、总结，教学过程中学生主体意识进一步加强．

1．曹才翰，章建跃．中学数学教学概论［M］．北京师范大学出版社，2008（4）．

2．章建跃，陶维林．注重学生思维参与和感悟的函数概念教学［J］．数学通报，2009（8）．

3．章建跃，陶维林．概念教学必须体现概念的形成过程［J］．数学通报，2010（1）．