数学解题教学需要寻根探源——由一道竞赛题说起

☉广东省开平市开侨中学 陈 晨

数学解题教学需要寻根探源
——由一道竞赛题说起

☉广东省开平市开侨中学 陈 晨

一、背景

数学解题教学的高效和有效是教师教学最核心的教学内容.在新课程理念引入到教学之后，我们常常看到各种层出不穷的全新教学方式方法，有很多教学模式围绕学生进行了设计和尝试，是非常值得我们学习和探索的，比如以积极建构为主的数学新知类教学模式、以马登变式理论构建的变式教学复习模式、以APOS理论进行的知识探索类教学模式等，都是有较大的借鉴意义.随着新课程理念的不断深入，在高三复习解题教学中，我们对新课程如何更好更妙的实施教学高效性和有效性，在认识方面并不足够.笔者常常出去观摩高三解题教学公开课，发现相当一部分教师仍旧以传统教学中效率低下的大训练模式在进行复习教学，例如，随意从教辅资料中找四个毫不相关的问题，最后是给出四个训练问题.试问：这样的教学模式从量来说的确不少，但是不相干的知识解答和无联系的知识运用，乃至非常紧张的课堂只会给学生匆匆的感觉，这样的方式比较低下.

因此，笔者认为解题教学的模式需要改一改才能适应新课程理念.因此，以题根为本的根本教学法成为解题教学高效和有效的根源.“根本”教学法就是以数学题根和学生为根本，开展数学教学，把时间还给学生，引导帮助学生去探究，为学生未来发展奠定基础的一种教学方法.笔者以这一模式设计了一堂高三复习课，从教学设计的技术层面上看，突破了“复习知识、综合应用”的常规模式，依托一道高考题，通过“寻根之旅——题由根生——并蒂连理——开枝散叶——枝繁叶茂——追根溯源”在探究与思考中提出问题，在合作与交流中解决问题.其课堂的形式是开放的，学生的思维可以自由驰骋，合作交流可以非常热烈，在交流中师生可以不分彼此，是相互平等的.同时，师生的各自任务又非常明确：教师是课堂的组织者、引导者、合作者和促进者，而学生是问题提出者、又是解决者.在这样的课堂里，学生收获的不单纯是数学知识，更重要的是丰富了经验、增长了智慧.笔者通过研究第26届“希望杯”高一年级1试第19题，发现该题与课本中的一道习题如出一辙，于是从根本上对此题作了较为深入的探究.

二、题目

试题在平面直角坐标系中，过点P（m，n）（m≠0，n≠0）的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积是定值M，则这样的直线可能有______条.

该题由苏教版必修2第二章复习题5改编得到，原题如下：

原题已知直线l经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形的面积为5个平方单位，求直线l的方程.

分析由直线l经过定点且与两坐标轴围成的三角形的面积为一常数，很自然会想到直线方程的截距式

2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.

变式1直线l经过点P（5，4）且与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.

分析：该题是将原题的条件强化，仍然求截得的三角形面积，可以仿照上题设截距式方程，由题意知，斜率一定存在且为负，故也可以设点斜式方程.

解法2设直线l的方程为y-4=k（x-5）（k＜0），△AOB的面积为S，所以直线与x轴正半轴的交点为A直线与y轴正半轴的交点为B（0，4-5k）.

两种解法虽然设的方程的形式不一样，但是在求最值时都用到了基本不等式，可谓殊途同归.

变式2直线l经过点P（m，n）（m＞0，n＞0）与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.

分析：该题是将原题面积特别化，同时将定点一般化，但问题的本质一致.

不难验证，过点P（m，n）（m≠0，n≠0）的直线l在点P所在象限内与两坐标轴围成的三角形面积的最小值和此时的直线方程有类似结果，于是就有如下结论.

结论1已知不在坐标轴上的任一点P（m，n），（mn≠0），则直线l过点P，且在点P所在象限内与两坐标轴围成的三角形面积最小值为Smin=2|mn|，此时直线l的方程为nx+my-2mn=0.

下面来看第26届“希望杯”高一年级1试第19题：

解：设直线l的方程为y-n=k（x-m），与x轴和y轴分别交于A，B两点，△AOB的面积为M，不妨设m＞0，n＞0.

由结论1知，直线l与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为Smin=2mn.

（1）当M＜2mn时，不存在与x轴正半轴和y轴正半轴都相交且与围成的三角形的面积是定值M的直线，从而k＞0.所以-（n-km）=M，即m2k2-2（mn+M）k+ n2=0，

Δ=4（mn+M）2-4m2n2=4M（M+2mn）＞0，此时k有两解，即符合条件的直线有两条，分别与x轴正半轴和y轴负半轴相交或与x轴负半轴和y轴正半轴相交.

（2）当M=2mn时，除了（1）中的两条，由结论1知，nx+ my-2mn=0符合题意，此时符合条件的直线有3条.

（3）当M＞2mn时，直线与x轴正半轴和y轴正半轴都相交，即k＜0，

Δ=4（M-mn）2-4m2n2=4M（M-2mn）＞0，此时k有两解，即直线与x轴正半轴和y轴正半轴都相交的直线有两条，结合（1），此时符合条件的直线有4条.

结论2在平面直角坐标系中，过点P（m，n）（m≠0，n≠0）的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积是定值M，则当M＜2mn时，这样的直线有2条；当M=2mn时，这样的直线有3条；当M＞2mn时，这样的直线有4条.

变式3已知直线l过点P（2，1），且与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△ABO的周长的最小值及此时直线l的方程.

分析：求最值的常用方法有运用代数方法结合判别式、三角和导数，下面两种解法都是围绕着如何简洁地表示出斜边的长度而展开.

所以a2+b2=（z-a-b）2，化简得z2-2az-2bz+4b+2a=0.（2）

将（1）式代入（2）式得到关于b的方程（4-2z）b2+（z2-2z）b-z2=0.（3）

由于（3）式肯定有解，所以Δ≥0，

Δ=（z2-2z）2+4z2（4-2z）=z2（z2-12z+20）=z2（z-2）（z-10）≥0，

显然，z＞2，所以z≥10，即△ABO的周长的最小值是10.

解法2：设AB=c，∠BAO=θ，△ABO的周长为z，则OA=ccosθ，OB=csinθ.

所以4（1-cos2θ）3=（cos3θ+3cos2θ-2）2，

化简，得5cos3θ+6cos2θ-3cos θ-4=5cos2θ（cos θ+1）+（cosθ+1）（cosθ-4）

=5（cosθ-4）（cosθ+1）2=0，所以

此时△ABO的周长的最小值是10，直线l的方程是3x+4y-10=0.

高考和竞赛中很多试题来源于课本，是课本中试题的变形提炼，平时只要多留心，勤思考，善变通，擅总结，人人都是命题大师，解题高手.

三、几点反思

解题教学是中学数学课堂教学的重要组成部分，可以说数学课上几乎每节课都涉及解题教学，例题的讲解是解题教学，探究一个问题的解答更是解题教学，无论是对数学概念、定理、公理、法则、性质的考查，还是过程方法的探究最终都要落实到解题上.解题教学最终还是为了培养学生的思维能力，所以解题教学课，我们应该做到以下几点：

1.让学生学会审题

审题是解题的基础，只有认真审题，正确理解题意，才能正确迅速解题.审题也是一种能力，是阅读理解、识文断字等综合能力的反映.审题需要严谨、科学的态度，还要掌握常用的审题方法：读题，题目中的关键词，数学式子中的字母数字，图形中的点、线、面、角，挖掘题目中的隐含条件.看清题目的条件，条件是解题的主要信息，充分挖掘条件间的内在联系是解题的必由之路.要看清题目中数学式的结构，某些问题一直的数式结构中常常隐含着某特殊的关系，要对数式的结构进行分析、加工和转化，以达到解决问题的目的.例如，函数f（x）=sin x-2cosx，就是三角函数中的一个常见式子：acosα+bsinα，而学生都知道acosα+bsinα可化为sin（α+φ）的形式，这样不仅求出了（fx）=sin x-2cos x的最大值，而还能求出何时取得最大值.这样，问题就迎刃而解了.同时还要注意看清题目中的数值、图形的特点、字母的范围等要素，以防低级错误的发生.

2.让学生学会转化化归

转化与化归思想是解决数学问题的根本思想.数学中绝大部分问题都可以通过转化为已知问题获得解决.解决数学问题的过程其实就是一步步转化的过程.化归思想就是指人们将待解决的或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法.我们经常说“化难为易，化繁为简，化未知为已知”就是这个道理.如题Ⅰ“设当x=θ时，函数（fx）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=___________.”学生一开始看到这样的表述可能有点懵，但转化为“sin θ-2cos θ=”以后求“cosθ”就是三角函数中“给值求值”的问题，而三角函数中“给值求值”问题的解法很多，这样就为学生提供了多种解决问题的途径.这样转化后问题就简单了很多.从较难题的解答，我们可以体会到转化化归在解决数学问题中的益处，且数学解题离不开转化与化归.所以，解题教学课中要时刻体验转化化归，将转化化归内化为一种解题的习惯，进而上升为能力.

3.让学生学会通性通法

笔者认为，解题教学课必须立足于“基本套路”，解题方法应立足于“通性通法”.这里的“通性通法”是相对于“巧方妙法”而言的.作为数学教师，我们进行解题教学的一项重要而根本的任务就是通过自己的教学使学生在高考时取得理想的成绩（当然，这种说法有点功利，但现实情况确实如此）.几乎每年的高考数学试卷都很注重“通性通法”的考查，那些“巧方妙法”用得很少，就算是有些题目能用“巧方妙法”解决的也一定能用“通性通法”解决.所以，我们平时的解题教学课应该注重“通性通法”的教学.同时，“一题多解”也要见机行事，一道问题的解法并不是多多益善.有专家提醒：讲解一道问题的解法若超过了三种，学生头脑中对后面的解法就麻木了，甚至失去了对整道问题的兴趣.如果是这样的话，那我们还不如不讲一种解法.并且也不是每道题都要去“一题多解”，而是应该选择适当的教育契机和适量的方法种数.只有那种具有“普适性”的、“接地气”的解法学生才会领情，才有参与的兴趣和激情，才能将这些解题方法内化为自身的数学能力和数学素养.也只有这样，那种曲高和寡的现象才不会发生.

4.让学生学会思维

“数学是思维的体操”，解题教学应教会学生数学思考.前苏联数学教学专家B.A.奥加涅相指出：“思维和解题过程的密切联系是公认的.”心理学家O.K.吉霍米诺夫也指出：“在心理中，思维被看做是解题活动.虽然，思维并非总等同于解题过程，但是有理由断言，思维形成最有效的办法是通过解题来实现的.”据此可认为解题教学是解题活动的教学，而活动的本质是解题思维的活动.所以，解题教学是对解题思路的分析活动，是对解题方法的感悟和思考，是对学生解题思维活动的调动与展开，是学生解题思维认知结构建构的过程教学.我们的解题教学课不仅要向学生暴露怎样解题的思维过程，向学生展示为什么这样解以及怎样学会解的解题认知结构建构的思维方法，让学生的解题思维活动显性化——即让学生交流他们的思考过程.总之，解题教学就是要达到对学生的思维训练.

四、结束语

罗增儒教授曾说：“如果我们不算聪明，甚至还有点笨呢，那么上述历程告诉我们，可以通过解题过程分析，自己学会聪明，自己学会解题，使数学解题和智力发展同行，解题教学应该有‘学会聪明’这个环节.”学生解题能力的提高不是一朝一夕能做到的，也不是仅靠教师的努力付出就能做好的.需要教师根据教学实际，坚持有目的、有计划地进行培养和训练，引导学生学会审题、学会化归、学会思维、学会创新.让学生学会学习，真正成为学习的主人，才能提高学生后续发展的学习能力和数学素养，最终让学生终身受益.