课堂教学要充分关注学生的认知水平——对公开课《椭圆的标准方程》的思考

☉浙江省温岭市第二中学 王海燕

课堂教学要充分关注学生的认知水平
——对公开课《椭圆的标准方程》的思考

☉浙江省温岭市第二中学 王海燕

近年以来，以公开课为载体的教研活动异常繁荣，业已成为一线教师投身教研的良好平台.近日，笔者在一次市级教学展示活动中，听了一节《椭圆的标准方程》的公开课，任课老师引导学生经历了椭圆方程的推导过程，掌握了椭圆方程的基本形式，体会了数形结合的数学思想，领略了椭圆方程显现出的对称美，使笔者深受启发，同时也促使笔者对本节课进行了更加深入的反思.本文结合笔者的思考，以课堂教学中学生的认知水平发展为切入点，对《椭圆的标准方程》的教学提出几点看法.

一、对课例中学生认知水平的分析

重知识、轻能力曾经是教育最为深刻的危机之一，在此背景下，广大数学教育研究者提出了“数学为什么而教？”的追问，并达成了“为思维而教”的共识，数学课堂教学过程中学生思维活动的水平、思维能力的发展成为教学设计的焦点问题，通过对课例的学习和思考，笔者认为，就学生的认知水平而言，课例还存在着改进的空间.

（一）认知水平的分类

根据美国学者莫里斯.L.比格等人的观点以及对数学教学现状的考察，顾泠沅等学者认为，从教学结果角度可以对课堂教学做出两种标记，即记忆型和理解型，不过记忆和理解仅仅是教学认知水平标尺上的两个点，实际的课堂教学要复杂很多，从记忆到理解的发展过程中，对学生的思考力水平要求越来越高，学生参与课堂的深度也逐步增加，学生活动由被动转向主动的探索.具体而言，我们可以将课堂教学的认知水平分为记忆水平、解释性理解水平和探究性理解水平，其中记忆水平的课只是要求学生记住一些事实材料，而解释性理解水平是指由教师变换各种角度进行讲授、解释、说明，设计各种例题和变式，使学生领会知识的本质，或者在理解的基础上对数学解题方法归类.探究性理解水平的课是指教师促使学生积极卷入学习过程，师生共同活动，在新的情境中探索新知识、学习新方法.

（二）课例中学生认知水平的分析

就课例《椭圆的标准方程》来看，应当说任课教师充分关注了学生的思维过程和认知水平，比如在推导椭圆方程的教学环节，教师首先引导学生建立恰当的坐标系，提出问题：“你认为如何建立平面直角坐标系比较合理呢？”就是一个很好的设问，具有一定的探究价值，如果此处能够给予学生更多的探究时间和更深入的引导，这将是一个具有较高认知水平的教学片断.但是就整体而言，课例存在学生认知水平下降的问题.

1.关于椭圆标准方程推导方法的选择

教学片段：

师：通过上一节课的学习，同学们是否知道如何求曲线方程呢？

生：按照建系、设点、限制条件、代入坐标、化简、验证的步骤！

师：很好，我把它概括为“建、设、现（限）、代、化”！是不是更好记了呢？

生：（异常兴奋地）好记！

师：好，下面我们按照这个步骤来求椭圆的方程……

毫无疑问，这句精彩的概括令学生记忆深刻，接下来的推导过程就按部就班地以“建、设、现、代、化”的步骤展开，学生对椭圆方程的推导方法缺乏必要的思考，几乎是不假思索地选择了老师告知的方法，虽然随后的推导过程中某些步骤有解释和探究的成分，但就整体认知水平而言，有明显的记忆性水平的特点.

授课老师上述的引导过程局限了学生的思考，笔者以为，如果能够让设问更具开放性，那么学生的思维就有可能更为开阔.例如，可以将设问改进为：

问题：假设P（x，y）为椭圆上任意一点，如何根据椭圆的定义得到x与y的关系？

那么学生的思维就会更开阔一些，除了课例中提供的方法之外，还可能发现其他的更简洁的方法，例如：

推导方法1：设|PF2|=r，则|PF1|=2a-r，

由余弦定理知，|PF1|2=（2a-r）2=r2+4c2-4crcos θ=r2+ 4c2-4c（c-x），

2.对教材推导方法的改进

众所周知，人教版教材提供的椭圆方程的推导方法就是按照“建、设、现（限）、代、化”的步骤进行推导的，由于在方程的化简过程中为了去掉根号，需要两次平方，运算量极大，对学生而言有难度，但是这一难点也恰好为我们提供了提高认知水平的机会.我们先看看上述课例中授课老师的处理：

教学片段2：

师：将|PF1|+|PF2|=2a坐标化，我们得到了=2a，如何化简这个方程呢？

生：两边平方！

师：同学们反应真快，两边平方可以去掉根号，那么，同学们再思考一下，两边平方一次能否去掉两个根号呢？

生：不能，还有一个根号.

师：A同学，你来回答一下，剩下一个根号怎么办？

生A：再平方……哦，不！太麻烦了……

师：大家说，再平方能去掉根号吗？

众生：可以！

师：虽然这样作运算量较大，但是我们有没有信心克服这个困难呢？

众生：有.

师：好，请同学们在自己的练习本上进行化简，我请一名同学来板演……

在本片段中个，教师对方程的化简方法进行了引导，并鼓励学生通过两次平方去掉根号.笔者以为上述引导是非常必要的，因为掌握这种方法也是本节课的目标之一.但是，当学生提供了理想的推导结果之后，教师的处理又一次丧失了提高学生认知水平的机会.

教学片段3：

师：我们的同学运算水平真高！老师真为你们高兴，我看到大多数同学都能够正确地化简出最后的方程，当然，还有个别同学没有做完，请这些同学课后把它完成！下面我们来看我们得到的这个方程的形式……

上述片段将椭圆方程的推导方法局限于教材方法，从学生的认知水平来看，还有很大的提升空间，笔者以为，在教师肯定了学生的运算水平之后，应该进一步地追问：

问题：刚才的推导方法运算比较烦琐，导致这种烦琐运算的原因是什么？有没有办法进行改进？

通过教师的设问，学生很容易认识到复杂的运算是因为等式中有两个根式，如果只有一个根号，那么化简就简便了，如何把两个根号“分开”呢？结合定义式|PF1|+ |PF2|=2a以及等差中项的知识，学生不难想到以下的方法：

推导方法2：因为|PF1|+|PF2|=2a，所以可设|PF1|=a+d， |PF2|=a-d.于是

设b2=a2-c2即得

这种方法，巧妙地利用了参数d，回避了教材方法中繁杂的化简过程，这种求轨迹方程的方法我们一般称为“参数法”，学生并不陌生，同时，对于这种处理方法，学生有了等差数列的知识背景，也并非难以想到.特别是上述的追问，提升了学生的认知水平，也培养了学生善于总结，善于思考的习惯.

3.关于课例中教师的设问

课堂设问是课堂教学设计最重要的议题之一，由于学生的反应和教师设问同属一个思考力水平，所以，课堂设问是维持学生合理思考力水平的基本手段，但是根据笔者的了解，课堂上“随意问、满堂问”的现象确实存在，课堂设问缺乏对认知水平的思考也是教学过程中的一种“常见病”.笔者以为，克服课堂发问的随意性，编制认知水平合理的问题是维持课堂教学认知水平的重要前提.

就笔者所见的这节课例而言，教师一共提出了7个问题，就认知水平而言，有三个问题属记忆水平的问题，学生只需要根据对已有知识的回忆就可以作答，并不需要思考，两个问题属于解释水平的问题，学生需要根据自己的理解，结合问题的情景，思考后作答.只有一个问题“如何建立椭圆的方程？”这本该是一个具有探究意义的问题，但正如前文所述，教师有意地将学生的思路引向以“建、设、限（现）、代、化”为程序的直接法，使得学生的认知水平下降，而随后教师又将推导过程通过几个子问题进行引导，这种“小步走，多铺垫”的处理，为学生的推导铺平了道路，扫清了障碍，同时也使得推导过程能够按照教师的预设顺利进行，但从学生认知水平来讲，这一做法使得学生的思考力水平进一步下降，本该是需要思考甚至探究的问题，但是由于过多的铺垫和引导，使得学生的思考变成了填空式问答.

4.关于课例中教师的理答技巧

恰当的设问仅仅是维持合理认知水平的前提，但是当学生对问题给出回答后，教师的反应也就是理答技巧同样重要，因为教学的预设和生成往往会有差距，特别是学生的回答可能并没有达到教师的预期，这就需要教师针对学生的回答给出适当的回馈.一般来说，教师的理答内容主要包含：鼓励和评价、归纳答案、匡补探究、合理追问这几个方面，其中的匡补探究主要指教师对学生回答中的错误进行纠正，而合理的追问往往能起到提高学生认知水平的作用.

课例中教师一共处理了19位同学的回答，应当说教师特别注意对学生进行正面评价和鼓励，也能适时总结学生的答案，也有恰时恰点的追问，师生互动频繁、气氛热烈.但是有些问题的回答有改进的空间，特别是当教师对学生回答的评价除了鼓励外，更要注重理性分析，指出优点和缺点，并通过追问维持和提高学生的思考、认知水平.在此笔者举两例：

先后有两名学生做出回答，学生B直接平方，学生C先移项后平方，但是教师的回答都是对学生的化简“功夫”进行了赞赏，缺乏理性的分析和追问，对两种处理方法的优劣没有具体分析，

问题：如何建系比较好？

应当说这一个问题具有探究性，是一个好问题，学生D给出了合理的答案，但是学生的回答仅仅是根据对称性提出的猜想，在方程没有推导出来之前，并不能很好的解释其建系的合理性，这就要求教师在得出椭圆标准方程之后，追问：“如果椭圆的中心不在原点，其方程有何变化？”这样就能使学生真正认识到将原点放在椭圆中心的合理性.

二、几点认识和思考

通过以上课例的研究和思考，笔者以为，就当前的教育实践来看，学生认知水平下降是一个比较普遍的问题，维持和提高学生的认知水平，确实应该是数学教师应该努力达成的目标.

1.认知水平下降是目前普遍存在的问题

从课堂教学的三个认知水平来看，记忆水平的课思维层次低，但是数学知识也需要记忆，所以不能简单地全盘否定，而解释水平的课应当是大多数教师追求的目标，因为把知识讲清讲透是教学的基本追求，但是解释水平的课也有不足，往往过分依赖已有的解题模式，容易形成思维定式，不利于创造，所以还要在达到解释水平的基础上，大力提倡探究水平的课.但是从教学的现实情况来看，以下两个问题是普遍存在的：

（1）本该是解释水平的课，不少教师却将其下降为填空式问答，或者通过记忆解题模式并结合习题的反复演练进行巩固，学生的思考力水平明显处于低层次.

（2）本该是探究水平的课，却由于教师过多的干预，引导，失去了探究的意义，“表面上在探究，实际上在讲解”，认知水平下降.

2.如何维持和提高学生的认知水平是值得每位教师思考的问题

数学教学的过程同时也是学生思维水平发展和提升的过程，学生通过具体的认知活动使得自己的思维能力和数学素养得到提高，而认知水平的高低，直接关系到教学目标的达成，所以，在教学设计和实施的过程中，应当时刻关注学生认知活动的水平，根据笔者的经验和思考，以下几点是值得注意的：

（1）课堂设问要关注问题的认知水平，使其合乎教学目标的要求.

（2）在学习过程中给学生必要的脚手架是必要的，但过多的铺垫和干预会降低学生的认知水平.

（3）教学的预设和生成往往会有差距，学生对问题的回答并不一定符合教师的期望，特别是学生的回答往往缺乏必要的探究，有些答案甚至是通过猜测得出的，这样一来学生的认知水平就需要教师通过追问来提升和维持.

（4）教师要有合理的理答技巧，除了给出必要的鼓励，还应当给出理性的评价，从数学的角度评价学生回答的优劣，并给出合理的建议和改进的方向.

1.王克亮.在教育价值的视角下设计教学［J］.中学数学教学参考：2013（12）.

2.顾泠沅.《寻找中间地带：国际数学教育改革的大趋势》［M］.上海：上海教育出版社，2003.