高中数学核心概念教学的整体性把握

☉江苏省白蒲高级中学 秦国清

高中数学核心概念教学的整体性把握

☉江苏省白蒲高级中学 秦国清

数学概念是反映数学对象本质属性的一种思维形式，是导出数学定理、法则的基础.而数学核心概念是其中最重要的一部分，准确领悟核心概念是学生获得系统数学知识的源泉，是学好高中数学的关键.下面笔者结合自身高中数学教学实践，粗浅谈谈如何整体把握好核心概念教学.

一、认清核心概念本身的二维呈现方式

1.对核心概念学习过程的认识

在数学核心概念的认知活动中，学生从不能完整地表达数学概念的定义，或对概念的意义含糊不清，到能记住概念的文字表述，对概念有感性的、初步的认识；从通过回忆或再认识，比较辨析相关概念，到理解该概念的本质属性；从该概念与其上位、下位概念的联系与区别中明确概念所处的知识结构的位置，到利用这些关系解决新的情景中的问题.

上图描述的是概念认知的二维结构定向模式.它以数学核心概念的内涵与外延为出发点.既有质的规定，也有范围的规定.横轴代表理解概念的广度，它是相对于概念所处的知识系统而言的，反映了从感知到概括本质属性的渐进过程.纵轴代表理解深度，它反映主体将该概念运用于不同数学情景的能力，体现为概括到应用的渐进过程.分析构建概念的二维结构模式，建立数学概念较为完整的结构定向，是从不同侧面认识事物的一条途径.如果学生拥有构建核心概念的结构模式，将大大促进知识的巩固和迁移.

2.对核心概念本质内容的认识

数学核心概念贯穿于高中数学教学的始终，是数学核心知识的“控制中心”，在数学知识的发生、发展中起着重要作用，是数学知识的主要生长点.更重要的是它所蕴含的数学思想和方法，反映了探索自然现象和研究数学问题的科学规律，是知识转化为能力的桥梁.学生学习时需要逐步加深理解，体会并生发出解决数学问题的方法策略.认知数学核心概念最重要的不是过去经验的储存，而是一旦需要这一概念时，能以可用的方式重新得到它.

以函数概念为例，函数是中学数学的核心内容，是高中数学中的一条主线.克莱因认为，可以以函数概念和思想方法统一数学教育的内容.从数学核心概念的内涵来看，函数是一个具体的数学核心概念，幂函数、指数函数、对数函数等具体函数都是其下位概念，在对函数的下位概念展开教学时，应当从函数的定义本身出发来思考具体的函数情境，从而归纳得到具体的函数类型.另外“函数”其定义本身就包含着从“变化”的观点来考察数学对象，预示着数学思想方法从“不变”到“变”这么一种转变，而这种转变是通过具体的单调性、奇偶性等函数性质来展开研究的.

当然，函数概念作为本源概念，其所蕴含着的数学思想方法肯定会渗透到整个高中数学课程中去.例如，从函数的观点出发，数列可以看成一种特殊的函数，数列的通项公式与前n项和公式都可以看成n的函数，这样许多数列问题就可以通过函数的思想方法加以解决.解析几何中对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而构成函数关系.凡是涉及最值、范围等问题都可以从函数的观点来进行分析，合理地选取参、变量，寻找它们之间的内在联系，利用数学知识建立相应的函数模型，即“数学化”的过程.

函数核心概念的重要价值体现在这些广泛的应用中，在高中数学教学的整体设计中，突出了函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、实际问题的联系，包括与概率统计中的随机变量的联系.用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点.反过来，这些内容的学习，可以加深学生对函数思想的认识.正如布鲁纳所说：“领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的光明之路.”

二、弄懂核心概念研究内容之间的整体联系

任何系统都有结构，系统只有开放，与外界有信息交换，才可能使结构有序.数学核心概念也不例外.正如前面所提，数学核心概念作为一个本源概念时，它涉及丰富的下位概念；当它蕴含着重要的数学思想时，它所涉及的内容将更为广泛，有着不可或缺的指引作用；当它预示着数学方法的重大变革时，主要体现在方法的应用上.

具体地说，数学核心概念嵌入在完整的概念体系中，起着核心关键作用，广泛地与其他的概念，甚至是其他核心概念联系在一起，建构起良好的数学知识结构，形成完整有序的系统.我们要弄懂核心概念研究内容之间的整体联系，就要确定一定的概念体系，厘清数学概念的发展脉络，树立“整体观”和“系统观”.

下面以三角函数与向量的关联研究为起点进行浅析.

初中教材是借助长度比值开始定义锐角三角函数的，形式上实现了长度与角度的“互化”，这种观点在解析几何中也有涉及.而向量的概念是以方向和大小两个要素为尺度展开研究的.实际上方向与角度，大小与长度是统一的.自从教材引进坐标系，任意角的三角函数得到推广，向量也得以坐标化，形式上实现了利用坐标的维度来刻画三角和向量，高中数学中蕴含着坐标法这一重要的数学思想方法得以展示.

我们终于从思维科学的视角发现了三角函数与向量紧密联系的缘由.它们作为联系代数与几何的桥梁，使数学研究从定性向定量深化.三角函数与向量的交汇，促成了向量、坐标、复数三位一体，使相关的运算化归为实数的运算；促成了极坐标与直角坐标的互化，明析了长度与角度的转化联系；使直线斜率（倾斜角）、距离公式、曲线与方程等问题的研究更趋于本质化.特别指出的是，向量维度的基本定理转化为直线坐标系、平面直角坐标系、空间直角坐标系的基本定理，它们是解析几何发明的本源之一.至此，“三角向量”作为数形转化桥梁的核心作用跃然纸上.

正如张景中院士指出的那样，数学核心概念与其他概念的联系通常都是以一定的数学思想或方法联系在一起的，以其反映的数学思想贯穿内容体系，或标志着数学方法的重大变革而使其在整个体系中起着核心关键作用.数形结合不但是探究数学的思想，解决数学问题的方法，其实也是数学命题的一种根据和来源，更应是探索创新的的思维方式.

三、作好核心概念教学的整体性设计

章建跃博士指出，概念教学设计始终要把数学教学的“育人”目标放在心上，培养学生的数学思维能力、培育学生的理性精神.在进行数学核心概念教学设计时，要突出其作为本源概念的“可生长性”和蕴含数学思想方法的“连贯性”.

笔者所在学校的数学集体备课特别强调概念教学的“整体性设计”，下面以向量单元教学为例，重点阐述章节教学设计立意，整体规划教学核心，实现教材编写意图.

1.借助章头课发挥先行组织者的作用

引导学生寻找知识的生成点，使得知识的学习寻到源头，找到知识的根.我们清楚每一个核心概念的产生都有丰富的知识背景，从概念的本源出发，便于学生看清概念产生的过程，不会让学生感到茫然，容易引导学生发现其具有的本质属性，概括出概念定义，进而研究概念间的联系，建立概念体系.如在向量章节的起始课中，笔者围绕“在中学数学中为什么要引入向量？”这一问题进行渗透教学.让学生感受到：向量是代数的对象，向量是几何的对象，向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁，向量具有丰富的物理背景，向量是重要的数学模型，有着广泛的应用且简单易懂.

2.借助章中课发挥思维方法的威力

引导学生发现知识的生长点，找到知识发展的枝干，使得知识的生长、发展顺其自然.如学生通过类比的方法，研究向量运算，加深和拓展了对数学运算的理解：运算是数学学习的一个基本内容，运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索；从数字运算到字母运算是运算的一次跳跃，到向量运算是运算的又一次跳跃；向量的学习，为学生今后进一步学习其他数学运算奠定了基础，让其体会到数学运算在建构数学系统中的作用.

3.借助章尾课发挥数学方法论的力量

引导学生挖掘出知识的共生点，为知识提供养料.除了了解向量在物理等现代科学技术中的实际应用外，我们更要关注向量概念的研究，为解三角形问题（平面问题）提供新的视角；为立体几何中的位置关系提供了量化方法；在不等式构造方面也有具体应用，甚至其方法思想在“矩阵与变换”上也有引申.这正说明，对于标志数学方法重大转变的概念，也应该通过其在不同内容的渗透贯穿来达到理解掌握的要求.

四、抓住学生学习核心概念时的认知规律

在数学教学中要挖掘数学核心知识蕴含的思维教育价值，加强学习方法的引导，从“数学知识发生发展过程的合理性”、“学生思维过程的合理性”两个角度构建学习过程.以问题引导学习，使学生经历数学概念的概括抽象过程、应用拓展过程，从中体会数学的研究方法.

1.找准学生真实的学习起点，铺设领悟核心概念的台阶，激发成功

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.教师要准确分析学生的学习状况，了解学生的知识掌握及技能形成情况，要根据课时内容，班级实际，新旧知之间的联系设置教学起点.核心概念教学要紧扣学生的“最近发展区”，找准学生的“新知生长点”，符合学生的认知规律.特别要注意教学中为学生搭建理解的平台，铺设概括的路线和阶梯，以帮助学生感悟核心概念的“本来面目”.

再以函数概念为例，首先选择典型、丰富的实例.在函数概念的引入、表示、性质和应用等各阶段的教学中，都应用好书中的例子，为学生提供思考、探究、交流的机会，使学生在好例子的支持下开展思维，形成函数概念理解活动的强大背景支撑.其次注重表格和图像作用.表格、函数图像不仅是“表示法”的一种，从学生学习的角度看，它们使抽象的函数符号形象化，为学生提供了直观的机会.例如，图像的种种形象和基本性质使得学生直观地“看到”、想象到函数的定义域、值域、单调性等种种性质.另外，用函数图像分析和解决问题时体现出的数形结合思想，是培养学生数学能力的重要载体.同时帮助学生更全面、深刻地领悟“对应关系”的本质.最后强调在思想方法上给予明确具体的指导.中学生的认识能力、智慧水平尚在发展过程中，因此数学思想方法的学习，一方面要强调让学生在亲身体验中获得内心感悟，另一方面还要依靠明确具体的语言指引，这也是加速学生领悟过程的需要.具体讲来，教师在课前根据学生已有的知识层面，设置情境，提出要求，激发学生的好奇心和求知欲，并让学生能够跳一跳，够得着.鼓励学生大胆尝试，主动参与，增强学生的自信心，使学生感觉到成功的喜悦，继而激发继续学习的兴趣.

2.顺承学生思维发展的脉络，把握核心概念的“来龙去脉”

数学是一门非常重要的思维科学，而学生的思维发展遵从具体形象思维到经验型抽象思维，再到理论型抽象思维，最后到辩证思维的过程.当然，这一发展过程不是严格单向的，它具有相容性与同时性.因此教师可借助于思维发展的阶段性理论针对性地进行核心概念教学，让学生从统摄性强、应用范围广的核心概念学习中领悟到的数学的本质，形成对学生的终身发展有根本性影响的思维方式和思维习惯.必须强调的是只有让学生亲身经历感悟过程，弄清核心概念的“来龙去脉”，才会理解深刻.

教学时要抓住数学概念体系的形成过程的层次性，讲究循序渐进和渗透提高.如坐标法经历了直线—平面—空间—超空间，通过升维、加权、反向思考等设置实施.对类比、迁移得出的新概念，需与问题情景中的已知概念比较，建立知识链接.例如，指数和对数类比，教材意图明显，希望学生利用指数和对数的关系，把对数问题化归为指数问题，借助指数幂的运算性质，导出对数的运算性质.这样的过程是自然的、水到渠成的，学生在概念形成、同化的过程中也实现了思维飞跃.

学生经历概念的发生、发展、拓展，弄懂知识的同时，感受的是逻辑，掌握的是研究问题的基本思想方法.如对函数概念本身的解读.首先由“静态”的式与方程到“动态”的函数，形成动静互化的认知过程，实现由过程表征向关系表征的转变，这是它的起点.其次由动态的“变量说”到静态的“对应说”，形成微观抽象化的认知过程，实现函数宏观表征向函数的微观表征的转变.最后再由“过程”到“对象”，实现把函数作为一个“整体的对象”来看待.在引导学生经历了“具体情境→抽象化→符号表示→深化应用”这一系列认知实践后，把形式化、符号化思想渗透到函数教学的每个环节，就能促进学生函数观念的形成、发展、提高，提高学生应用函数动态与静态的辩证关系解决问题的能力，使学生的思维朝着更深刻的方向发展.在学习中要让学生始终处于积极探索的状态，自觉完成知识迁移，形成知识网络，学会数学思想方法的提炼，形成立体的知识模块，融会贯通，达到活用知识解决问题的目的.

1.章建跃.数学学习与智慧发展［J］.中学数学教学参考：上旬，2015（7）.

2.章建跃.数学学习与智慧发展（续）［J］.中学数学教学参考：上旬，2015（8）.

3.陈振宣.三角函数在中学数学中的核心地位［J］.数学通报，2009（6）.

4.章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学［J］.数学通报，2009（6）.

5.沈亚军.谈差生对数学概念的认知［J］.数学教育学报，1999（4）.

6.何继刚.赏析函数认知层次螺旋式上升的教学过程［J］.数学教学研究，2011（6）.

7.温芳勇.高中数学核心概念教学的理论与实践研究［D］.江西师范大学，2013.

8.丁勇.整体把握教材规划教学核心［J］.中学数学（上），2015（5）.