基于数学核心素养的“一元二次不等式的解法（1）”教学设计

☉上海大学附属中学 顾晨曦

基于数学核心素养的“一元二次不等式的解法（1）”教学设计

☉上海大学附属中学 顾晨曦

一、引言

高中数学新一轮课标的修订接近尾声，本次修订的总目标是发展“四基、四能、形成六大数学核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算，直观想象，数据分析”.在新课改下数学课堂教学应该呈现什么？应该教什么？怎样才能促进形成六大数学核心素养？

这些都是需要探讨的问题.本文尝试针对沪教版高一第一学期2.2一元二次不等式的解法（第一课时），基于数学核心素养进行教学设计，以期初探高中新课标下教学设计讨论的大门，也为其他关于数学核心素养问题的讨论起抛砖引玉的作用.

二、设计目标和思路

本课的设计力求通过实际问题的解决提升学生的操作数据、分析数据的能力，在这个过程中，培养数学建模、直观想象、数据分析的核心素养；通过图形计算器绘制函数图像，编制不等式求解的数学活动，让学生从探索问题中使用归纳推理，完成从具体问题到数学方法的归纳过程，贯穿一元二次不等式与二次函数，一元二次方程之间的内在联系，进行合理的推断和直观想象；利用学生当堂生成的题目，进行数学运算的训练，掌握一元二次不等式的解法.

三、教学过程

1.引入：利用数学实验构建数学模型，初探数据分析的魅力

问题：一家面粉生产厂引进一条生产线，由于受设备成本、人工、不同产量运输方式的不同等因素影响，这条生产线产出的面粉x吨，与每吨面粉的收益y万元之间有如下关系：

x（吨）829111 y（万元）15324488

如果你是该厂厂长，请你决定面粉产量在什么范围内可盈利？

利用图形计算器（TI-nspire CX-C CAS）输入数据，得到散点图，利用回归分析，拟合得出图像解析式，（见下图）根据实际意义，得到不等式：x2-8x+15≥0.

设计说明：俗话说“好的开始是成功的一半”，新课程的引入往往是最值得推敲的部分.对于本节课的引入，是采取情境引入法？还是直接利用一元二次方程的定义，将“等号”改为“不等号”类比引入？教材的设计采用了前者，意图以期学生能把实际问题抽象为数学问题，并建立一元二次不等式求解，体会一元二次不等式解法的必要性.

在尊重教材对于核心素养培养的基础上，笔者在引入时思考，既然需要“建模”，不如将“建模”进行到底.不等式关系如何得出的？在学生今后面临的实际工作和生活中，没有人会给你明确的函数关系式，你面对的是信息，是数据.这时，数据分析能力，数学抽象能力就起了很大作用.所以，笔者在引入中，采取只给出情境和数据的方法，抓住这个难得的机会，利用TI-nspire手持机，让学生体会了一把真正的建模，在众多未知因素面前，体会到现代技术在数据分析功能上的强大作用.

虽然在技术层面上，受课堂时间和高一学生知识储备所限，这个建模不太严格，有些理想化，然而“不入园林，怎知春色如许？”本节课对于数学建模走入常规课堂做了一个初探.学生对于这种引入，也感到新颖，并且理解得也较有深度.在课堂上，学生主动提出对于模型中x取值范围为正数的修正，在学生的对话中确定了范围.在课后的统计中，100%的学生认为此课的引入形式具有创新性，84.2%的学生认为这种引入相比传统形式“培养了数学建模的能力”，15.8%的学生表示对这个问题“说不清”，没有学生在这个问题上选“否”.

2.新授：没有例题的“例题讲解”，逻辑推理得出解法

本节课对于一元二次不等式解法的讲解，大胆采用了没有一道教师预设例题的方法，由学生根据使用计算器绘制的函数图像编制不等式形成例题，结合TI-nspire图像跟踪功能的使用，直观地呈现了符合要求的解的区间.以下呈现几个典型图形以及相关问题串.

针对每个图形，教师与学生依如下问题串对话：

请你根据这个函数图像，编制一个不等式.

x轴上方（或下方）的点有什么共同特征？

这些点的横坐标代表什么意义？

它们在x轴上投影的范围有什么特点？

你能由此得到相应的不等式的解集吗？

设计说明：在解法的教授中，侧重图像法，充分体现数形结合的思想，体现数学符号语言和图形语言的翻译.学生利用计算器辅助学习，自主编制题目并求解，这些新鲜出炉的、自己创造的题目，更能引起学生的学习欲望.令课堂教学变得灵活生动起来，让学生亲自体验到自己是课堂的主体，将数学运算的核心素养渗透到课堂的活动当中.

利用问题串，将学生的思维过程层层解构，再在解法的得出中进行重组，在从特殊到一般的方法总结过程中，培养逻辑思维和推理能力.

在课堂上，即使是学习能力偏弱的学生，在图形和问题串的帮助下，可以自行得出不等式的解集.笔者还提了这样一个问题，“请根据图形构建一个解集为一个区间的不等式”，这个问题在课堂上激起了小小的浪花，学生惯性思维于解决诸如y＞0的问题，对于逆向的构造问题，势必陌生.此问题正是一个良好的训练机会，契合了依据逻辑规则推出一个命题的逻辑推理要求.

3.练习：再探数学实验，技术支撑你我的梦想

在本节课的练习部分，解含参不等式x2-3ax+2a2＜0借助图形计算器，通过游标功能改变参数a的取值，得到不等式的解集.（见下图）

设计说明：含参数的不等式解法一直是学生学习中的难点，而数学实验作为数学建模的重要组成部分，随着计算机的发展，日益凸显其作用.根据数学教育家弗赖登塔尔所提倡的教学理念：“学一个活动最好的方法就是做”当代数学教育不能仅教给学生现成、静态的数学，如何让学生通过再创造体会到作为活动的数学？体会到数学知识的发现过程？数学实验是一个绝佳的实施平台.

通过图形计算器中的游标功能，做出相应的函数图像，学生在实验中发现a的取值范围直接影响了题目的答案，形成分类讨论的数学思想.这个过程所留下的印象在学生脑海中是深刻的，虽然花费了一定的时间，然而浓厚的兴趣常常是维系长久的有创造的研究和学习的主要动力，在课堂的主阵地上给予学生探索的时间和机会，这个时间应该说花得值.

4.小结：智能计算思维立意下的方法总结，授之于“方法”之“渔”

本节课的小结突破传统，使用如下求解一元二次不等式的程序框图进行方法总结：

设计说明：

智能计算思维被界定为一种运用计算机科学基本概念解决问题、设计系统以及理解人类行为的方式方法.在现代社会中，它是一种每个人都应该有的应用态度和技能.建立在学生信息课所学的基础上，利用流程图总结一元二次不等式的解法，意在示范学生一种解决问题的思维过程，是一种可得到通法通则的方法.如果说题目的解决是“授之于鱼”，方法的教授是“授之于渔”，那么思维的过程则是形成方法的过程，“授之于渔”的“渔”.在这个过程中，通过分类，解决疑难，排除故障.在讨论中修正解法，理解内部的关系，形成系统思维的习惯.

四、教后反思

教学中，学生对于计算器使用的掌握比预想中要好，没有因为计算器操作出现不必要的时间浪费.图形计算器在本节课中让学生深刻体会到了数学建模的强大作用，体会到了数形结合解题的必要性和便捷性，课堂对话中发现学生对于图形法解不等式也理解得比较到位.当堂检测中，学生可以独立完成基础题目，并自己纠错和订正，说出错误原因和正确做法，基本达到了本堂课的教学目标.对于Δ=0，Δ＜0的题目，学生掌握的不是太好，出错率较高，约50%，在教材的设计上，这原属于第二课时的内容，在重组教材时，笔者将其放在了第一课时.这提示我们在重组教材时，应关注学生在思维层次上的不同，给予学生更充分的内化时间.

本节课主要存在的问题是，引入部分还是略长，所占篇幅削弱了正题的讲解，是否应该考虑更加简洁实用？另外，也有教师提出建议，使用图形计算器，便捷了，但削弱了对学生画图能力的训练，毕竟考试时无法使用，所以在此处使用是否是一个好的选择？其实，这些声音的根本，求问的是一个一直困扰一线教师的问题：应试与能力，如何双赢？路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.