《椭圆的方程复习》教学案例

☉江苏省高淳高级中学 张 影

《椭圆的方程复习》教学案例

☉江苏省高淳高级中学 张 影

一、教材分析

高中数学学科课程标准对本节课的教学要求是“掌握”，即要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

椭圆是圆锥曲线的重点内容，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，要让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础.

二、学情分析

通过高一一个学年的数学学习，一部分学生已经养成了良好的学习习惯，运算能力和分析问题的能力已经有所提高.因为这是一节复习课，学生对椭圆的定义、方程及简单的几何性质有了初步的认识和了解，但是受逻辑思维能力的限制，同时对图形的认识不够深刻全面，不能有效地把几何性质代数化，数形结合的能力还有待提高.

三、教学目标

1.知识与技能

掌握椭圆的两个定义、方程和简单的几何性质.

2.过程与方法

培养学生观察、比较、分析、概括的能力；注重数形结合和待定系数法等数学思想方法的渗透，提高学生的学习能力.

3.情感、态度与价值观

鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，抓住问题本质，培养学生科学探索精神.

四、教学重难点

1.重点

椭圆的定义和椭圆的标准方程.

2.难点

恰当地使用定义和几何性质解决椭圆有关问题.

五、教学方式

本课教学以合作探究法为主.新课程的理念是“以学生的发展为核心”，突出学生的主体地位，培养学生的自主意识和合作意识，改变过去“接受式学习”.本人基本上采取例—练紧密结合的教学步奏，先归纳知识点，再经由师生共同分析例题、学生板演解题过程，加强学生的动手能力，培养学生分析问题、解决问题的能力.使用多媒体课件辅助教学，采用实物投影、几何画板等信息技术可以突出重点、淡化难点.这样可以使课堂气氛活跃，形成和谐的教学环境.

六、教学过程

（一）复习引入

观察图1，说说和椭圆相关的知识有哪些？

图1

通过基本图形的展示，特别是对线段进行了粗细设置，让学生慢慢回忆在椭圆中学过的基本量以及它们之间的关系，激活学生已有的认知结构.课堂上通过观察学生表情，提问学生，发现图1对基础较弱的学生提示作用很大.从复习的一开始就让学生感受到认识图形对知识点的记忆和理解很有帮助，数形结合的思想从此开始.

填写表格：

?

在图像的直观带领下，完成形到数的转化，把几何关系转化为代数关系.

对所学知识进行及时的回顾和总结，有利于学生充分掌握知识，厘清关系，为应用知识奠定基础.

（二）讲解新课

例1填空题

（1）若点M到椭圆的一个焦点的距离为3，则它到另一个焦点的距离等于________，到相应准线的距离等于________；

（2）若点M的横坐标是3，则点M与椭圆两个焦点的距离分别是________和________.

此例题是考查学生对椭圆中的基本概念的掌握情况，培养学生灵活运用知识的能力.由学生独立完成，然后交流解法.

对于（2），学生交流的解法大致有两种.第一种是通过两点间的距离公式求解；第二种是使用椭圆的第二定义即圆锥曲线统一定义求解.通过学生的自主探讨不难发现，第二种方法“充分利用定义”在解题中起到的简化计算的作用不可忽视.此时教师可以板书“关键词1：充分利用定义”.

对于（2），教师可继续提问：对于焦点在x轴上的椭圆，若已知椭圆上一点P的横坐标是x0，能否求出P到两焦点的距离？怎么求？是多少？

这个小问得出的结论即焦半径公式，教师不必多做说明，关键是让学生体会其中统一定义起到的作用巨大.即使以后忘记了公式，自己仍然可以推导.“授人以鱼不如授之以渔”，教会一种方法，锻炼一种思维远比记住一个公式有用得多.

变式：若点M到左准线的距离为10，F1是左焦点，O是坐标原点，点P满足

在几何背景下添加了向量的元素，综合性略有加强.给学生一定的时间思考，许多学生会去试图从图形中挖掘点有效信息.图中的关系如何变成可以利用的代数关系，这是一个难点.因此“数—形—性质”的一步步深入给学生留下深刻的印象.此时教师可以板书“关键词2：充分利用图形；关键词3：充分利用性质”.

2.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_______.

求离心率是圆锥曲线的常见题型.通过此题，学生交流解法，总结出求离心率的一般方法，即找出基本量a，b，c之间的等量关系.解决此类问题关键还在于学生把图形信息转化为数学关系式的能力，进一步强调数形结合的思想和关键词2：充分利用图形.

问题：能否不求点P坐标算出PF2的长度？

学生思考后不难联想到刚才例题（2）的启示——圆锥曲线的统一定义.对于该例题中的点P，也可以当成是椭圆的一个特殊点，记住其坐标往往在解题时起到事半功倍的效果.

例2（1）中心在坐标原点，关于两坐标轴对称的椭圆过点（1，4）和（5，2），求椭圆方程；

（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P（3，2），求椭圆的方程；

（3）设A、B是两个定点，且AB＝2，动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程.

求椭圆的方程是本节课的重点，课标要求熟练掌握.本例题采取学生板演，师生共同点评的活动方式.板演，是数学教学的重要环节，是学生的一项特殊的学习实践活动，有利于教师适时调整教学思路、补充教学内容.由于是学生的思维，对其他学生更容易接受，更有说服力，因而可起到教师不可替代的作用.对于前两问，教师可以通过先观察学生的解答再有针对性地选择两个学生板演，一种是分类讨论设标准方程的，一种是设一般式的.

分析点评完学生的解答，可以通过“问题串”的方式带领学生反思小结.

问题1：求椭圆方程的基本方法.

问题2：求椭圆方程的步骤.

问题3：求解的过程中间应注意些什么？

复习课不是旧知识的简单再现和机械重复，其主要任务是把平时相对独立的知识连点成线、连线成网，查漏补缺，最好能温故知新，进而加深学生对旧知识的进一步理解、巩固，并提高运用知识解决实际问题能力.选择“问题串”的方式提问，能够有效的实现学生对旧知识的回忆，而且通过每个小问题的有序衔接和层层递进、步步深入，有助于学生对知识点再现、整理、归纳，达到串联应用的目的.

图2

变式教学是课堂教学的一种重要形式，变式问题要在学生已有的认知基础上结合教学内容提出，有助于学生对某知识点和方法的深层理解和掌握.在研究椭圆上的点到焦点距离问题时，能及时返回定义，会事半功倍.

（三）课堂小结

回顾了本节课的数学思想有方程的思想、数形结合的思想，以及相关的解题方法、解题策略.

对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象.小结能促进学生掌握知识总结规律，是学生复习的依据.

七、板书设计

椭圆的复习第一课时投影屏幕学生板书教师纠错关键词1：关键词2：关键词3：求椭圆的标准方程：方法小结：

八、作业设计

讲义上的反馈练习1-10.

九、教学反思

椭圆是圆锥曲线的重点内容.通过椭圆的复习，希望学生对圆锥曲线的知识框架有一个较为清晰的认识，从而对后面的类比复习起到示范作用.

本节课是椭圆复习的第一节课，面对的是文科班基础较弱的学生，所以我把重点放在了基础知识的灵活应用和求椭圆方程上.整个教学过程遵循了“教师为引导，学生为主体”的教学思想，通过学生练、讨论、总结，加深对重点内容和方法的印象，贯彻思想方法、解题方法，让学生学会分析，最终达到融会贯通.

不过，在教学中仍有以下几方面做得不够：

1.复习时间过长，看图和填表一共花去近十分钟的时间，而对于一部分学生来说，表中内容已经熟记于心，所以可以尝试让学生课前先预习填好表，这样既节省了时间，也容易发现自己在哪个知识点上存在漏洞，看图时针对性会更强，印象会更深.

2.对于例3的处理，时间有些匆忙.事实上，该例题的方法类似于例1，都是利用椭圆的定义对椭圆上任一点到焦点的距离进行转化.中间例2求椭圆的标准方程可以单独处理，让例3与例1连贯起来.

3.语言不够丰富，魅力不够.在引导学生分析问题，完成思维跨越时，语言稍显贫乏.同时还要注意让每个提问都成为有效提问，设计启发性问题，激发学生思维的火花.启发性是课堂提问的灵魂，缺少启发性的提问是蹩脚的提问.

4.复习课的选题一直是我比较难把握的.所选题既要全面，紧扣课标和大纲，又不应千篇一律；既要有针对性——针对重点难点、针对学生的易错易混点，又不应人为的编制难题、偏题.如何才能选的准、选的精、选的全，我还要多思考，多钻研课标，多做习题，多向老教师学习.

今后我将更加努力提高自己的课堂教育机智上多学习、多实践，切实使每堂课都上得活泼、生动、实在，真正实现教学相长.