立足教材理解数学优化教学——以《任意角的三角函数定义》为例

☉江苏省南京市六合区程桥高级中学 李素文

立足教材理解数学优化教学
——以《任意角的三角函数定义》为例

☉江苏省南京市六合区程桥高级中学 李素文

章建跃博士认为，教学的有效性，只有围绕概念的核心展开教学，在概念的本质和数学思想方法的理解上给予点拨、讲解，让学生在理解概念及其反应的数学思想和方法的基础上，对细节问题、变化的问题进行深入思考，这样才能实现有效教学.因为概念的核心、思想方法是不容易把握的，这是教师发挥主导作用的重点所在；具体细节正好是锻炼学生应用概念解决问题的机会，是促进学生理解概念的平台.

任意角的三角函数的定义是高中数学的核心概念之一，其教学具有重要的作用，但每次执教这一节时，对这一概念的形成过程，总感觉不自然，讲理有些牵强.不少教师也没有讲得很清楚，大多采用书上的“规定”两字，不加解释，直接由锐角的三角函数推广到任意角的三角函数，导致学生不理解其本质，只能死记硬背，遇到角为第一象限角时会做，当角为其他象限的角时就会出错.针对这些疑问，笔者反思，该节课怎样设计才能既适合学情又能让学生抓住数学本质？笔者查阅文献，研读教材，依据章建跃博士倡导的教学设计原则“理解数学，理解学生，理解教学”改进自己的教学方案，获得师生的好评.下面是本课例的教学设计和教学反思.

一、教学过程

（一）复习旧知，温故知新

问题1请同学们回顾下初中学习的特殊角30°，45°，60°的正弦值、余弦值、正切值.

问题2请回忆下，在初中直角三角形中如何定义锐角三角函数的？

设计意图：学生初中学习过直角三角形中锐角三角函数，学生从已有的知识入手，一方面学生有熟悉感，不排斥所学的新内容，另一方面，学生有成就感，激发学习兴趣.

（二）推进新课，形成概念

学生活动

问题3若以锐角α的顶点作为原点，以角α的始边作为x轴，建立直角坐标系，设角α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是你能否借助点P的坐标和r表示出角α的三角函数呢？

问题4改变点P的位置，这三个比值改变吗？请说明理由？

学生纷纷动笔验证，两分钟后学生已经得出结果.

生3：再另取点Q，作QN⊥x轴，则△OPM与△OQN相似，得到三个比值不变.

生4：我找的30°的终边，通过测量，计算得到三个比值相等.

师：同学们做得很好！当锐角固定时，它的三角函数值与角的终边上点的位置无关，只与坐标的比值有关，当角改变时，这三个比值还一定相同吗？

生5：不一定相同，30°与45°的三角函数值就不同.师：很好！定义域内的任意一个角都有唯一的比值与之对应，你能想到之前我们学过的哪个概念？

（众生小声讨论，有的同学想不到，有小部分学生想到函数的概念）

生6：函数的概念.

师：请你帮我们重温下函数的概念吧.

生6：一般地，两个非空数集A，B，对于集合A中的每个自变量x，根据某种对应法则，集合B中都有唯一的值y与之对应，这样的对应就称为A→B的函数.

众生：是，自变量是角，函数值是三个比值.

师：这里的角是角度还是弧度呢？

生：都可以.

师：这里的角是弧度，我们引入弧度的必要性就是建立起角与实数一一对应的关系.因此自变量、函数值都为实数，符合函数定义的两个非空数集，因而我们就得到了锐角三角函数的定义.

设计意图：锐角三角函数的定义是本课重要的知识生长点与固着点，锐角是任意角的特例，从这个意义上说，任意角的三角函数是锐角三角函数的推广.从这个角度看，锐角三角函数的概念，符号sinα，cosα，tanα是本节课的基础，也是本课的起点.

问题5能否将锐角的三角函数值的定义推广到第一象限的角的三角函数？

生8：老师，我有疑问，若角为390°，就不能做直角三角形了？

师：我们刚定义的锐角三角函数的定义与什么有关？

生：与角α终边上的点的坐标有关.

师：有了这个定义还需要构造直角三角形吗？

生：不需要，只要计算比值就可以了.

问题6能否将这一结论推广到其他象限呢？

生：应该可以.锐角的三角函数可以推广到第一象限，应该也可以推广到其他象限.

师：通过我们的探究，可以得到任意角的三角函数的定义，此定义已经脱离了直角三角形中静态的边长之比，这里的锐角三角函数及任意角的三角函数都是以数即角为自变量，角的单位是弧度，对应法则是比值的函数.

设计意图：通过问题5，6让学生明确定义域内的任意一个角都有唯一的比值与之对应，符合函数的定义，因而sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函数统称为三角函数.

（三）数学建构，形成结论

三角函数的定义：一般地，对任意角α，角α终边上任意一点P（x，y），它与原点的距离是那么，

sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.

问题7根据三角函数的定义，你能否得到它们的定义域及各个象限的符号？

学生活动：学生很容易得到各三角函数在四个象限的符号，对于正、余弦函数的定义域学生很容易解决，对于正切函数的定义域时遇到困难，不知如何去求.教师启发学生，观察分式，若有意义满足什么条件？满足条件的角有哪些？

设计意图：既然三角函数是函数，必然要研究函数的定义域，让学生回归到函数的相关知识.对于不能解决的问题，通过教师提问的方法，引导学生去解决，而非直接告知.

问题8你能否根据三角函数的定义求出轴线角的三角函数值？请举例说明.

学生活动：刚开始学生还有些措手无策，教师适当提示，然后放学生去解决.学生解决了0°，90°，180°，270°，360°的三角函数值，并以表格形式列出.

设计意图：以往的教学中，对于轴线角的三角函数的学习，在课后习题中有所涉及，但学生出错率相当高，因而，本人觉得不如放到课堂上解决，一方面，对三角函数的定义做进一步的理解；另一方面，与其课后反复纠错，不如把问题展示出来，让学生自己去解决.

（四）例题解析，概念应用

例1已知角α的终边经过点P（2，-3），求角α的三角函数值.

例1及变式的解答略.

师：如果已知角的终边上的一点，你能归纳出求此角的三角函数的步骤吗？

学生活动：学生结合定义，想到（1）计算OP的长度；（2）计算三个比值.

变式1已知角α的终边经过点P（2a，-3a）（a＞0），求角α的三角函数值.

变式2已知角α的终边经过点P（2a，-3a）（a≠0），求角α的三角函数值.

变式3已知角α的终边落在直线y=3x上，求角α的三角函数值.

学生活动：学生自主完成，对于变式1，学生解决得很好；对于变式2，部分学生缺少分类，以及当a＜0时，出错较多；对于变式3，大部分学生仍然缺少了分类讨论，究其原因，不清楚角的终边是射线而非直线.在其他同学的帮助和教师的指点下，同学们意识到错误，并改正.

设计意图：数学的教学遵从低起点，小步子，多活动，勤反馈.变式的练习提高变式能力，完善思维的严密性，调动学生的学习积极性和主动性.学生思考后上黑板板演，做的结论和书写虽然不尽完善，不够规范，但这是利用学生的错误资源进行教育的好机会，教育价值更高.

例2已知任意角α的终边与单位圆交于P（x，y），证明：sinα=y，cosα=x，tanα=（x≠0）.

设计意图：利用单位圆定义三角函数，是非常重要的知识点，后续学习的三角函数线，研究三角函数的值域，画三角函数的图像等都用到了单位圆，结合所教学生学情，在例题中讲解凸显其重要性，另外为下节课的学习起到承上启下的作用.

（五）课堂总结、布置作业略

二、教学反思

由于三星级农村高中学生的基础相对薄弱，本课例在引入时没有采用摩天轮的例子，而是采用教材（苏教版必修4）上的例子，从直角三角形中三角函数的定义到在直角坐标系中定义锐角三角函数，并对锐角三角函数的定义进行了着重探讨，然后推广到第一象限角的三角函数定义，最后推广到任意角的三角函数定义.针对本课例，笔者有以下几点反思.

（一）将概念形成过程还给学生，让学生在“做”中学

数学发展的历史告诉我们，每一个重要的数学概念的形成和发展，其中都有丰富的经历，从对学生学习概念的认知过程的研究，我们发现数学概念的学习过程是个主动建构的过程，因而教学中要重视将概念的形成过程还原给学生.本课例中，以学生熟悉的直角三角函数中锐角三角函数定义为依托，开展探究活动，注重了从学生认知的最近发展区出发，分化出他的理论侧面，使之变得容易理解.在概念的教学中，将概念形成的过程教给学生，在探究中对概念的形成与抽象有所体验，要产生这样的探究体验，教师最好的引导途径就是问题引领.提出问题引导学生思考是数学教学的一条基本原则，在教学中，教师应当构建以问题为纽带的课堂，要求教师在教学活动中把学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过学生自主探究解决真实性问题，所提出的问题既要符合学生的认知需求、认知水平，又要能够激发学生的学习兴趣与热情.在本课例中，笔者提出了8个问题，整个问题串层层递进，不仅利于学生思维的飞跃、加深对数学本质的认识，而且通过这些经历得到了任意角的三角函数的定义.在解决问题时，学生在感性认识的基础上，借助分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，使自发性概念逐渐达到理性认识的飞跃.在概念形成的过程中，学生参与到思考、探索的活动中，成为解决问题的主体.

（二）强调概念本质教学，让学生在“学”中用

从学生学习数学概念的心理过程来看，对概念的认识是一个从具体到抽象，再由抽象到具体的过程，前一阶段是为了帮助学生建立数学概念，后一阶段是为了让学生加深理解并能运用概念进行判断推理，因而在教学过程中，我们不但要让学生经历概念形成的过程，建构任意角的三角函数的定义，还必须重视“变式”与“比较”.本课例中，在对任意角三角函数的求解时注意的事项，即利用角的终边上点的坐标，及此点到原点的距离等通过例1及变式进行辨析.其实例2可以看作任意角三角函数的特殊形式，即r=1的情形，但意义重大，在三角函数中单位圆的引入为后续研究打下基础.

（三）重视教师的示范作用，让学生在“惑”处释然

张奠宙教授在《努力诠释中国特色的数学教育理念以及实践特色》一文中，谈到中国传统的数学教育中，主张教师主导下发挥学生主体作用时说：“传道、授业、解惑并不单指教师的作用，而主要是指教师的责任，至于怎么做，不能只以教师的主观武断来实行教学，要以学生为主体来安排，教师是教学的组织者、指导者、合作者，同时也是领导者和示范者.”并强调在这一过程中教师的示范很重要，对当前课堂教学中教师作用的弱化表示很大的遗憾.在本课例中，有两处地方，教师告知学生知识点的，第一处在锐角三角函数定义到第一象限的三角函数的定义推广时，学生仍然没有脱离直角三角形，这点对于学生理解三角函数的本质是很大的障碍，第二处学生建立了锐角三角函数的概念，但自变量角是弧度，学生对弧度的理解仍需要时间，甚至到高三复习时学生仍有疑虑.因此教师在此两处选用启发后告知，将这一知识点明确化.笔者曾经读过一篇文章，我很赞同他的观点，在教学中关键的知识点学生不能解决时，直接的告知也是一种有效手段.

当然，教师的示范作用必须建立在教师研读教材、理解教材、对教材提出的问题很好地进行“理性重建”的基础上，然后选用恰当教学方法，精心组织教学，才能在教学中做到有的放矢，让静态的线性的数学知识“活”起来，“动”起来，才能优化教学效果，提高教学质量.

1.渠东剑.追求自然连贯的数学教学过程［J］.数学通报，2014（12）.

2.张红，宁锐.努力诠释中国特色的数学教育理念以及实践特色［J］.中学数学教学参考：上旬，2013（1/2）.

3.潘俭，赵雅玲.从概念学习的认知分析看数学概念教学［J］.玉林师范学院学报（自然科学），2004（25）.

4.郑良.任意角的正弦函数、余弦函数的定义［J］.中学数学教学参考：上旬，2015（1/2）.

5.徐小兵.教学示范是教师应当坚守的责任.［J］.中学数学教学参考：上旬，2015（1/2）.