丰富低段学生等号代数意义的实践与探索

颜金国

【摘 要】等号意义包括运算意义和代数意义。低段是等号意义理解的重要时期，对等号代数意义的理解是今后代数学习的基础。教学中，教师可以从“改编创生情境，凸显等号的本质含义；体验平衡材料，理解等号的代数意义；构建不同等式，培养等号的结构意识；整体入手分析，增强等号的关系意义”这四个方面来丰富低段学生等号代数意义，从而促进低段学生代数思维的萌发。

【关键词】渗透 等号 代数意义 代数思维 低段

“=”是小学数学中最重要的符号之一，等号意义包括运算意义和代数意义，对等号代数意义的理解是今后代数学习的基础。低段是等号概念理解的重要时期。因此，了解学生对等号概念的发展情形，给予适切教学情境的安排，可提高学生对等号代数意义的理解，提升学生代数解题的能力。

一、重整问题情境，凸显等号的本质含义

现有低段教材，对有关问题的安排与等式的记录，大多呈现等号左边运算、右边答案的模式，这样的安排不利于学生对等号意义的全面理解，思维方式也会逐渐固化。这就需要教师根据问题情境进行创生或适当改编一些教学素材。

（一）改编问题情境，凸显等号的本质含义

在一年级上册的“加法的认识”中，教材例题（见图1）：小丑手里有3个红气球，又拿来了1个蓝气球，问合起来是多少个气球？这个例子可以很好地体现加法的意义——合并，但从等号意义教学的角度来说，这个例题忽略了“=”的本质含义。我们可以对例题作如下改编：先出示甲、乙两个小丑，甲小丑有3个气球，乙小丑有4个气球，谁的气球多？通过怎样的变化后，两边小丑的气球数量就一样多？（见图2）

学生通过“对应”可以抽象出谁比谁多，学生在直观的感知中可以明确地感受到：左边的3个与后放入的1个组成了4个，左边的数量与右边的数量是相等的，可以很好地向学生解释“3+1=4”，从而抽象出“+“和“=”的意义，加号表示在原有的数量上增加，等号表示两边的数量相等。

（二）创设问题情境，凸显等号的本质含义

学生以直观为主的思维方式理解数学的抽象本质，这对教师来说更是一个巨大的挑战。像这样基于学生的简单操作活动，以直观的方式体会数学本质的教学，可以很好地帮助学生代数思维的萌发，积累代数活动经验。

见图3，在反馈中出现了两种方法：23-6=17、17+6=23。前者是以问题“盒子中有几个皮球”为归宿，根据“总数-部分数=部分数”来思考，这是算术方法；后者的方法则是把问题作为已知量共同参与运算，根据“盒子中的个数+盒子外的个数=总个数”这一相等关系来思考，这就是一种代数方法，也是方程的雏形。

创生这样的问题情境，可以让学生在发展算术思维的同时发展代数思维。在设计时，重点要让学生建立起相等的关系，即左边=右边，这也正是“=”的本质含义，把未知量放在与已知量同等的地位。

二、体验平衡材料，理解等號的代数意义

（一）玩转数字天平，感悟等号的平衡意义

数字天平（见图4）适合一年级学生体验操作，它有多块相同的重量板，两边各有数字、挂钩，只要把重量板挂在相应的数字挂钩上，对应的重量数字就是几。

环节一：让学生初步体验数字天平玩法，感悟由不平衡的“>”或“<”到平衡的“=”。

环节二：组织学生分别用2块、3块、4块相同的重量板来制造平衡，并用等式来表示。

环节三：讨论引导出三种等式结构，即数字与数字（4=4）、数字与式子（6=2+4、9=2+3+4）、式子与式子（3+5=6+2）。在天平平衡与等号之间建立相等的关系。

学生通过操作发现，同数就是等式、等量就是等式、总和相等就是等式。不管两边放几块重量板，只要左右两边的总和相等，天平就会平衡。这时，学生对等式意义的理解就更加全面、深入。

（二）借助直观天平，渗透等号的等价意义

二年级图示天平教学，以天平为支撑，初步渗透等式的性质，感悟多种等式结构；在列出等式的过程中，进一步理解等号表示左右两边相等的等价意义。其中片段如图5：

师：这几幅天平图可以用等号连接吗？为什么？你会用式子来表示吗？

生：○=△+△，○=☆+△，60+5=□-5……

师：用等号连接的式子我们叫它为等式。你能把不平衡的天平图变成平衡吗？（创设让不平衡变成平衡的情境，激发学生的创造热情）

……

巩固用符号化表征天平图的表示方法，让学生进一步体会和理解天平平衡与“=”之间的联系，理解等号表示天平两边平衡的关系，从而理解等号的等价意义。

三、构建不同等式，培养等号的结构意识

在小学低段，等号最初是作为得出运算结果而出现的，但是经过一定阶段后，学生对等号的认识在适当的时候要寻求突破，积极主动地构建多样化、不同结构的等式，有助于学生进一步理解等号的内涵与意义。

（一）结果在左的等式结构

数与算式的结果等值，主要结构有：A=□+□，A=□+□+□，A=□-□等。可以帮助学生打破算式总在左边，结果一定在右边的观念。如一年级“10以内数的加减”，出示7=□+3，它与3+4=7的运算意义不同，前者表示为一个数寻找等值的运算，后者表示一个运算得到的结果。A=□+□，从算术的角度可理解为数的分解，从代数的角度可理解为数与式等值，这有助于学生对等号含义的进一步理解，是学生代数思维的最初启蒙。

（二）式与式的等式结构

一个算式与另一个算式的结果等值，这就组成了式与式的等式结构，主要结构有：□+□=□+□，□-□=□-□，□+□+□=□+□+□等。比如最典型的加法等式□+5=□+4，但是学生在解题中只是看到了两个算式的和相等而不是把两个算式看作一个整体，那么学生对等式的理解仍没有得到实质性扩展。随着学习的深入，可以进一步拓展，比如□-18=□-17，15-7-2=15-□，3+4+5=4×□等。随着知识面的不断拓宽，该类题拓展的余地和空间也是越来越多。

（三）多个等号的等式结构

多个算式的结果等值，典型的结构有：□+□=□+□=□+□，□×□=□×□=□×□等。如把4、5、6、7、8、9这六个数分别填在□里：□+□=□+□=□+□。这是对学生进行等值训练，在增加配对次数情况下进一步掌握配对的方法，帮助学生突破对等号固有的狭隘理解。又如8+8+7+7=□×□+□=□×□-□=□×□+□×□，要求根据数据改编为乘加、乘减以及两积之和的形式，可以帮助学生进一步理解乘法的意义，有效沟通加法与乘法之间的联系。事实上，把两种不同的运算用等号连接，可以使学生对等号表示相等值的式子有进一步的认识。

四、整体入手分析，增强等号的关系意义

低段学生基于运算的算术思维多，造成学生关系分析能力薄弱。帮助学生从等号的运算意义过渡到等号的代数意义，是儿童必须经历的一个重要阶段。

（一）精心设计，运用关系解题的算式问题

第一，条件限制。比如，38+34=37+□。不计算，你能知道□中填几吗？由于条件的限制，学生就尽量不去用纯运算的方法来进行计算，势必会从观察、分析这几个数的关系和特点入手来解决。

第二，教师提出指示性的问题。比如，出示□+5=4+○后问，□与○之间存在怎样的关系呢？它们相差多少？学生在老师的引导下会根据和不变，利用两个已知数的关系来解决□与○之间的关系。

第三，用字母或其他符号来表示。比如，A-37-23= A-□；△+29=78，那么△+30=（ ）。由于题中的某个量用字母表示了，学生就不能用直接计算的方法来求出结果，可以引导学生用关系分析法来解决。

（二）整体入手，运用关系分析来解题

等號的代数意义要求我们从整体来把握结构，把未知量与已知量放在同等位置，认真观察和分析各个数或量之间的特点和关系，来发现规律并解决问题。

如以□-18=□-17为例，这是一道开放的题目，该题要根据两个减数之间的关系及变化情况，找出其中规律，得出两个被减数之间的关系，再来填写，解答该题的关键是引导并发现差不变，减数减少1了，被减数也要减少1，两个减数之间相差1，两个被减数之间也存在差为1的关系，学生再根据这个规律来进行填写，将关系分析的过程表征。

（三）尝试归纳，感悟等式的性质和规律

学生可以在等号的关系分析和不断训练的基础上，通过合情推理得出一些性质和规律。

如解决“23+15=26+（ ）”，在运用关系分析策略解题的基础上引导学生进行归纳：一个加数增加了3，另一个加数就要减少3。这其实就是和不变的规律。又如教学“连减问题”，在讨论并列式计算出85-40-26=85-（40+26）后，教师可以提问：你也来选择三个数模仿着试一下。你发现了什么规律？如果用□、○、△来表示这三个数，该怎么表示？归纳为□-○-△=□-（○+△）的形式。再如，“1253-569+569=1253正确吗？”可以让学生通过计算来验证上面的一系列等式是否正确，然后引导学生思考，这样的一系列等式有什么规律？最后，我们可以向学生介绍下面的表达式：□-○+○=□（“□”和“○”均代表数字），并引导学生认识到：无论第一个数是什么，只要保证减去和再加上的数是同一个数，它们的结果是不变的。

参考文献：

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[2]张丹.如何理解和发展代数思维——读《早期代数思维的认识论、符号学及发展问题》有感[J].小学教学（数学版），2012，（11）.

[3]李春英，吴恢銮，等.渗透等号的代数意义[J].小学数学教师，2015，（10）.

（浙江省杭州市富阳区富春第四小学 311400）