从理解的角度思考运算定律学习中的困难及其对策

南欲晓

【摘 要】研究表明，学生在运算定律的应用方面存在一定困难。究其具体表现和原因而言，主要在于：一是对运算定律内涵的理解只停留在浅表层次，有理解的加深但缺乏结构化的认识；二是对内涵的理解只停留在工具性理解层面，缺乏关系性的理解。

【关键词】运算定律 理解 理解增长 关系性理解

一、背景与思考

参加一次校本培训活动，两位教师分别执教了四年级和六年级毕业班复习课“运算定律的整理和复习”。两节课中，教师都先引导学生回忆学习了哪些基本运算定律，用字母公式表示后进行分类，对比各定律的异同点。无论是四年级还是六年级的学生对运算定律的公式倒背如流，且能从“位置”和“运算顺序”“符号”等方面说出公式之间的异同点。最后教师给出了不同学生的错例，进行查漏补缺和变式练习（具体的式子或者哪一种变式），两节课最大的差异是练习中的数据不同。

如果只是数据特点的差异，那么是否需要重复梳理对比运算定律呢？为了进一步研究，笔者做了一些测查和访谈。

二、测查与访谈

（一）四年级学生笔试测查

1.样本确定：随机选取不同学校43个学生为样本素材。

2.测查内容和答题情况。

题目一：56×5-□×8=（56-8）×□

题目二：442×25+358× （填上一个数使得计算简便并计算）

（二）六年级访谈调查

在访谈六年级教师时，她表示困惑不已。“有些题四年级整数查漏补缺过，五年级小数运算查漏补缺过，到了六年级还得查漏补缺，题目稍微有点不同，学生还是错。”

针对六年级的学生，意图通过学生的举例来了解他们对运算定律的理解和掌握情况。访谈中发现有以下几个现象值得作进一步思考和探讨。

现象一：交换律举例时“该写2个数还是写3个数”？

在要求学生举例子表示加法交换律时，一部分学生无从下手，问：“加法交换律该写2个数的，还是写3个数的？”其余学生对加法交换律研究是“2个”“3个”感到茫然，甚至展开了争辩。

现象二：乘法分配律只能是“a×（b+c）”的结构吗？

学生举例乘法分配律时更多的停留在a×（b+c）的结构上，比如25×（4+8）类似的例子运用计算。进一步追问：乘法分配律只能用在3个数的计算中吗？2个、4个、5个甚至个数更多可以吗？没有相同的数a是否也有可能用乘法分配律进行简便计算呢？如果运算的符号不止乘和加的关系有没有可能用乘法分配律？

我们发现，学生只是在数的大小进行变化，无法在结构上实现变化，对于乘法分配律例子局限于平时经常用到的一些标准变式。对于变式度较高的具体例子，如8.6×8.6÷3，大部分学生选择合适的运算律是有困难的，问：它能用学过的定律来进行简便运算吗？生：从符号看好像没有可以用的定律。

我们发现，学生在运算定律的应用中结构模糊，对于具体例子中运算律的选择有困难。应用中“看上去都会，深入却不大会”说明学生对运算定律停留在形式模仿的层面会更多，对定律的理解是浅层次的。对此，笔者针对运算定律复习课中学生的一些困难展开思考和探索。

三、分析

如何对学生学习运算定律进行评价？人教版教材教师教学用书四年级下册第68页中指出：对知识技能的评价重点围绕对“运算定律”内涵的理解和运用两个方面进行。在数学基本思想和基本活动经验的考查上，需关注学生对运算定律与运算意义之间的关系的理解，以及在结合运算定律或性质进行简便计算时，方法的合理性的理解。那么，学生应用定律的困难需要我们从运算定律内涵的理解角度寻找原因。

（一）运算定律内涵的理解已产生并逐步加深，但无法达到“结构性理解”的程度

从学生提出“加法交换律的例子是两个数还是三个数”中我们能体会到学生对加法交换律内涵的理解是浅层次的，“加法是把两个数合并成一个数的运算”这一内涵是教学需要把握的实质。

看似简单的加法交换律对于其本质的理解还是有所欠缺的，这种欠缺来自哪里呢？回顾学生学习的过程，先是借助大量的两個具体数的例子，通过不完全归纳定律后用字母公式表示加法交换律。“当学生能够将信息从一种表征形式转化为另一种表征形式，理解就产生了。”

理解产生后，在学习分数和小数的加法运算中发现也可以使用加法交换律，并可以运用定律使得计算更加简便，这种过程促进了理解的增长。我们知道理解增长的方式有两种，一种是量的增加，就如把整数加法交换律和小数分数加法交换律联系起来。第二种是结构的重新组织，比如学生提出的“两个数还是三个数”的问题，需要对三个数进行重新建构，体会三个数其实就是两次和的过程，这一过程重新建构的核心是对“加数是把两个数合并成一个数的运算”内涵的理解。

同样的道理，在举例子表示乘法分配律时只能用在3个数的计算，要在个数上进行变式，需要对结构重新组织，促进理解的增长。我们知道，理解乘法分配律内涵的关键是乘法的意义，同样，判断是否符合规律也可以依据乘法意义进行，如果对内涵的理解不够，学生也无法重新解释。

学生对运算定律的理解已经产生并也有理解逐步加深的表现，但是无法达到“结构性理解”的高度，由此对结构的重新解释往往是困难的。

（二）更多停留在工具性理解上，关系性理解上难突破

Skemp将数学的理解分为工具性理解和关系性理解。所谓工具性理解是指知道怎么做但是不知道其中的道理。关系性理解是指既知道怎么做又知道为什么这样做。比如从教师“有些题四、五、六年级都做过，题目稍微有点不同，学生就错”的这句话中我们能体会到学生对运算定律的理解停留在工具性理解上，也就是说学生通常更关心怎么做，而不大去思考为什么可以这样做及更进一步还可以怎么做。

在学习运算定律的初期时，如果教学只关注如何进行简便计算，强调简算形式的话，学生可以依据固定的程序很快得到标准变式，且有易懂、易模仿的优势，但这不利于学生在全新的情境中去应用，也就是无法顺利迁移，容易导致学生在进行具体例子简算因形式上的模仿而出错。比如“442×25+358×25”做的又对又快，但是题目稍作变化如“442×25+358× ”学生的正确率就下降。部分学生无法找到它与基本定律之间的相似性和差异性，也就是无法找到基本结构和变式题之间的内部联系。

在56×5-□×8=（56-8）×□解答中，我们发现许多学生无法找到它与分配律a×（b+c）= ab+ac之间的联系，学生说：“没有两个数凑整，好像不能用分配律。”学生对于a×（b±c）= ab±ac中bc之间的凑整的感知比较强烈，而对a作为相同数以及分配律的内涵理解是不够的。我们知道，乘法分配律的模型是固定的，具备三个基本特征，而例子恰恰是丰富的。

学生在大量“变式的例子”中发现其具备定律的结构和模型是有一定困难的。也就是说在这个过程中，教师没有进一步引导学生发现“变化的结构”和“不变的本质”，并对照自己原先的想法修正、完善、建构，促进对乘法分配律新的关系性理解，也就是进一步思考为什么可以这样做及更进一步还可以怎么做。

四、实践

（一）对加法交换律的实践思考

1.在应用的背景下产生加法交换律。

A.提供素材，学生计算。

75+168+25 21+67+19 347+418+353

B.交流过程，提出问题。如你为什么要先把75+25？这样计算改变了什么？这种变化是否可以？

C.思辨交流，感受产生。

加法交换律对于学生来说已经非常熟悉，从一年级的“一图两式”“一图四式”中感受到加法的意义是两个部分的合并，至于哪个部分在加号前哪个部分在加号后都是表示合并的过程。因此，在简算的过程中产生研究加法交换律的必要性显得尤为重要了，也就是说学生对“是什么”已经有一定的经验，那么需要引领学生进一步思考“为什么学”“学了什么用”的关系性理解上来。

2.加强定律公式到具体例子的表征转化。

A.任务：请你举2到3个例子说明加法交换律。

B.反馈学生生成的素材，如3+2=2+3，8+7+2=8+2+7。

C.思辨：这道算式是不是用了加法交换律，你的判断标准是什么？这些例子中谁是加法交换律中的a和b？凑整的两个数怎么不是加法交换律中的a和 b？

两个数的交换是为了凸显概念的本质“和不变”，3个数是为了明确加法交换律的应用。在六年级学生访谈中，意外的是学生纠结“三个数应用简便中，谁是加法交换律中的a和b”。学生一直认为加法交换律中a和b就是凑整的两个数，而在每一个例子中发现，交换位置的两个数不一定凑整，往往其中a或者b与其他数之间进行凑整。如8+7+2=8+2+7例子中，a、b分别是2和7，但是凑整的是8和2。我们发现，学生对于加法交换律运算结构非常熟悉，但是对在运用中的结构却十分模糊。因此，需要加强学生a+b=b+a的字母结构与具体例子的对应关系，逐步实现两种表征之间的转化，获得对加法交换律的理解。

（二）对乘法分配律的实践思考

乘法分配律相对于其他基本运算定律而言较难，学生对于它基本结构的建立是非常牢固的。如果请学生运用运算定律进行简便计算，如2.5×4×11和2.5×（40+4），学生几乎没有错误，但是在计算2.5×4.4时错误率就大大提高了，把乘法分配律和乘法结合律混淆起来，容易拆分成2.5×4×2.5×0.4或者4×25×0.4。显然，学生在形式上做了进一步拆分，但是对这种拆分的意义思考和理解是不够的，为了达到简便计算的目的，导致规则错误，这是造成学生运用乘法分配律的难点之一。

1.基本结构的特征。

B.问题：乘法分配律中的数和符号有什么特点？

C.归纳：一般乘法分配律是对3个数进行分配，其中有相同数a，研究的符号是乘加，这就是乘法分配律最基本的特征。（板书：3个数、乘加、相同加数a）

2.基本结构的变式——“破个数”。

A.举例：刚才我们发现乘法分配律是对3个数的分配运算，那大胆地想一想：能不能举出不是3个数的例子？比如2个数、4个数……（学生举例）

B.反馈：挑2个类似2.5×44结构的例子，让全体同学进行简便计算，并展示两种方法。

2.5×44=2.5×4×11 2.5×44 =2.5×（40+4）

C.提问：都是由44拆分得到的，两种方法有什么不一样吗？拆分后表示什么意思，你能举个生活中的例子说明吗？拆分成加法结构的要用什么定律？拆分成乘法结构呢？运用乘法分配律计算两个数相乘时，公式中“a、b、c”分别在哪儿？

D.反馈： 2个数可以，3个数也可以，那4个数行吗？

引導：跟以上结构不同的4个数能不能用乘法分配律？学生举例。生成a×（b+c+d）和a×b+a×c两种不同方向结构的具体例子。

追问：5个数的运算是否有应用乘法分配律的情况？a×b+a×c+a=a×（b+c+1）中易错点。

借助乘法意义，理解10个a可以拆分成4个a和6个a的和。也可以拆分成2个a，3个a，5个a的和。从意义角度入手，理解拆分的是个数，个数可以从2个突破到3个，4个，5个……乘法分配律的内涵是乘法的意义，基于定律和意义的关系理解，让学生在不断的变式中感受方法的合理性。

E.反思：关于乘法分配律重新让你举例子，你储备了哪几个具有代表性的例子？

3.基本结构的变式——“破符号”。

A.过渡：刚才我们借助举例子，突破了运算定律的固定模式，发现乘法分配律可以对不同个数进行运算，但是这些都是“乘加”结构的运算，难道运算符号一定要乘加吗？能变吗？

C.小结：原来乘减也可以用分配律，除法也可以转化成乘加进行简便运算。

4.基本结构的变式——“破相同数a”（编号不清）。

A.引导：如果没有相同数a，还能用乘法分配律简便计算吗？

B.学生尝试检索例子。

乘法分配律新授时侧重基本结构的“立”，抓住基本结构的核心要素。还需再进一步实现对基本结构的“破”，引领学生从乘法分配律的基本结构到变式题如何形成的过程，感受到基本结构可以从哪些方面进行突破，感受“破”的维度，逐步完善对分配律的理解，以此实现更好的迁移。从标准到非标准的变式转化，实现基本结构和变式方向的关系性理解。

参考文献：

[1]L.W.安德森.学习、教学和评估的分类学[M].皮连生，等，译.上海：华东师范大学出版社，2008：63.

（浙江省永嘉县教师发展中心 325100）