对一道省赛压轴题的本源探究与推广*

●吴银生

(温州市第八高级中学 浙江温州 325000)



对一道省赛压轴题的本源探究与推广*

●吴银生

(温州市第八高级中学 浙江温州 325000)

2016年浙江省数学竞赛一试最后一题数列题，得分率非常低，问题的根源在于对于此题的本源难以揭示.文章从“整体代换”与“唯一分解”2个角度揭示问题的本源，并进行拓展与延伸.

数列；数学归纳法；整体代换；唯一分解

1 问题提出

题目 给定数列{xn}，证明存在唯一分解xn=yn-zn，其中数列{yn}非负，{zn}单调不减，并且yn(zn-zn-1)=0,z0=0.

(2016年浙江省高中数学竞赛一试试题)

本题的得分率非常低，无论教师还是学生都感到无从下手，甚至看标准答案都有点“云里雾里”.究其根源在哪里？是对本题的本源难以揭示.

2 揭示本源

2.1 本源问题1

2.1.1 问题阐述

将zn-zn-1看成一个整体，然后利用代换的思想进行解决.

于是有序对

分析 只需证明对任意的正整数n，满足

的(yn,zn)存在且唯一.

下面用数学归纳法证明：

当n=1时，y1(z1-z0)=y1z1=0,从而

假设当n=k时，命题成立，则当n=k+1时，命题等价于

若xk+1+zk≥0，则

于是

若xk+1+zk<0，则

于是

命题成立.

因此，对于任意的自然数n，命题均成立，原问题得证.

2.1.2 追溯考题

“整体代换”的思想在解决一些习题中常常能发挥别样的精彩.

例1 已知f(x)=ax2+bx，满足1≤f(-1)≤2且2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围.

解 由已知可得f(1)=a+b，f(-1)=a-b,则

于是

f(-2)=f(1)+3f(-1).

又f(-1)∈[1,2]，f(1)∈[2,4]，故f(2)∈[5,10].

解 同例1，可以用f(0),f(1),f(-1)来表示a,b,c.因为f(-1)=a-b+c,f(1)=a+b+c,f(0)=c,所以

c=f(0),

f(0)(1-x2).

2.2 本源问题2

2.2.1 问题阐述

分析 当n=1时，y1z1=0，则

从而x1的正负决定分解方式且唯一.

假设当n=k时，xk=yk-zk分解唯一.那么，当n=k+1时，令yk+1=ayk,zk+1=bzk,由yk+1(zk+1-zk)=0，即

ayk(bzk-zk)=0,

从而a=0或b=1.又数列{yn}非负，{zn}单调不减，且z0=0，则

yn≥0,zn≥0,

从而

于是

xk+1=ayk-bzk，

即

zk+xk+1=ayk-(b-1)zk.

令b-1=c，则

zk+xk+1=ayk-czk，

其中zk+xk+1,yk,zk是已知的，由n=1时的结论可知分解唯一.

2.2.2 拓展与推广

推广1 给定数列{xn}，存在唯一分解xn=yn-zn，其中数列{yn}单调不减，{zn}单调不减，且

(yn-yn-1)(zn-zn-1)=0,y0=z0=0.

证明 当n=1时，y1z1=0,则

从而x1的正负决定分解方式且唯一.

假设当n=k时，xk=yk-zk分解唯一，那么，当n=k+1时，令yk+1=myk,zk+1=nzk,又(yk+1-yk)(zk+1-zk)=0,即

(m-1)yk(b-1)zk=0,

从而m=1或n=1.又数列{yn}单调不减，{zn}单调不减,y0=z0=0,则y0≥0，z0≥0，从而

于是

xk+1=myk-nzk,

即

xk+1+zk-yk=(a-1)yk-(b-1)zk.

设a=m-1,b=n-1,则xk+1+zk-yk=ayk-bzk,其中xk+1+zk-yk，yk，zk已知，由上面的结论可知分解唯一.

研究发现，当k=0时，推广2显然不成立；当k为负整数时，也不成立，于是笔者猜想：

分析 当k为正奇数时，与文首给出的原题证法一致，猜想成立.当k为正偶数时，不妨先证明k=2的情况:

即zk+1=zk，于是

又xk+1,zk是已知的，因此yk+1确定，分解唯一.

在证明方法中，都没有考虑xn=0的情况.由此推广，当k为正偶数时，与k=2证法一致，猜想成立.

�2016-05-19；

2016-06-27

吴银生(1984-)，男，浙江温州人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O122

A

1003-6407(2016)11-45-03