回眸浙江近5年高考理科函数综合题*

●洪昌强 陈淑丽

(台州市第一中学 浙江台州 318000)



回眸浙江近5年高考理科函数综合题*

●洪昌强 陈淑丽

(台州市第一中学 浙江台州 318000)

函数是中学数学的核心内容，贯穿于整个数学，函数综合题更能检测各种数学素养和数学能力，因此,函数综合题成了高考命题的重头戏.回眸浙江省近5年数学高考理科函数综合题，重点考查推理论证能力、运算求解能力和数形结合思想.

函数综合题；推理论证;运算求解；函数图像

1 试题特征

纵观浙江省近5年数学高考理科函数综合题，函数类型可归结为f(x)=ax3+bx2+cx+d，函数表达式中含有1个或2个参变量，所研究的问题主要有：求闭区间上的最值或与最值有关的不等式证明；函数值限制在一个闭区间的条件下，求形如z=am+bn的取值范围,其中a,b是参数.试题注重主干知识的考查，涉及导数、单调性、最值、绝对值、不等式、线性规划等基础知识，思想方法有数形结合、分类讨论、方程思想、化归思想.试题通过在知识网络交汇点设计问题,既坚持立足考通性、通法，又将知识和能力融为一体.前3年安排在试卷的最后一道，每题分值为14分；后2年调整到解答题中间位置，分值为15分.

2 能力立意

浙江省近5年高考函数综合题所给的函数式蕴涵着丰富的创新素材，函数不仅均含有1～2个参数，而且涉及绝对值符号的处理，将函数处于动态之中，推理论证和数学运算、直观想象达到深度融合，做到高考对推理论证能力、运算求解能力、几何直观与想象能力、综合分析问题和解决问题能力与创新意识的考查落到实处.

2.1 推理论证能力

2.1.1 合情推理

(1)

的正负值，大部分学生到此做不下去了.若取a=0，不难发现

式(1)是含有a的因式，通过分子有理化得

又如2015年浙江省数学高考理科第18题的第2)小题可以从以下2个方向思考:

思路1 从特殊点入手.因为M(a,b)≤2，所以

|f(-1)|≤2且|f(1)|≤2，

即

-3≤-a+b≤1, -3≤a+b≤1.

从而

|a|+|b|≤3.

下面只需验证当|a|+|b|=3时，能达到就行.

思路2 从局部入手，取其特殊部分.当-2≤a≤0且b<0时，由M(a,b)≤2得

从高考答题情况来看，考生对合情推理掌握得不够好，新课程下的高考更关注合情推理的考查.

2.1.2 演绎推理

数学是演绎性科学，数学结论的正确性必须证明，体现了数学思维的特征，强调数学的科学性、严谨性、抽象性.高考对演绎推理的考查在函数综合题中显得十分突出，演绎推理常用的方法有分析法、综合法、反证法等.如2015年浙江省数学高考理科第18题的第1)小题中要证M(a,b)≥2,先看|f(x)|在何处达到最大值:当|a|≥2时,|f(x)|在[-1，1]上是单调的，因此，M(a,b)必是|f(1)|或|f(-1)|.下面只需证|f(1)|和|f(-1)|的最大者不大于2就行.

思路1 分以下4种情形讨论:1)a≥2且b≥-1;2)a≥2且b<-1；3)a≤-2且b≥-1;4)a≤-2且b<-1.

思路2 先平方后作差,再分类讨论,达到化整为零的效果.

思路3 从整体考虑，因为

|f(1)|+|f(-1)|≥|f(1)+f(-1)|=2|a|≥4，

所以|f(1)|和|f(-1)|必有一个不小于2，从而M(a,b)≥2.

思路4 若|f(-1)|<2，则

|1+a+b|= |1-a+b+2a|≥

2|a|-|1-a+b|≥2,

即

|f(1)|≥2.

思路5 反证法.

由于各个考生积累的知识和理解能力不同，因此看问题的角度不一样，对问题理解的深度不一样，对问题的认识广度不一样，对问题的情怀强弱不一样，他们答题的思路也不一样.此题入口较宽,让不同的学生有展示自己思维的空间,获得更多的成功机会,体现了高考命题尊重学生、重视个性选择的新课程理念.这不仅检测了考生用事实、实证、逻辑、推理和论证进行思维的能力，更是对学生综合分析与理解能力的考查.

2.2 运算求解能力

运算能力是数学的基本能力，学好数学首先要学会算，运算能力直接影响其他能力的形成，运算能力在高考中有着举足轻重的作用.代数式变换是解决函数问题的基石,通过有针对性的变换,使隐含在式子中的数量关系或图形结构关系为更明朗、更自然、更亲近，进一步缩短条件与结论的逻辑距离.代数式常用的变换方式有：拆分、组合、换元、消元、估算.

2.2.1 拆分与组合

一个“好”的式子，能为解题提供有价值的信息.怎样让式子成为“好”式？需要解题者对式中变量的次数、各项系数以及整体结构进行观察和分析，寻找它们之间的内在关系，抓住特征，根据需求进行拆分和重新组合，让式子各项之间配合默契，达到整体和谐.如2016年浙江省数学高考理科第18题，在确定F(x)时，对a≥3且x<1需要判断x2-2ax+4a+2x-4的符号，这是本题关键的一步,也是解决此题的一道关卡.平常对二次型多项式的符号研究,往往是进行配方或因式分解变换.对各项采取不同的组合方式，常会产生不同的解题效果,如：

x2-2ax+4a+2x-4=(x+1)2+4a-2ax-5>0,或x2-2ax+4a+2x-4=(x-2)(x+4-2a)+4>0. 观察力较强的考生,打破思维定势,发现式中除了第1项x2后的4项恰好可以因式分解,无需对式子进行重新配方，即

x2-2ax+4a+2x-4=x2+(a-1)(4-2x)>0.

考试中也有一些考生把原式变形为：

x2-2ax+4a+2x-4=(x-2)(x-2a+2)+2x,或x2-2ax+4a+2x-4=(x-a+1)2-a2+6a-5.这样对式子的符号判定带来较大的麻烦.

一个成功的变换，既从整体上把握，又在局部上深入，透彻分析条件与结论之间的因果联系.发掘问题本质，是良好思维品质的重要体现,这也是高考重点考查的目标之一.

2.2.2 换元

换元的目的是改善“差”的环境，提高过程与目标的吻合度.如2012年浙江省数学高考理科第22题的第1)小题:

思路 可转化为求f(x)的最小值问题,特别是当0

要证

只需证

此式不仅含有根号、分式、绝对值，而且出现的2个字母a,b与学生所认识函数的自变量“x”存在一定的差异.问题的情境与函数联系较远，对于函数思想在新情境中应用能力不足的考生，难以想到把问题转化为函数进行处理.若从整体换元思想出发，上式可化为

接下去用函数处理就十分自然,通过整体换元将问题化繁为简，化生为熟.命题的设计意图是考查学生观察、分析、判断以及在实际情境下的知识迁移能力.通过分析式子的特征，结合求解目标，破除思维定势，重新调整式子结构，合理选择新主元，往往达到化繁为简、化难为易之功效.这不仅考查了考生数学思维能力和想象能力，更是对高层次理性思维的检测.

2.2.3 消元

当代数式中含有多个变元时，常会产生“散”“杂”抓不住“主”的感觉，容易造成对式的变换方向迷失,若进行消元处理,则柳暗花明又一村.常见的消元方法有:代入消元、放缩消元.如2012年浙江省数学高考理科第22题的第2)小题：

思路1 当b≤2a时，

f(x)+|2a-b|+a=4ax3-2bx+2a；

当b>2a时，

f(x)+|2a-b|+a=4ax3-2bx+2b-2a.

接下去如何证明在[0，1]上4ax3-2bx+2a≥0和4ax3-2bx+2b-2a≥0成立？若直接利用导数知识证明，不仅会出现重复运算，而且式子中含有2个字母，计算比较繁琐，容易出错.这也是本题得分偏低的主要原因之一.若先比较这2个式子的结构特征，寻求它们之间的联系，不难发现2个式子的各项系数不仅含有字母a或b且是1次,如何发挥条件b≤2a(或b>2a)的作用？能否对各式进行消元?当b≤2a时，

4ax3-2bx+2a≥2a(2x3-2x+1)；

当b>2a时，

4ax3-2bx+2b-2a= 4ax3+2b(1-x)-2a>

2a(2x3-2x+1).

这样问题转化为只需证明2x3-2x+1≥0,这是命题者的巧妙设计.放缩消元难度较大,灵活性较强,高考以此检测考生思维的灵活性、批判性，这是创新性人才必须具有的思维品质.

2.2.4 估算

浙江省数学高考函数综合题对运算能力的要求重在思维层次上，让学生在“算中悟，在悟中求灵活，在灵活中求精准”，将运算技能与思维能力交织在一起.从以上分析知，学生的代数式变换能力薄弱是导致函数综合题得分低的主要原因之一.具体表现在学生运算求解推理时缺乏自我提问：要变吗？变什么？怎么变？有无更好的变法？学会学习、学会提问是新课程所倡导教学理念，这也是高考对学生“独立思考、探索和研究”思维习惯的检测.

2.3 几何直观想象能力

函数图像是函数的一种表示法.图像具有直观性，因此图形是研究、探索函数性质的常用工具.问题大多时候有其几何背景，可用几何意义来进行解释.利用数形结合思想解题，更能支撑思维活动，帮助发现思路.借图处理函数最值问题,关键要做好2步：第1步，构建适用的函数；第2步，捕捉图像的“穴点”.

2.3.1 构建适用函数

“好”的图形有助于问题解决，如何得到“好”的图形，让图形的优势在解题中得到充分发挥.首先要构建适用的函数，是直接选择原来的函数还是重新构建更好的函数；构建1个还是2个函数；选哪个函数为静态，哪个函数处于动态.如2015年浙江省数学高考理科第18题的第1)小题:可以直接作f(x)的图像，也可以作|f(x)|图像，还可以将|f(x)|=|x2+ax+b|视为曲线C:y=x2与直线l:y=-ax-b上相同横坐标下的2个点之间的距离.另外，此题得出M(a,b)取|1-a+b|或|1+a+b|后，在比较|1-a+b|和|1+a+b|与2的大小时，可以根据绝对值的几何意义，将|1-a+b|和|1+a+b|分别视为数轴上动点P(1+b)到区间[-2，2]外点A(a)和A(-a)的距离.由数转化为形是思维过程一个较大的跨越，而怎样构建合适的函数，是数形结合至关重要的一步，此时更能检测考生分析、选择和判断的能力.

2.3.2 捕捉图像“穴点”

揭示隐含在图形中的数学逻辑结构关系，是数形结合的重要环节.函数最值常与图形中界点、切点、极点、定点、交点等有着密切联系.因此画图时要高度关注这些“穴点”的相对位置.如2014年浙江省数学高考理科第22题的第1)小题：因为y1=x3+3x-3a的图像单调上升,无极点，与y轴的交点为(0，-3a)；y2=x3-3x+3a与y轴的交点为C(0，3a)，极大点为A(-1,2+3a),极小点为B(1,-2+3a),且2个图像的交点为D(a,a3),所以作f(x)的图像只需抓住2个极点、2个端点、界点(交点)的位置关系，并分3种情形：1)a>1；2)-1≤a≤1;3)a<-1，分别作出对应的图像，结合图像求出函数最大值、最小值.又如2016年浙江省数学高考理科第18题的第2)小题:只要抓住f(x)图像中以下“穴点”:A(1,0),B(2,2),C(2a,4a-2),D(a,-a2+4a-2),E(0,2),其他问题就迎刃而解了.

定性引路和定量分析是数学思维的基本方式,数形结合是解决函数问题的重要工具.高考重视数形结合思想考查，主要是检测考生对数学思想方法的掌握程度.从高考答题情况来看,尽管教师在平时教学中比较重视数形结合思想,但学生数形结合能力还是较弱，值得深思.

3 教学启示

由以上分析知,浙江省高考函数综合题的推理过程中的每一个重要步骤都需要深度思考，这不仅需要考生有扎实的数学基本知识，而且要具有较强的数学思维能力和良好的心理素质.因此在教学中，首先要求学生构建良好的知识体系,深刻理解概念、定理、公式的来胧去脉.波利亚曾说过：货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本．其次，掌握数学中各种常用的思维方法，如观察、试验、归纳、演绎、类比、猜想、分析、综合等,灵活运用数学思想方法. 第三，培养学生一题多解、一题多变能力,善于总结分析,积累解题经验，有助于直觉性题感的形成,促进对解题成功的思路和问题的结果产生预感、预测、预见.

�2016-07-31；

2016-09-13

洪昌强(1963-),男,浙江台州人,中学高级教师.研究方向:数学教育.

O122

A

1003-6407(2016)11-29-04