二阶线性递推数列的一个非常好的性质

郑宏宝

当数列{an}的递推式满足an+2+pan+1+qan=0（p，q∈R，n≥1）时，称数列{an}是一个二阶线性递推数列.这个数列是我们非常熟悉的，可以应用特征方程法求其通项.然而有些时候通项并不是我们所关心的，我们更关心的是这个数列所具有的一些性质，况且往往这种数列通项的形式非常繁琐.这里介绍一个二阶线性递推数列的非常好的性质：

若数列{an}满足二阶线性递推式，即an+2+pan+1+qan=0（p，q∈R，n≥1），则数列{a2n+1+pan+1an+qa2n}构成等比数列，且公比为q.

证明：首先构造参数λ1，λ2，使得an+2-λ1an+1=λ2（an+1-λ1an）.

与原递推式相比较，发现λ1+λ2=-p，λ1λ2=q，这也就是说λ1，λ2为方程

x2+px+q=0的两根，这就是我们所熟知的特征方程.于是{an+2-λ1an+1}构成公比为λ2等比数列，进而可以求出{an}的通项公式.

我们发现，参数λ1与λ2的地位是等价的，也就是说求出来λ1和λ2之后，原递推式变为an+2-λ1an+1=λ2（an+1-λ1an）①或者an+2-λ2an+1=λ1（an+1-λ2an）②

将①式与②式相乘，得：a2n+2+pan+2an+1+qa2n+1=q（a2n+1+pan+1an+qa2n）.

注：特别的，当q=1时，数列{a2n+1+pan+1an+qa2n}为常数列.

例1 数列{an}满足a0=1，an+1=7an+45a2n-362，n∈N，证明：

（1）对于任意的n∈N，an为整数；

（2）对于任意的n∈N，anan+1-1为完全平方数.

证明 （1）根据题目条件an+1=7an+45a2n-362，即2an+1-7an2=45a2n-36，

a2n+1-7anan+1+a2n=-9①，取n=n+1，再写一项，即a2n+2-7an+2an+1+a2n+1=-9.

发现an+2和an为方程x2-7an+1x+a2n+1=-9的两个根，根据韦达定理，有

an+2+an=7an+1，即an+2=7an+1-an.因为a0=1，a1=5，所以第一问归纳即证.

（2）第二问我们应用一下上述结论，因为an+2-7an+1+an=0，q=1，即

a2n+1-7an+1an+a2n=a21-7a1a0+a20=-9②，两边同时加上9an+1an，得：anan+1-1=an+1+an32.因为左边是整数，an+1+an3是有理数，所以an+1+an3一定也是整数，得证.

在证明的过程中我们发现，②式与①式完全相同，也就是说②式实际上并不需要我们之前所讲的结论也可直接得到.似乎并没有看到这条结论有什么特别好的地方，那么下面这道题就可以显示其作用.

例2 数列{an}满足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-an，n≥1.求证：对任意正整数n，anan+1-5是完全平方数.

证明 直接应用上述结论，因为an+2-3an+1+an=0，其中q=1，所以

a2n+1-3an+1an+a2n=a22-3a2a1+a21=-5.兩边同时加上an+1an，即得

anan+1-5=（an+1-an）2.又归纳易证an为整数，所以anan+1-5是完全平方数，得证.

下面这道题留给读者作为练习.

练习1 数列{an}满足a1=20，a2=30，an+2=3an+1-an，n≥1.求所有的正整数n，使得1+5anan+1是完全平方数.

看了上述的例子之后我们还是感觉此定理的应用很有局限性，即题目必须将数字配凑得非常好，才能直接应用解题，而大部分题目用该结论并不能得到.但是，如果将此定理和数学归纳法结合在一起，将会成为一个非常强大的工具.

例3 数列{an}满足a1=a2=1，an+2=7an+1-an，n≥1.求证：对任意的正整数n，an+an+1+2是完全平方数.

证明 先写出前几项找找规律：a1=a2=1，a3=6，a4=41，a5=281，a6=1926.a1+a2+2=4=22，a2+a3+2=9=32，a3+a4+2=49=72，a4+a5+2=324=182，a5+a6+2=2209=472.

观察数列2，3，7，18，47，…从而猜想an+an+1+2=b2n，其中b1=2，b2=3，bn+1=3bn-bn-1（n≥2）.下面用归纳法来证明.

当n=1，2时，命题成立.假设当n≤k时命题成立，考虑n=k+1时的情况，我们要证明：an+2+an+1+2=b2n+1.由熟知的结论，b2n-3bnbn-1+b2n-1=b22-3b2b1+b21=-5，从而3bnbn-1=b2n+b2n-1+5，于是，

b2n+1=（3bn-bn-1）2=9b2n-6bnbb-1+b2n-1=9b2n-2（b2n+b2n-1+5）+b2n-1=7b2n-b2n-1-10

由归纳假设，b2n+1=7（an+an+1+2）-（an-1+an+2）-10=7an+1+6an-an-1+2=an+1+an+2+2

因此当n=k+1时命题成立.

故对任意的正整数n，an+an+1+2=b2n是完全平方数.

从此题可以看出，一般的数列问题如果比较麻烦，可以先写出几项猜猜结论，然后归纳完成证明.本题构造了辅助数列{bn}，发现{bn}是二阶线性递推数列，在归纳证明时用到了我们之前所说的结论.