周期数列中的常见结论及应用*

安徽省砀山中学(235300)盖传敏

周期数列的定义对于数列{an},若存在正整数T,使得对于任意正整数n,都有an+T=an,则称数列{an}为周期数列.其最小正周期记为T.

结论1在数列中{an},若存在正整数k,使得对于任意正整数n,都有an+k=-an,则数列{an}是周期为2k的周期数列.

证明因为an+2k=-an+k=an,所以数列{an}是周期为2k的周期数列.

结论2在数列{an}(an/=0)中,若存在正整数k,使得对于任意正整数n,都有则数列{an}是周期为2k的周期数列.

证明因为所以数列{an}是周期为的周期数列.

结论3在数列{an}(an/=0)中,若存在正整数k,使得对于任意正整数n,都有则数列{an}是周期为2k的周期数列.

证明因为所以数列{an}是周期为的周期数列.

结论4在数列{an}中,若存在正整数k,使得对于正整数n(n＞k),都有an=an-k+an+k(n＞k),则数列{an}是周期为6k的周期数列.

证明由

可得

①式加②式可得an+2k=-an-k(n＞k),即an+3k=-an(n∈N+).由结论1可知数列{an}是周期为6k的周期数列.

结论5在数列{an}(an/=0)中,若存在正整数k,使得对于正整数n(n＞k),都有an=an-k·an+k(n＞k),则数列{an}是周期为6k的周期数列.

证明由

可得

结论6在数列{an}中,若存在正整数k,使得对于任意正整数n,都有an+an+1+an+2+···+an+k-1=m(m∈R),则数列{an}是周期为k的周期数列.

证明由

可得

⑥式减⑤式得an+k-an=0,即an+k=an,所以数列{an}是周期为k的周期数列.

结论7在数列{an}(an/=0)中,若存在正整数k,使得对于任意正整数n,都有an·an+1·an+2·····an+k-1=m(m∈R,m/=0),则数列{an}是周期为k的周期数列.

证明由

可得

⑧式除⑦式可得an+k=an,所以数列{an}是周期为k的周期数列.

结论8在数列{an}中,若存在正整数k,使得对于任意正整数n,都有an·an+1·an+2·····an+k-1=an+an+1+an+2+···+an+k-1,且an+1·an+2·····an+k-1/=1,则数列{an}是周期为k的周期数列.

证明由

可得

⑩式减⑨式可得

(an+1·an+2·····an+k-1-1)(an+k-an)=0,

又因为an+1·an+2·····an+k-1/=1,所以an+k=an,即数列{an}是周期为k的周期数列.

应用

例1(高一“希望杯”试题)数列{an}对于每个n≥3(n∈N+)都有an=an-1-an-2,若前2015项和为a(a/=0),则S5=()

解析an=an-1-an-2(n≥3)变形可得an=an-1+an+1(n≥2).由结论4可知数列{an}是周期为6的周期数列,所以S5=S2015=a,故选A.

例2(北京高考题改编)设数列{an},a1=2且满足对任意n∈N+,都有an+an+1=5,则a2018=___.

解析因为an+an+1=5,由结论6可知,数列{an}是周期为2的周期数列,所以a2018=a2=3.

例3(河南高中数学竞赛题改编)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且对n∈N+,有an·an+1·an+2=an+an+1+an+2(an+1·an+2/=1),则S2019=____.

解析由结论8可知,数列{an}是周期为3的周期数列,由a1=1,a2=2可得a3=3,所以S2019=673×(a1+a2+a3)=4038.