从“圆”题谈起

陕西省西安市高新区高新第三中学 吕二动

陕西省西安市西北大学附属中学 郭 涛

题目如图1,圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的左侧),且|MN|=3.

(I)求圆C的方程;

(II)过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证：∠ANM=∠BNM.

图1

解(I)设圆C的半径为a(a＞0),则由题意得圆心坐标为(a,2),因为|MN|=3,所以故圆C的方程为

(II)证明：把y=0代入方程

解得x=1或x=4,即点M(1,0),N(4,0).

(i)当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),由

得

因为点M在圆O内,所以上述方程有两实根,设A(x1,y1),B(x2,y2),从而

因为

即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM.

(ii)当直线AB⊥x轴时,∠ANM=∠BNM成立.

综上,∠ANM=∠BNM成立.

一、命题研究与拓展

笔者对此题进行研究发现M(1,0),N(4,0)两点的横坐标之积为r2,便有下面结论：

结论1过圆C:x2+y2=r2内一点M(x0,0)作一条直线与圆C相交于A,B两点,点连接AN,BN,则∠ANM=∠BNM.

此结论的证明仿照前面题目.

笔者继续对此题进行研究,猜想此结论能否推广到椭圆、双曲线、抛物线呢?答案是肯定的.

结论2已知椭圆C:1(a＞b＞0).过椭圆内一点M(x0,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,点连接AN,BN,则有∠ANM=∠BNM.

证明设直线l的方程为：x=my+x0,A(x1,y1),B(x2,y2),由

消去x得：

所以

因为

即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM.

注当点M为右(左)焦点时,点N对应的点正好为右(左)准线与x轴的交点.

结论3已知双曲线C:=1(a＞0,b＞0).过x轴上一点M(x0,0)(x0/=0)的直线与双曲线C相交于A,B两点,点连接AN,BN,则有∠ANM=∠BNM.

证明设直线l的方程为：x=my+x0,A(x1,y1),B(x2,y2),由

消去x得：

所以

因为

即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM.

注当点M为右(左)焦点时,点N对应的点正好为右(左)准线与x轴的交点.

结论4已知抛物线C:y2=2px(p＞0).过x轴上一点M(x0,0)(x0/=0)的直线与抛物线C相交于A,B两点,点N(-x0,0),连接AN,BN,则有∠ANM=∠BNM.

证明设直线l的方程为：x=my+x0,A(x1,y1),B(x2,y2),由

消去x得：y2-2mpy-2px0=0,所以

因为

即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM.

注当点M为焦点时,点N对应的点正好为准线与x轴的交点.

二、命题变式与拓展

变式(2015年高考全国卷I)在直角坐标系xOy中,曲线C:与直线y=kx+a(a＞0)交与M,N两点.(I)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(II)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

解(I)由题设可得或在处的到数值为处的切线方程为在处的导数值为处的切线方程为故所求切线方程为

(II)存在符合题意的点.证明如下：

设P(0,b)为符合题意得点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0.所以x1+x2=4k,x1x2=-4a,所以

当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以P(0,-a)符合题意.

性质1已知椭圆C:=1(a＞b＞0),椭圆与直线y=kx+m(m/=0,m/=b)交于M,N两点,设点P(0,n)为y轴上一点,当k变动时,总有∠OPM=∠OPN,则mn=b2.

证明联立方程

设M(x1,y1),N(x2,y2),则

因为当k变动时,总有∠OPM=∠OPN,所以kPM+kPN=0,又因为

所以mn=b2.

一个自然的问题是：性质1的逆命题是否也成立呢?

性质2已知椭圆C:=1(a＞b＞0),椭圆与直线y=kx+m(m/=0,m/=b)交于M,N两点,设点P(0,n)为y轴上一点,且mn=b2,则当k变动时,总有∠OPM=∠OPN.

证明联立方程

设M(x1,y1),N(x2,y2),则

因为mn=b2,所以

所以当k变动时,总有∠OPM=∠OPN.

性质3已知双曲线C:=1(a＞0,b＞0),双曲线与直线y=kx+m(m/=0)交于M,N两点,设点P(0,n)为y轴上一点,当k变动时,总有∠OPM=∠OPN,则mn=-b2.

证明联立方程

因为当k变动时,总有∠OPM=∠OPN,所以kPM+kPN=0,又因为

所以mn=-b2.

性质4已知双曲线C:=1(a＞0,b＞0),双曲线与直线y=kx+m(m/=0)交于M,N两点,设点P(0,n)为y轴上一点,且mn=-b2,则当k变动时,总有∠OPM=∠OPN.

证明联立方程

设M(x1,y1),N(x2,y2),则

因为mn=-b2,所以

所以当k变动时,总有∠OPM=∠OPN.

性质5已知抛物线C:x2=2py(p＞0),抛物线与直线y=kx+m(m/=0)交于M,N两点,设点P(0,n)为y轴上一点,当k变动时,总有∠OPM=∠OPN,则m+n=0.

证明联立方程

得x2-2pkx-2pm=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则

因为当k变动时,总有∠OPM=∠OPN,所以kPM+kPN=0,又因为

所以m+n=0.

性质6已知抛物线C:x2=2py(p＞0),抛物线与直线y=kx+m(m/=0)交于M,N两点,设点P(0,n)为y轴上一点,且m+n=0,则当k变动时,总有∠OPM=∠OPN.

证明联立方程

得

设M(x1,y1),N(x2,y2),则

因为m+n=0,所以

又因为kPM+kPN=0,所以当k变动时,总有∠OPM=∠OPN.

当然性质6中抛物线开口向下时结论仍然成立.

与此问题相类似的问题：

问题1已知椭圆C:=1(a＞b＞0),点P(0,m),Q(0,n)且mn=b2,设M,N是椭圆上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证：点T在椭圆C上.

问题2已知双曲线C:=1(a＞b＞0),点P(0,m),Q(0,n)且mn=-b2,设M,N是双曲线上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证：点T在双曲线C上.

问题3已知抛物线C:y2=2px(p＞0),点P(m,0),Q(n,0)且m+n=0,设M,N是抛物线上关于x轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证：点T在抛物线C上.

数学教育家乔治.波利亚有句名言：“掌握数学就意味着要善于解题.”数学解题贵在自然、本质,意在简单、深刻.奇思妙解虽让人拍案叫绝,但通性通法更加平易近人,揭露本质内涵,使我们知其然且知其所以然.高考真题也是如此,要经过多思善想,这样才会有惊喜和收获,在学习中要学会用抽象、类比、和变式去研究数学问题,更重要的是可以提升数学品质和数学素养,既需要大胆的猜想和细心的求证,还需要坚定的意志和灵通的变通,所以说,只有多思、多想、多变,才会有创新,发现和收获.