例谈解析法在中学数学矩形问题中的应用

丁嘉程 池澄

【摘要】本文以具体的实例为载体，讨论了运用解析法建立直角坐标系，以直线的相关理论来解决中学数学中的矩形问题，从而突破了这类问题的初中传统解法，彰显了解析法的优势和魅力.

【关键词】矩形问题； 直角坐标系； 解析法

在中学数学里，常常会遇到这类问题：对一个矩形进行折叠、分割等变换，要求解得各种变换后矩形某部分的面积、某线段的长度等.这种类型的题目条件多较为复杂，若用传统的几何思想来解决，往往需要添加一条甚至多条辅助线，解题有一定的技巧性和难度，没有统一的思想和方法，学生也很难彻底掌握.本文将针对这类题目，建立适当的直角坐标系，以直线的相关理论作为工具，使得这类题目迎刃而解，此法称之为解析法.解析法的优点在于有统一的思想方法，把图形问题转化为代数方程问题，比较容易被掌握.本文主要通过具体的例子阐述如何运用解析法来解决矩形问题.

例4 如图，在边长为9 cm的正方形ABCD中，點E，M分别是线段AB，CD上的动点，连接DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于点N，设点M从点C出发，以1 cm/s的速度沿CD向点D运动；点E同时从点A出发，以2 cm/s的速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t>0）.当点F在AB边上时，连接FN，FM：（1）是否存在t使FN=MN？若存在，请求出此时t值；若不存在，请说明理由；（2）是否存在t使FN=FM？若存在，请求出此时t值；若不存在，请说明理由.

解 （1）建立直角坐标系，易得D（9，9），E（t，9-t），

M（9，t）.则kDF=t9-t，所以有lDF：y=t9-t（x-9）+9.

令x=0则y=-9t9-t+9，即F0，-9t9-t+9.

∵MN⊥DF，∴kMN=t-9t.

则有lMN：y=t-9t（x-9）+t.解得N（9-t，9）.

所以有|FN|=（-9t9-t）2+（9-t）2，|MN|=t2+（9-t）2.由FN=MN得t=0，所以不存在.（2） FM=-9t9-t+9-t2+92，令FN=FM，得t=92.

例5 如图，在矩形ABCD中AB=4 cm，CD=8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE.求证：四边形EFGH是菱形.

证明 由题意得，A（0，8），B（4，8），C（4，0），D（0，0），E（2，8），F（4，4），G（2，0），H（0，4）.则可知kHE=2，kFG=2，kEF=-2，kHG=-2.所以EF‖GH，FG‖HE.所以四边形EFGH是平行四边形.而EF=FG=EH=HG=22+42=25，所以四边形EFGH

是菱形.

从上面的例子可以看出解析法解这类问题的优势.应用解析法时，首先要选定合适的直角坐标系，标出相关点的坐标，将几何问题转化为代数方程问题，利用直线等相关理论，从而解决问题.

【参考文献】

[1]吕林根，许子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.5.

[2]吕林根，许子道.解析几何学习辅导书（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.8.