数列解题导航

叶海明

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）18-0066-02

数列是高中数学的一个主干知识，通常高考是一个客观题加一个主观题，难度中等，是高考不可有失的部分，本文就如何解决数列问题提供了几个方向。

一、等差、等比数列基本量的应用

等差数列的两个基本量是首项与公差，等比数列的两个基本量是首项与公比，对于大部分等差、等比数列的问题，用基本量求解都可以解决。用基本量来解题的本质在于利用等差、等比数列的通项公式及前项和公式，通过解方程或解方程组，得到首项及公差（公比），为进一步解题奠定基础。

例1：（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6= 。（2）等比数列{an}中，若a2=3，a5=81，则数列{an}的通项公式an= 。

第1题是等差数列的基本量问题，因为S3=3a1+3d=12所以解得d=2，则可知a6=a1+5d=12。第2题是等比数列的基本量问题，因为a2=a1q=3、a5=a1q4=81，所以解得a1=1、q=3，则可知an=a1qn-1=3n-1。基本量的应用是等差、等比数列的求解的一个重要方向，是等差、等比数列的基本与根本，是等差、等比数列解题思路的优先思考方向，也是高考数列考查中的必考内容。但有些题型用基本量来解题，就会导致解题思路难于寻找，或者运算量偏大，这时就要注意变换解题思路。

例2：等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且Sn：Tn=（3n-1）：（2n+3），则a8：b8= 。

若用基本量求解，涉及4个基本量，增加了解题难度。因为Sn：Tn=（a1+an）：（b1+bn），且a8：b8=2a8：2b8=（a1+a15）：（b1+b15），所以a8：b8=S15：T15=4：3。等差数列有两个性质：（1）若m+v=P+q，则am+an=ap+aq；（2）若m+n+2p，则am+an=2ap。

例3：等比数列{an}中an>0，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6= 。

因为a1a2a3=5，所以a23=5，同理a83=10。因为a2a8=a52， a4a5a6=a53，所以可得a4a5a6==2。等比数列有两个性质：（1）若mF/n=pF/q，则amF/an=apF/aq；（2）若mF/n=p2，则amF/an=ap2。要注意等差、等比数列在这个性质的差异，差异的根本在于等差数列是相邻两项的差为常数，而等比数列是相邻两项的商为常数。

二、递推公式的应用

数列的递推公式体现了数列中的项与项的相互关系，等差、等比数列的递推式也是一种特殊的递推式，即是相邻两项相减（或相除）为常数，而在普通数列的解题过程中，要把握数列递推式的特征，寻找并发现规律，灵活应用数列的相关性质，就能收到事半功倍的效果。

例4：已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an+1，则a10= 。

题目中没有涉及等差、等比数列，观察an+1=2an+1，可以变形为an+1+1=2（an+1），所以数列{an+1}是首项为a1+1=4且公比为2的等比数列，可得an+1=4F/2n-1=2n+1，即an=2n+1-1，则a10=1023。本题本质上是用整体代换思想，构造出一个新的等比数列，构造数列是数列解题中的一个常用方法。

例5：已知数列{an}满足a1=0，an+1=，则a20= 。

题意中没有涉及等差、等比数列，递推式也无法转化为等差、等比数列，这时一种通常的思路就是利用递推式，求出数列的前几项，寻找规律。由a1=0，求得a2=-，依此类推a2=、a4=0，可知数列{an}是一个周期为3的循环数列，则a20=a2=-。考查循环数列的题目有明显特征：首先不是等差、等比数列，其次题目要求数列中的某一项，而且这一项通常不是数列的前几项，而是所求项的项数比较大，比如a20、a200之类的，这种题目就是要寻找到数列的周期，通过周期将项数大的项转化为项数小的项。

例6：（1）已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，求数列的通项公式；（2）已知数列{an}中，a1=4，an+1=an，求数列的通项公式。

第1小题中，因为an+1=an+2n，所以an+1-an=2n，这个递推式和等差数列的递推式相似又有本质的区别，就是an+1-an为变量而不是常数，这时我们用累加法来求数列的通项公式。易得当n≥2时，an-an-1=2n-1，……，a3-a2=22，a2-a1=2，各式左右两边分别相加，可得an-a1=2n-1+…+22+2=2n-2，则an=2n-1（n≥2）。当n=1时，a1=1也符合上式。所以，数列的通项公式为an=2n-1。第2小题中，可得=，这个递推式同样和等比数列相似又有本质的区别，就是为变量而不是常数，这时我们用累乘法来求数列的通项公式。易得当n≥2时，=，……，=，=，各式左右两边分别相乘，可得=，则an=2n2+2n（n≥2）。当n=1时，a1=4也符合上式。所以，数列的通项公式为an=2n2+2n。累加法和累乘法要注意適用条件，求解过程中要注意对n进行讨论。

三、注意Sn与an的联系

例7：已知数列{an}中，an+2SnSn-1=0（n≥2，n∈N*），a1=，求an。

Sn与an的联系如下：当n≥2时，an=Sn-Sn-1；当n=1时，a1=S1。由题意，当n≥2时Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，则-=2，可知数列{}是首项为2公差为2的等差数列，所以=2n，即Sn=。因为an+2SnSn-1=0，所以an=-（n≥2）。当n=1时，a1=不符合上式。所以数列{an}的通项公式为分段函数形式。在利用Sn与an的联系时，要注意n进行讨论，本题将an转化为Sn，并进行整体代换构造新数列是解题的关键。解题中要注意Sn与an的转化的方向，是将an转化为Sn，还是将Sn转化为an，要考虑清楚。

四、把握规律轻松求和

对于等差、等比数列，利用公式法求和。若一个数列的通项公式为若干个等差数列与等比数列的和或差，则求和时可用分组求和法。若一个数列的通项公式为若干个等差数列与等比数列的积或商，则求和时可用错位相减法，做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比，然后将两式相减，以同类项错位合并，得到一个可求和的数列，注意合并后有两项不能构成等比数列中的项。通项公式为分式的数列求和时，通常用裂项相消法，裂项是手段，相消是目的，应将每一项分解为两项之差，分母是由等差数列的相邻项的乘积形成的分数数列的求和一般选用裂项相消法。

例8：已知数列{an}中，an=nF/0.5n+n，求数列的前n项和Sn。

由an=nF/0.5n+n可知此数列的求和可分为两部分：{nF/0.5n}和{n}，其中{nF/0.5n}求和可以用错位相减法，{n}用等差数列求和。设Tn=+++…+，可以发现{0.5n}的公比为0.5，则Tn=+++…+，两式错位相减，合并同类项，可得Tn=++…+-，所以Tn=2-0.5n-1-nF/0.5n，故数列{an}的前n项和Sn=Tn+（1+2+…+n）=-。本题既利用了错位相减法，又利用了分组求和法及公式法。

数列的考查重点是通项公式及前项和，二者的求解有其固有的规律，解题中只要注意分析题意，正确选择解题方向，就能轻松解题。