高中生数学素养的现状及培养途径

【摘 要】数学素养是世界数学教育关注的重要课题，同时也成为我国新一轮数学课程改革关注的热点。当前高中生数学素养的现状为：学生不会或不善于提出数学问题；不能很好地利用类比推理能力解决数学问题；应用数学语言表述问题的能力较弱；没有认识到数学隐含的语言功能、文化价值。针对现状，数学教学要不断培养学生规范使用数学语言的能力、创设合适的问题情境提升学生提出问题的能力，通过过程教学，提升学生数学思想方法的运用能力、渗透数学文化提升学生的数学观念素养。

【关键词】数学素养；问题情境；数学思想方法；数学语言；数学文化

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）18-0034-05

【作者简介】何睦，江苏省张家港市常青藤实验中学（江苏张家港，215600）教师，江苏师范大学数学与统计学院硕士研究生。

数学素养是世界数学教育关注的重要课题，具体表现为：其一，数学素养逐渐成为国际教育评价、国内外数学课程改革和数学教育研究共同关注的目标。其二，由于数学在社会生活和科技高速发展中的作用，数学素养已经成为公民进行社会生活或者从事社会工作必备的素养之一。同时，数学素养也是我国新一轮数学课程改革的关注热点。“数学素养”一词频繁出现于新一轮高中数学课程改革的相关文件中。

鉴于此，近年来，越来越多的研究者关注数学素养，他们有的从理论层面探讨数学素养的内涵、数学素养的取向、数学素养的科学建构，也有从实践层面探索数学素养的生成途径，但对于高中学生的数学素养的现状与培养途径鲜有探讨。因此，了解高中学生数学素养的现状，并在此基础上开展有的放矢的教学，能有效地促进学生数学素养的提升。

一、对高中学生数学素养现状的调查

1.调查依据。

在理论层面，学界对数学素养的认识观点多，视角广：有数学素养的“五要素”说，有数学素养的“特定区域和背景”说，“数学过程”说，等等。虽然学界对于“数学素养的内涵，其构成要素是什么”并没有形成统一的认识和看法，但所有的研究者都从不同的角度突出了数学问题素养（具有问题意识，能够“数学地”提出问题、分析问题、解决问题），数学思想方法素养（掌握数学思想方法，能正确运用逻辑推理以及合情推理方法解决数学问题），数学语言素养（理解并掌握数学语言，具备数学表达与交流的能力），数学知识与技能素养（掌握由数学概念和命题组成的整体性的基本理论体系），数学观念素养（对数学有较为全面的认识，理解数学的本质，懂得数学的价值），等等。

鉴于这些素养为许多学者所认可，因此，我们以此五种核心素养作为制作问卷（见文末附录）的重要依据，来考查高中学生数学素养的现状。

2.调查对象。

本次调查的对象是张家港市的高二学生，共1600人参加本次调查，发放问卷1600份，回收的有效问卷1585份。

3.调查问卷。

本次调查问卷重点考查学生提出问题的能力（A1～A2，共2道），对数学思想方法的掌握能力（B1～B2，共2道），对数学语言的应用能力（C1～C2，共2道），以及对数学的认识和态度（D1～D6，共6道），调查时间40分钟。考虑到数学知识与技能在其他能力考查中已有所体现，因此并没有对其做专项考查。

4.调查结果与分析。

（1）关于提出问题的能力。

A1题的调查结果表明，所有学生都提出了数学问题。如：“芦荟的种植成本和上市时间是否具有某种函数关系？”“选择合适的函数拟合种植成本和上市时间的关系”“在哪一天上市，芦荟的种植成本最低？”等等，平均每人提出数学问题1.9个。

A2题的调查结果表明，有82.1%的学生提出了问题，但不少学生提出的问题和数学无关，如“为什么高斯当年只有9岁？”“小学为什么会有这种问题？”等等。只有30.8%的学生提出了数学问题，如“能否归纳出研究此类问题的一般方法？”“更为一般的结论是什么？”“1到100的平方和是多少？”“1到100的倒数和是多少？”等等，平均每人提出问题0.62个。

调查结果反映出当前高中生数学的“提出问题”素养的现状：从整体来看，对于具体的问题情境，所有学生都能提出相关的数学问题，而对于开放性的问题情境，学生表现为不会或不善于提出数学问题，或者说他们提出的根本不是数学问题。

（2）关于运用数学思想方法的能力。

数学知识是数学思想方法的载体，因此我们在编制问卷时，仍以问题解决的方式考查学生运用数学思想方法的能力和素养，选取类比推理和合情推理各1道，以考查学生数学思想方法素养的现状。

B1题是一道类比推理题，调查结果表明，仅有40%的学生能运用题目所给的方法，类比得出“前k个正整数的平方和为 ”，22.1%的学生在推导过程中出现了计算失误，约37.9%的学生并没有给出解答过程。B2题是一道经典的合情推理题，48.2%的学生给出了正确的答案和推理过程，23.6%的学生仅给出了答案并没有给出推理过程，其余学生没有给出答案。

调查结果反映出当前高中学生数学思想方法素养的现状：从整体上看，学生合情推理能力较弱，不能很好地利用类比推理能力解决某些数学问题。

（3）关于把握数学语言的能力。

C1题考查学生集合语言的使用以及将自然语言转化为数学符号语言的基本能力。结果表明，97.4%的学生给出了“ ”的答案，84.6%的学生给出了“Q？哿R”的答案。不少学生在数学符号语言的使用上仍出现偏差，比如“ 埸N”“Q∈R”等不规范的表述。

C2题要求学生根据情境的描述，利用数学语言规范地表述所给出的图形的基本特征，考查学生在现实情境中应用数学语言的能力。结果表明，有52.3%的学生能利用数学语言规范地表述图形的基本特征，如“两条直角边长分别是3和4的直角三角形”，“以O为坐标原点，OA，OD所在直线作为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，其中O（0，0），A（4，0），B（6，2），C（5，5），D（0，5），E（-2，2），F（2，2），顺次连接OA，AB，BC，CD，DE，EF，FO”。其余47.7%的学生则表现为不会表述，或者表述不规范，存在严重错误。

调查结果反映出当前高中学生数学语言素养的现状：从整体来看，在数学问题情境中，运用数学语言表述数学问题的能力较强，但在现实情境中应用数学语言表述问题的能力较弱。

（4）关于对数学价值的认识。

考查学生对数学价值的认识在一定程度上体现了学生的数学观念素养，设计6个选择题，以了解学生对数学价值的认识，要求学生根据相关描述作出判断，频数统计见表1。

可以看出，大部分高中生都认可“现在生活处处充满着数学”“数学是物理学、化学、生物学等自然科学的基础”“数学是思维的体操，在个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用”，肯定了数学应用的广泛性以及数学的教育价值。但只有近半数的学生认可“数学是科学的语言，数学也是一种日常生活的语言”“数学基本能力已经成为人的生活基本能力的重要组成部分”“数学是一种人类的文化”。为数不少的学生并不认可数学语言是表达科学规律、在日常生活中起着重要作用的一种语言，并不赞同数学能力是当前社会公民应具备的基本能力，同时也体会不到数学作为一种人类文化存在的意义。

调查结果反映出当前高中学生数学观念素养的现状：从整体来看，学生基本认可数学是一门应用极其广泛的学科，是自然科学的基础，同时在个人智力发展过程中发挥着重要作用。不少学生并没有认识到数学隐含的语言功能、文化价值，忽视数学作为人类生活基本能力的存在。

二、对高中学生数学素养培养途径的思考

虽然上述调查仅仅是对地方重点高中所做的调查，但是在一定程度上也反映了高中生数学素养的普遍现状。针对高中学生数学素养的现状，下文从“如何教”的角度来探讨提高高中生数学素养的途径，以期进一步改善现状，有效地提升高中生的数学素养。

1.培养学生规范使用数学语言的能力。

人类的交流需要语言，数学的传播也离不开语言。但是，光用自然语言进行数学交流是难以使得数学国际化的。正因如此，数学才有了有别于其他语言的“数学语言”。与一般语言相比，数学语言具有无民族性、无区域性的特点，并且它是世界上唯一通用的语言，所以数学语言理应成为推动数学发展的力量。在教学过程中，我们应明确数学学习的本质是数学语言的获得、发展与应用，判断数学教学是否有效的标准应是学生数学语言是否得到了发展和发展程度如何。在教学中，教师应注重培养学生用规范的数学语言表达数学问题并解决数学问题的能力，而教材概念、定理和符号的表述以及例题的解决恰好为数学语言的规范使用提供了范式，因此教师应关注教材在规范使用语言中的价值。同时教师也要积极创造机会，使学生获得数学交流的机会，通过引导、示范，培养学生利用严谨、规范的数学语言表达和解决数学问题的能力，进而更加深刻地理解数学符号的内涵，有效地提升学生的数学语言素养。

2.创设合适的问题情境提升学生提出问题的能力。

数学的发展过程可以看成如下模式：问题的提出→问题的解决→新的问题的提出→新的问题的解决→……，可见问题的提出与解决对于数学研究至关重要。数学课堂教学是关于数学的教学，因此，数学课堂教学也就是提出问题、解决问题、提出新问题、解决新问题的过程。数学新课程改革倡导“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的课程模式，苏教版教材的内容组织形式为：问题情境—学生活动—意义建构—数学理论—数学应用—回顾反思。可见，课程改革将问题情境作为数学知识产生的源头。但新课程所倡导的“问题情境”其核心并非是单纯的情境，而是隐含着数学问题的情境。如果只关注情境而忽视数学问题，学生难以形成问题意识，提出问题的能力也就薄弱，学生面对数学就缺乏深入思考的欲望，缺乏探究数学知识的能力，当然也发现不了数学问题，提不出数学问题。

3.通过过程教学，潜移默化地提升学生数学思想方法的运用能力。

不管是数学概念的形成还是数学规律的建构，都离不开数学思想方法的运用，数学思想与方法在个体发展过程中起着积极的作用。因此，在教学中，通过过程教学不仅要展示知识的形成过程，更要揭示在知识形成过程中体现的数学思想方法，有效地提升学生数学思想方法素养。因此，在过程教学中必须把握好以下四个教学的关键环节：其一，在概念教学中挖掘数学思想方法，教师要有意识地引导学生挖掘概念中体现的数学思想方法；其二，在定理和公式的教学中展现数学思想方法，要通过发现、归纳、猜想、演绎证明等活动方式让学生经历知识的“再创造”过程，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质；其三，在问题解决过程中揭示数学思想方法，数学问题的解决过程，实质上是命题的不断变换和数学思想方法不断利用的过程，在教学中要不断地将数学思想方法的教学置于解题的中心位置，突出数学思想方法的解题功能；其四，在知识的归纳总结中概括数学思想方法。数学思想方法的概括包括两个方面，一是揭示事物的普遍必然的本质属性，例如“圆的方程及其几何性质”的研究过程：圆的几何生成方式-坐标法得到圆的代数方程-研究圆的几何性质，这对后面学习“圆锥曲线”起到一个范例的作用；二是要明确数学思想和数学知识之间的联系，将抽取出来的共性，推广到同类的对象中，比如，通过换元的方法将复杂的方程、函数转化为简单的方程和函数，深刻认识换元法的优点在于将复杂问题化归为简单问题，化归思想是换元法的高度概括。

4.渗透数学文化以有效提升学生的数学观念素养。

《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出：“数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对数学文化的学习要求。”数学文化的渗透可以采取多样化的方法，比如鼓励学生就某个专题查找、阅读、搜集相关文献，在此基础上开设专题演讲或撰写一篇研究报告，也可以将概念、定理的发生、演变、成形过程作为教学的主线，梳理概念、定理形成的历史发生过程，让学生体会概念、定理是如何发生和发展的。

当前的数学教学呈现给学生的只是“冰冷的美丽”，数学的文化价值往往淹没在一大堆抽象符号、复杂的公式演算和逻辑推理的海洋里。而只有通过数学文化的渗透与融入，数学才能最终转化为“火热的思考”，学生才能初步了解数学与人类社会发展的关系，明晰数学的发生、发展及其应用的全过程，体会数学的人文价值、应用价值和科学价值；开阔视野，加强对数学的宏观认识和整体把握，领会数学学科独有的理性精神。在数学教学中，我们不但要向学生传授知识，更要让学生体会数学知识中蕴含的数学文化，了解“数学方式的理性思维”，有效地提升学生的数学观念素养。

附录：数学素养调查问卷

A1：请根据下面一段材料的描述，尽可能多地提出一些数学问题。

芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场。某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：

A2：请你根据下面一段情境的描述，尽可能多地提出一些数学问题。

高斯用很短的时间计算出了小学老师的任务：自然数从1到100求和。他所使用的方法是：将1到100构造成50对101，即1+2+3+4+……+100=（1+100）+（2+99）+……（50+51）=50×101=5050，同时得到结果5050。那一年，高斯只有9岁。

B1：我们知道，前k个正整数的和公式可以借助等式（k+1）2-k2=2k+1累加得到：

（k+1）2-k2=2k+1，k2-（k-1）2=2（k-1）+1…，

32-22=2×2+1，22-12=2×1+1

（k+1）2-1=2（1+2+3+…+k）+k×1

1+2+3+…+k= =

问题：请你运用类比的数学方法推导前k个正整数的平方和公式。

B2：有三顶红帽子和两顶白帽子。将其中的三顶帽子分别戴在A、B、C三人头上。这三人每人都只能看见其他两人头上的帽子，但看不见自己头上戴的帽子，并且也不知道剩余的两顶帽子的颜色。 问A： “你戴的是什么颜色的帽子？” A回答说：“不知道。” 接着，又以同样的问题问B，B想了想之后，也回答说：“不知道。” 最后问C， C回答说：“我知道我戴的帽子是什么颜色了。”当然，C是在听了A、B的回答之后而做出回答的。试问：C戴的是什么颜色的帽子？（要求：写出你的判断，并简要说明理由。）

C1：请用规范的数学语言表述下列事实：（1）不是整数；（2）有理数都是实数。

C2：假设你在电话里与同学交谈，你要求他作出如上图所示的图形，你的同学事先并没有见过这一图形，如何在电话里给他指示以保证他能准确地作出这两个图形？

D：根据下列描述，请根据你的理解选出你对这些描述的认识和态度。字母A表示赞同；字母B表示不确定；字母C表示反对。

D1：现代生活处处充满着数学。（ ）

D2：数学是物理学、化学、生物学等自然科学的基础。（ ）

D3：数学是科学的语言，数学也是一种日常生活的语言。（ ）

D4：数学基本能力已经成为人的生活基本能力的重要组成部分。（ ）

D5：数学是思维的体操，在个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。（ ）

D6：数学是一种人类的文化。（ ）

【参考文献】

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[7]夏炎.数学文化的课堂实践[J].江苏教育：中学教学，2013（04）.

注：本文系苏州市教育科学“十二五”规划2013年度重点立项课题“基于数学素养生成的教学实践与校本课程开发研究”（编号：130801243）和江苏省“十二五”规划重点自筹课题“高中数学研究性学习的实践与认识”（编号：B-b/2015/02/119）的阶段性研究成果。