关于一道因式分解题的课堂教学研究

杨娟

[摘要]本文通过对一道多项式因式分解题的课堂教学，从而归纳出在复数范围内多项式因式分解的简单规律，对教学具有一定的启发。

[关键词]多项式；因式分解；课堂教学研究

[基金项目]凯里学院2014年重点学科（KZD2014004），贵州省高等学校省级教学团队项目（2012426），贵州省卓越教师教育培养计划（数学与应用数学）。

引 言

关于在复数范围内多项式因式分解问题，有如下定理成立：

定理 任何一个复系数一元n次多项式f（x）有且仅有n个一次因式x-xi

（i=1，2，…，n），把其中相同因式的积用幂表示后，

f（x）=an（x-x1）k1（x-x2）k2……（x-xm）km。

其中k1，k2，…，km∈N+，且k1+k2+…+km=n，复数x1，x2，…，xm两两不相等，x-xi（i=1，2，…，n）为f（x）的ki重一次因式。

对于因式分解的方法有很多种，比如：提取公因式法、分组分解法、应用公式法、十字相乘法、添项拆项法[2]。这些方法在使用过程中，有些简便易懂，有些需要一定的技巧性。本文仅以添项拆项法为例，研究利用这种方法在使用过程中的关键之处。

1。添项拆项法

利用添项拆项法进行多项式因式分解，需要很强的技巧性。因为在解题过程中，需要拆哪几项，添加什么项，或者说如何拆分，如何添加，并没有一定的规律可循，主要在于观察题目中的各项之间的关系，根据每一项的系数和次数来确定如何正确使用添项拆项法[3]。因此，可以说添项拆项法是多项式因式分解中技巧最强的方法之一，最能考查学生能力。

2。因式分解实例

在教学过程中，我给学生布置一道多项式因式分解的作业题，对于使用添项拆项法时，

学生在作业中展现了三种不同的方法。然后，在讲解作业题目时，通过课堂激发学生兴趣，学生又产生了几种其他的方法，现将这些方法归纳如下：

方法一 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4+4x3-8x2-x2-x+2

=4x2（x2+x-2）-（x2+x-2）

=（4x2-1）（x2+x-2）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法二 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4+4x3-x2-8x2-x+2

=（4x4-x2）+（4x3-x）-（8x2-2）

=x2（4x2-1）+x（4x2-1）-2（4x2-1）

=（4x2-1）（x2+x-2）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法三 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4+8x3-4x3-8x2-x2-2x+x+2

=4x3（x+2）-4x2（x+2）-x（x+2）+（x+2）

=（x+2）（4x3-4x2-x+1）

=（x+2）[4x2（x-1）-（x-1）]

=（x+2）（x-1）（4x2-1）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法四 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4-4x3+8x3-8x2-x2-x+2

=4x3（x-1）+8x2（x-1）-（x-1）（x+2）

=（x-1）（4x3+8x2-x-2）

=（x-1）[4x2（x+2）-（x+2）]

=（x-1）（x+2）（4x2-1）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法五 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4-4x2+4x3-4x2-x2-x+2

=4x2（x2-1）+4x2（x-1）-（x2+x-2）

=4x2（x+1）（x-1）+4x2（x-1）-（x-1）（x+2）

=4x2（x-1）（x+2）-（x-1）（x+2）

=（x-1）（x+2）（4x2-1）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法六 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4+4x3-4x2-x2-x+1-4x2+1

=4x2（x2+x-1）-（x2+x-1）-（4x2-1）

=（x2+x-1）（4x2-1）-（4x2-1）

=（4x2-1）（x2+x-2）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法七 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4+10x3-6x3+4x2-15x2+2x2-6x+5x+2

=（4x4+10x3+4x2）-（6x3+15x2+6x）+（2x2+5x+2）

=2x2（2x2+5x+2）-3x（2x2+5x+2）+（2x2+5x+2）

=（2x2+5x+2）（2x2-3x+1）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法八 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4+4x3+x2-10x2-x+2

=x2（4x2+4x+1）-（10x2+x-2）

=x2（2x+1）2-（2x+1）（5x-2）

=（2x+1）[x2（2x+1）-（5x-2）]

=（2x+1）[2x3+x2-3x-2x+2]

=（2x+1）[（2x3+x2-3x）-（2x-2）]

=（2x+1）[x（2x+3）（x-1）-2（x-1）]

=（2x+1）（x-1）[2x2+3x-2]

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）

3。总 结

对于在复数范围内，利用添项拆项法分解因式的关键是提取公因式，并且第一步的提取公因式至关重要，它决定着应该如何拆项、添项，拆哪些项，添加什么样的项。

（1） 当一个多项式分解成若干个一次因式的乘积，如果一次有理因式的个数越多，那么分解因式的方法也相对越多。对于上面例题，我们第一步可以提取（2x+1）、（2x-1）、（x+2）、（x-1）中的任何一个作为公因式，也可以通过添项拆项提取其他因式作为公因式，所以分解的方法相对较多。反之，如果分解后无理因式或复数因式比较多，那么分解的方法就相对减少。比如，对于x3-8x+8=（x-2）（x+1-5）（x+1+5）来说，在分解因式的过程中，我们通过添项拆项，第一步通常提取（x-2）作为公因式，对于x+1-5和x+1+5中的任何一个因式，很难通过添项拆项作为公因式进行提取，因此分解因式的方法相对较少。

（2） 如果多项式的次数越高，分解因式的方法也相对越多。比如4x4+4x3-9x2-x+2和x3-8x+8相比较，在分解因式的过程中，前者项数比较多，因此添项拆项的方法也比较多。反之，后者由于项数较少，因此分解因式的方法也比较少。

[参考文献]

[1]何丽亚，汪海洋，谢燕。数学[M]。西南交通大学出版社，2013。

[2]潘伟云。多项式因式分解的探讨[J]。吕梁教育学院学报，2015，32，（1）：97-98。

[3]毕严河。因式分解的方法技巧汇总[J]。科技视界，2014：277-279。