浅谈数论

刘书海

【摘要】数论是中学数学竞赛的一个重要考点，对学生的竞赛成绩有着类似中考高考压轴题般的作用，由于它很少在常规学习中出现，故而需要有针对性的训练，如果学习得当，短期内成绩也能取得很大的提高，但相对于整个数论学而言，中学数论只是其中很小的一部分。

【关键词】质数  奇偶  整除  分类  因式分解  不等式

【中图分类号】G633.6                           【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2016）11-0110-02

中学数学竞赛中的数论知识往往涉及到质数、奇偶性、整除、因式分解等方面的知识，方法容易理解但难以想到，常常需要灵活的代数运算技巧和敏锐的观察力，同时还需要严密的思维来进行讨论，讨论时参数限制条件的使用会使得过程大大简化，而因式分解在很多时候会起到意想不到的效果，本文将就这些方面进行简单的举证。

例1.已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积 .

分析：题目的显性条件是三角形周长为30，隐性条件是三边满足勾股定理，且三边均为整数，根据一元二次方程根与系数的关系列出相应的式子再利用数论的知识进行简单的讨论即可得到结果.

例3.一个正整数除以5，7，9，11的余数依次是1，2，3，4，求满足上述条件的最小的正整数.

分析：据题意可列出不定方程，经巧妙变形再利用最小公倍数的知识可得结果.

例4.

分析：由整数之间运算的封闭性及分数与整数的关系可列出相关的不等式，经因式分解再结合已知条件讨论可求得结果（别忘了检验）。

例5.

分析：根据有理数和根式的关系并结合一元二次方程根的判别式可列出相应的等式，再利用数的奇偶性经讨论可得结果。

分析：末位数相同则差为零，据此可考虑作差，通过尝试可确定m，n的值，末两位数相同则差可以被100整除，此时可借助二项式定理确定m-n的最小值.

分析：

例8.

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注：数论习题的解答很多都是必要而非充分条件，望各位同学能养成验根的好习惯。

数论知识博大精深，限于个人能力和篇幅，只能就此进行简单的讲述，疏漏之处在所难免，希望数学爱好者和各位同仁不吝赐教，不胜感谢！如果能对同志诸君有所裨益，也不枉赘述。

参考文献：

[1]南秀全，高中数学奥林匹克竞赛2010详解版（全国联赛卷），武汉：湖北教育出版社，2009.4

[2]南秀全，高中数学奥林匹克竞赛2012详解版（全国联赛卷），武汉：湖北教育出版社，2011.7

[3]南秀全，高中数学奥林匹克竞赛2014详解版（全国联赛卷），武汉：湖北教育出版社，2013.2

[4]蔡小雄，全国高中数学联赛（预测卷）（第三版），杭州：浙江大学出版社，2012.9