关于Gorenstein FP-内射模及维数

杨燕妮,　杨　刚

(兰州交通大学 数理学院, 甘肃 兰州 730070)



关于Gorenstein FP-内射模及维数

杨燕妮,杨刚*

(兰州交通大学 数理学院, 甘肃 兰州 730070)

摘要：首先给出右GFPI-封闭环的定义,即称环R是右GFPI-封闭环,如果所有的Gorenstein FP-内射右R-模类关于扩张封闭.证明当R是右凝聚与右GFPI-封闭环时,所有的Gorenstein FP-内射右R-模类是内射可解类.特别地,研究优越扩张环上模的Gorenstein FP-内射性质,证明当R与S是右凝聚环,S是R的优越扩张时,如果M是Gorenstein FP-内射右R-模,则HomR(S,M)是Gorenstein FP-内射右S-模,并且证明如果M是Gorenstein FP-内射右S-模,则M是Gorenstein FP-内射右R-模.另外,当R是右凝聚与右GFPI-封闭环时,给出Gorenstein FP-内射维数的若干等价刻画.

关键词：FP-内射模; Gorenstein FP-内射模; 优越扩张环

1准备知识

本文中的环R与S均指有单位元的结合环,模均指酉模.MR(RM)表示右(左)R-模M.对未作解释的标记、事实和概念,参见文献[1-3].

下面给出本文中需要的一些基本概念和结果.

定义 1.1[9]称M是Gorenstein FP-内射右R-模,如果存在正合列

使得以下3条成立:

1)M≅Im(E0→E0);

2) 所有的Ei和Ei都是FP-内射右R-模;

3) 对任意的投射维数有限的有限表现右R-模P,HomR(P,E)是正合的.

定义 1.2[9]设R是右凝聚环,M是右R-模,则M是Gorenstein FP-内射模当且仅当存在FP-内射右R-模正合列

使得M≅Im(E0→E0).

设R是环,X是右R-模类.

1) 若对X中任意短正合列0→X1→X2→X3→0,其中,X1∈X,X3∈X,有X2∈X,则称X关于扩张封闭.

2) 若对X中任意短正合列0→X1→X2→X3→0,其中,X1∈X,X2∈X,有X3∈X,则称X关于单同态的余核封闭.

3) 若X包含内射模类,并且X关于扩张和单同态的余核封闭,则称X是内射可解类[11].

定义 1.3称环R是右GFPI-封闭环,如果所有的GorensteinFP-内射右R-模类关于扩张封闭.

命题 1.4设R是右凝聚环.若R是右GFPI-封闭环,则GorensteinFP-内射右R-模类是内射可解类.

证明根据GorensteinFP-内射模的定义,每一个内射模都是GorensteinFP-内射模.要证明GorensteinFP-内射右R-模类是内射可解类,只需证明GorensteinFP-内射右R-模类关于单同态的余核封闭即可.

考虑短正合列0→E1→E2→E3→0,其中,E1和E2是Gorenstein FP-内射右R-模,下证E3是Gorenstein FP-内射右R-模.由于E2是Gorenstein FP-内射右R-模,所以存在短正合列0→K→E→E2→0使得K是Gorenstein FP-内射右R-模,E是FP-内射右R-模,考虑E→E2与E1→E2的拉回

在第一列短正合列0→K→M→E1→0中,K与E1是Gorenstein FP-内射右R-模,由于R是右GFPI-封闭环,所以M是Gorenstein FP-内射右R-模.再根据第二行正合列0→M→E→E3→0与文献[9]的推论2.4知,E3是Gorenstein FP-内射右R-模.命题得证.

注 1.5若R是右自FP-内射的右凝聚环时,由文献[9]的定理3.2知,所有的右R-模都是Gorenstein FP-内射的,所以Gorenstein FP-内射右R-模类是内射可解类.

2Gorenstein FP-内射模及维数

定义 2.1[12-13]设R和S是环.称S是R的几乎处处优越扩张,若满足以下条件:

1)S是R的有限正规化扩张,即R与S有相同的单位元[14],存在元a1,…,an∈S使得S=Ra1+…+Ran,且对于任意的i=1,2,…,n,有Rai=aiR;

2)RS是平坦的,SR是投射的;

3)S是右R-投射,即若MS是NS的子模且MR是NR的直和因子,则有MS是NS的直和因子.

称S是R的优越扩张[15-16],若S是R的几乎处处优越扩张,SR与RS是自由的,且有基a1,…,an满足a1=1R.

以下例子可参考文献[13,17].

例 1设S是R的优越扩张.若S有2个理想I和K使得R∩I=0且S=I⊕K,则映射R→S/I是几乎处处优越扩张.若KR不是自由R-模,则映射R→S/I不是优越扩张.

例 2环R上的n阶全矩阵环Mn(R)是环R的优越扩张.

例 3设A是域K上的有限维代数,且F是K的有限可分域扩张,则A⊗KF是A的优越扩张.

例 4设K是域,G是群且H是G的正规子群.若[G∶H]是有限的且在K中是非零的,则KG是KH的优越扩张.

引理 2.2[12]设S是R的优越扩张.若M是右S-模,则MS同构于(HomR(S,M))S的直和因子.

定理 2.3设R与S是右凝聚环,S是R的优越扩张.若M是Gorenstein FP-内射右R-模,则HomR(S,M)是Gorenstein FP-内射右S-模.

证明设M是Gorenstein FP-内射右R-模,则存在FP-内射右R-模的正合列E=…→E1→E0→E0→E1→…使得M≅Im(E0→E0).由于SR是投射模,故HomR(S,E)=…→HomR(S,E1)→HomR(S,E0)→HomR(S,E0)→HomR(S,E1)→…是右S-模的正合列.又由文献[18]的引理2.3,所有的HomR(S,Ei)与HomR(S,Ei)都是FP-内射右S-模,且HomR(S,M)≅Im(HomR(S,E0)→HomR(S,E0)),因此由定理1.2,HomR(S,M)是Gorenstein FP-内射右S-模.

推论 2.4设R与S是右凝聚环,S是R的优越扩张,M是右R-模,则G-FP-idS(HomR(S,M))≤G-FP-idR(M).

证明若G-FP-idR(M)=∞时,结论显然成立.若G-FP-idR(M)=n<∞时,则存在以下正合列0→M→I0→I1→…→In→0,其中每个Ii是Gorenstein FP-内射右R-模.由于SR是投射模,故有以下正合列0→HomR(S,M)→HomR(S,I0)→HomR(S,I1)→…→HomR(S,In)→0.由定理2.3,每一个HomR(S,Ii)是Gorenstein FP-内射右S-模,所以G-FP-idS(HomR(S,M))≤G-FP-idR(M).

定理 2.5设R与S是右凝聚环,S是R的优越扩张.若N是Gorenstein FP-内射右S-模,则N是Gorenstein FP-内射右R-模.

证明由于N右S-模,显然N是右R-模.由条件可知存在FP-内射右S-模的正合列E=…→E1→E0→E0→E1→…使得N≅Im(E0→E0),由文献[18]的引理2.3,每一个FP-内射右S-模是FP-内射右R-模,所以由定理1.2,N是Gorenstein FP-内射右R-模.

推论 2.6设R与S是右凝聚环,S是R的优越扩张,M右S-模,则G-FP-idR(M)≤G-FP-idS(M).

证明若G-FP-idS(M)=∞,结论显然成立.若G-FP-idS(M)=n<∞时,则存在以下正合列0→M→E0→E1→…→En→0,其中每个Ei是Gorenstein FP-内射右S-模,由定理2.5,每个Ei是Gorenstein FP-内射右R-模,故G-FP-idR(M)≤G-FP-idS(M).

引理 2.7设R是右凝聚与右GFPI-封闭环.若序列0→A→E0→E1→M→0正合,其中,E0和E1是Gorenstein FP-内射右R-模,则存在正合列0→A→E→I→M→0使得E是Gorenstein FP-内射右R-模,I是FP-内射右R-模.

证明由于E1是Gorenstein FP-内射右R-模,所以存在短正合列0→K→I→E1→0使得I是FP-内射右R-模,K是Gorenstein FP-内射右R-模.设L=Im(E0→E1),考虑L→E1与I→E1的拉回

及B→L与E0→L的拉回

在正合列0→K→E→E0→0中,K与E0是Gorenstein FP-内射右R-模,由于R是右GFPI-封闭环,所以E是Gorenstein FP-内射右R-模.这样就有正合列0→A→E→I→M→0.引理得证.

定理 2.8设R是右凝聚与右GFPI-封闭环,M是右R-模,n是非负整数,则以下等价:

1)G-FP-idR(M)≤n;

2) 对于任意整数k满足1≤k≤n,存在正合列0→M→E0→E1→…→En→0使得当0≤i

在正合列0→K→A→G0→0中,K与G0是Gorenstein FP-内射右R-模,由于R是右GFPI-封闭环,所以A是Gorenstein FP-内射右R-模.现假设G-FP-idR(M)=n>1.取L=coker(M→G0),则G-FP-idR(L)≤n-1.根据归纳假设,对任意的整数k,满足2≤k≤n时,存在正合列0→L→E1→E2→…→En→0使得当1≤i

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2010 MSC：16D50

(编辑李德华)

On Gorenstein FP-injective Modules and Dimensions

YANG Yanni,YANG Gang

(SchoolofMathematicsandPhysics,LanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,Gansu)

Abstract：A ring R is called right GFPI-closed, if the class of all Gorenstein FP-injective R-modules is closed under extensions. When R is right coherent and right GFPI-closed, it is proved that the class of all Gorenstein FP-injective right R-modules is injectively resolving. Especially, Gorenstein FP-injective properties of modules under extensions rings are investigated. When R and S are right coherent rings and S an excellent extension of R, it is proved that if M is a Gorenstein FP-injective right R-module then HomR(S,M) is a Gorenstein FP-injective right S-module, and if M is a Gorenstein FP-injective right S-module then M is a Gorenstein FP-injective right R-module. In addition, when R is right coherent and right GFPI-closed ring, some equivalent characterizations of Gorenstein FP-injective dimensions are given.

Key words：FP-injective modules; Gorenstein FP-injective modules; excellent extensions rings

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.008

中图分类号：O153.3

文献标志码：A

文章编号：1001-8395(2016)01-0047-04

*通信作者简介：杨刚(1980—),男,副教授,主要从事同调代数的研究,E-mail:yanggang@mail.lzjtu.cn

基金项目：国家自然科学基金(11101197)和甘肃省自然科学基金(145RJZA079)

收稿日期:2015-01-14